【你也能看得懂的电磁场与电磁波系列连载 18】

一时失言乱红尘 2023-02-23 03:52 189阅读 0赞

在上一个连载里面，我们引入了矢量微分算子，同时给出了梯度、方向导数的计算公式，我们一起来回顾一下：  
首先是三元函数的矢量微分算子的表达式：  
![在这里插入图片描述][20200705090745441.png_pic_center]  
下面是三元标量函数  u ( x , y , z ) u(x,y,z) u(x,y,z) 的梯度的计算公式：  
![在这里插入图片描述][20200705090822393.png_pic_center]  
最后是三元函数  u ( x , y , z ) u(x,y,z) u(x,y,z) 的方向导数的计算：  
![在这里插入图片描述][20200705090851991.png_pic_center]

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好的，引入了矢量微分算子，后面的事情就好办了。我们首先来看看  M a x w e l l Maxwell Maxwell 方程中描述电场的那个方程：  
![在这里插入图片描述][2020070509095414.png_pic_center]  
这个式子**左边表示通过闭合曲面S的电通量**，**因为这个闭合曲面S是可以任何选取的，它可以大可以小，可以是球面也可以是各种乱七八糟的闭合曲面。那么下面让这个闭合曲面也一直缩小缩小，缩小到无穷小，那么这时候高斯电场定律会变成什么样呢？**

当这个 S 闭合曲面不断缩到无穷小的时候，意味着这个曲面所包围的体积就趋近于0，那么我们是不是可以这样表示：  
![在这里插入图片描述][20200705091305962.png_pic_center]  
但是，当曲面缩小到无穷小的时候，我们**再使用电荷量q就不太合适了**，所以我们改用**电荷密度**（符号为ρ）。电荷密度，从名字里我们就能猜出它表示的是**单位体积内**包含电荷量的大小，所以它的表达式应该是**用电荷量除以体积**

我们现在是假设这个非常小的曲面 S 所包围的体积是  △ V △V △V，那么我们给上面的式子两边同时除以  △ V △V △V：  
![在这里插入图片描述][20200705091554606.png_pic_center]  
左边的这一串式子，我们给它一个新的定义——**散度**，用  d i v ( D ˉ ) div(\\bar\{D\}) div(Dˉ) 表示。  
![在这里插入图片描述][20200705091745899.png_pic_center]  
我们在电场基本方程的积分形式里面知道：**电荷q是静电场里面的通量源**。因此，**散度就可以描述场中任意一点的通量源密度**。那么你想啊：**如果在某一个点处的散度为0，那么这个点一定是没有源的；如果在这个点的散度大于0，那么说明这个点有源、而且是正源（向外发射通量线）；如果散度小于0，那么说明这个点有源，而且是负源（吸收通量线）**  
![在这里插入图片描述][20200705092331618.png_pic_center]

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那么说了半天，散度和矢量微分算子到底有上面关系呢？—— 谜底揭晓：  
![在这里插入图片描述][20200705092447141.png_pic_center]  
为什么是这样的表达式呢？我们下一个连载接着说。

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