【你也能看得懂的电磁场与电磁波系列连载29】

悠悠 2023-02-25 07:23 9阅读 0赞

在上一个连载里面，我们讨论了平面波的极化，掌握了如何判断极化方式。那么在今天的连载里面，我们将继续探讨与均匀平面波相关的有趣性质，但是之后的几个连载里面我们重点关注的，则是**平面波的各种入射**。我们先从**垂直入射**这种简单情况入手，再慢慢深入到**斜入射**。而今天的连载则是推导一下**平面波的反射定律和折射定律**

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在让平面波开始自由发射之前，说明一下我们下面针对的都是时谐变电磁波了，那么先回顾一下时谐变电磁波波动方程解的形式（或者说**构成时谐变电磁波的电场、磁场所应该满足的形式**）：  
【注：我们假设电磁波传播方向是 +z 方向，电场 x 方向、磁场 y 方向】

那么在媒质1中，电场的解应该是：  
![在这里插入图片描述][20200711090439355.png_pic_center]  
媒质1中磁场的解应该是：  
![在这里插入图片描述][20200711090923534.png_pic_center]

这是上上个连载的内容，有点忘了没关系，我们现在可以只关系电场解的形式：它由入射电场和反射电场构成（入射电场用下标 i ，反射电场用下标 r）。而且**入射电场的有效值矢量由：单位方向矢量  a x ˉ \\bar\{a\_x\} axˉ、复有效值  E i ˙ \\dot\{E\_i\} Ei˙和一个指数项  e − γ 1 z e^\{-γ\_1z\} e−γ1z 构成**。我们知道这个暂时就够了。

【值得注意的是：讨论有效值矢量和复振幅矢量在某些情况下基本上是等价的，因为他们仅仅相差了一个系数  2 \\sqrt\{2\} 2】

下面正式开始。

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对于下面这样的入射情况：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
**黄色区域下半部分的表示入射波，黄色区域上半部分的表示反射波、蓝色区域的部分表示折射波。**

那么，我们根据刚刚的知识可以把入射电场的**有效值矢量**给写出来：  
![在这里插入图片描述][2020071109170619.png_pic_center]  
同理，反射电场也可以写出来（不过此时因为反射波的传播方向是 -z 方向，所以指数项会变为 e γ 1 z e^\{γ\_1z\} eγ1z）：  
![在这里插入图片描述][2020071109184647.png_pic_center]  
好的，上面描述的都是介质1的电场，那么根据时谐变电磁场的关系：  
![在这里插入图片描述][20200711092001357.png_pic_center]  
（其中， a n ˉ \\bar\{a\_n\} anˉ 是**电磁波的传播方向的单位矢量**）那么我们也可以计算出来**媒质1中的入射磁场**的表达式：  
![在这里插入图片描述][20200711092208677.png_pic_center]  
以及**介质1中的反射磁场**：  
![在这里插入图片描述][20200711092512193.png_pic_center]  
那么，把介质1中的电场加起来，我们就可以得到介质1中的合电场：  
![在这里插入图片描述][20200711093532779.png_pic_center]  
同样可以得到介质1中的合磁场：  
![!\[在这里插入图片描述\](https://img-blog.csdnimg.cn/20200711093636471.png\#pic\_center][https_img-blog.csdnimg.cn_20200711093636471.png_pic_center]

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而我们知道，在媒质2里面只有折射电磁场，折射场我们用下标 t 表示。那么在媒质2中的折射电场为：  
![!\[在这里插入图片描述\](https://img-blog.csdnimg.cn/20200711092658248.png\#pic\_center][https_img-blog.csdnimg.cn_20200711092658248.png_pic_center]  
因为我们看上面的图也知道，**对于折射电磁波而言，电磁波的传播方向依然是 +z ，所以我们的指数项和入射的相比没有变化。只是把媒质1的传播系数  γ 1 γ\_1 γ1 换成了  γ 2 γ\_2 γ2罢了**

同理我们求出媒质2中的折射磁场：  
![在这里插入图片描述][20200711092851702.png_pic_center]

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下面我们运用一下边界条件：很明显我们可以看到 **z = 0 就是我们的边界。** 如果**我们假设现在的媒质1， 2均为非理想导体，那么在分界面上是不存在面电流的（即  J s = 0 J\_s = 0 Js=0）**

先看看磁场的边界方程，这个分界面 z=0 平面，磁场沿着 y 方向，恰好是分界面的切向方向，那么运用磁场切向方向的边界方程： H 1 t = H 2 t H\_\{1t\} = H\_\{2t\} H1t=H2t  
![在这里插入图片描述][20200711094933160.png_pic_center]  
把z=0带进去就可以化简成：  
![在这里插入图片描述][2020071109505470.png_pic_center]  
把方向约掉就是：  
![在这里插入图片描述][2020071109500529.png_pic_center]

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搞了磁场的边界方程，电场的你也总得搞搞吧，我们发现**电场的方向也是分界面的切向方向**，那么也是利用电场在分界面切向方向的边界方程： E 1 t = E 2 t E\_\{1t\} = E\_\{2t\} E1t=E2t，得：  
![在这里插入图片描述][20200711094417326.png_pic_center]  
把 z = 0 带入，得：  
![在这里插入图片描述][20200711094536954.png_pic_center]  
把方向消去，得：  
![在这里插入图片描述][20200711094710628.png_pic_center]

联立下面两个方程组，可得：  
![在这里插入图片描述][20200711095355172.png_pic_center_pic_center]  
我们就可以把发射系数 R 和折射系数T 给求出来：  
【注：**反射系数的定义是边界上反射波电场和入射波电场之比、折射系数是边界上折射电场和入射电场之比**】

![在这里插入图片描述][20200711095716272.png_pic_center]  
同时，我们还注意到：**1+R = T**

我们可以看到，不同媒质的波阻抗η不一样，就会导致求出来的 R, T不同，因此我们可以说：**媒质的电磁参数决定分界面上的反射系数和折射系数，因此影响媒质中合成波的传播特性。**

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好啦！这就是本次连载的全部内容啦，今天我们推导了平面波的反射定理和折射定理，下面一个连载，我们就来看看平面波**从理想介质入射到理想导体**是个什么情况。

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[20200711090923534.png_pic_center]: /images/20230209/b13432cbafe0460bae4fcdfe8ca741ba.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: /images/20230209/dd20cd7e10d644f7956295c260c03f52.png
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