【你也能看得懂的电磁场与电磁波系列连载 19】

拼搏现实的明天。 2023-02-23 03:52 23阅读 0赞

在上一个连载里面，我们介绍了散度的定义，最后给出了矢量微分算子和散度的关系：  
![在这里插入图片描述][20200705092644576.png_pic_center]  
但是，为什么这个表达式可以成立呢？今天我们来证明一下（以直角坐标系为例）

> 注：今天的连载涉及的公式较多，实在不能理解可以跳过，不影响后续的阅读。

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我们看下面这个矩形：

![20200323212403736.png][]

我们看这个长方体的最左下角的顶点  M M M，定义  M ( x , y , z ) M(x, y, z) M(x,y,z)，长方体的长宽高分别是  △ y , △ x , △ z △y, △x, △z △y,△x,△z

在  M M M 点处的矢量为： A → = A x a x → + A y a y → + A z a z → \\overrightarrow\{A\} = A\_x\\overrightarrow\{a\_x\}+A\_y\\overrightarrow\{a\_y\}+A\_z\\overrightarrow\{a\_z\} A=Axax\+Ayay\+Azaz **这里特别注意： A x , A y , A z A\_x, A\_y,A\_z Ax,Ay,Az都是  ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z) 三者的函数！**

我们下面先看看长方体前面的通量： ∯ S 1 A → ⋅ a f r o n t → d S = ∯ S 1 A x d S = A x ( x + △ x , y , z ) △ y △ z \\oiint\_\{S1\}\\overrightarrow\{A\}\\sdot \\overrightarrow\{a\_\{front\}\} dS = \\oiint\_\{S1\}A\_xdS = A\_x(x+△x, y, z)△y△z ∬S1A⋅afrontdS=∬S1AxdS=Ax(x\+△x,y,z)△y△z  
下面，我们回忆一下泰勒公式是怎么用的，下面是  f ( x ) f(x) f(x) 在  x 0 x\_0 x0 处的泰勒展开： f ( x ) = f ( x 0 ) 0 ! + f ′ ( x 0 ) 1 ! ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + ⋯ f(x) = \\frac\{f(x\_0)\}\{0!\} + \\frac\{f'(x\_0)\}\{1!\}(x-x\_0) + \\frac\{f''(x\_0)\}\{2!\}(x-x\_0)^2 + \\cdots f(x)=0!f(x0)\+1!f′(x0)(x−x0)\+2!f′′(x0)(x−x0)2\+⋯  
那么，类似地使用变量代换，将上式的  x x x 代换成  x + △ x x+△x x\+△x， x 0 x\_0 x0 换成  x x x， f ( ) f() f()函数使用  A x ( ) A\_x() Ax()替换，得： A x ( x + △ x , y , z ) = A x ( x , y , z ) + ∂ A x ( x , y , z ) ∂ x △ x + 1 2 ∂ 2 A x ( x , y , z ) ∂ x 2 △ x 2 + ⋯ A\_x(x+△x,y,z) =A\_x(x,y,z)+\\frac\{\\partial A\_x(x,y,z)\}\{\\partial x\}△x + \\frac\{1\}\{2\}\\frac\{\\partial^2 A\_x(x,y,z)\}\{\\partial x^2\}△x^2+\\cdots Ax(x\+△x,y,z)=Ax(x,y,z)\+∂x∂Ax(x,y,z)△x\+21∂x2∂2Ax(x,y,z)△x2\+⋯  
因此，我们可以得到一个近似表达： A x ( x + △ x , y , z ) ≈ A x ( x , y , z ) + ∂ A x ( x , y , z ) ∂ x △ x A\_x(x+△x,y,z) ≈ A\_x(x,y,z)+\\frac\{\\partial A\_x(x,y,z)\}\{\\partial x\}△x Ax(x\+△x,y,z)≈Ax(x,y,z)\+∂x∂Ax(x,y,z)△x

因此，前面的净通量就近似表示成： ∯ S 1 A → ⋅ a f r o n t → d S ≈ A x ( x , y , z ) △ y △ z + ∂ A x ( x , y , z ) ∂ x △ x △ y △ z \\oiint\_\{S1\}\\overrightarrow\{A\}\\sdot \\overrightarrow\{a\_\{front\}\} dS ≈A\_x(x,y,z)△y△z+\\frac\{\\partial A\_x(x,y,z)\}\{\\partial x\}△x△y△z ∬S1A⋅afrontdS≈Ax(x,y,z)△y△z\+∂x∂Ax(x,y,z)△x△y△z  
那么，我们再看看后面得通量：由于  A x a x → A\_x\\overrightarrow\{a\_x\} Axax 的方向是沿着  x x x 轴的正方向，因此与  a b a c k → \\overrightarrow\{a\_\{back\}\} aback 的方向相反，那么得到的通量结果是： ∯ S 2 A → ⋅ a b a c k → d S = − A x ( x , y , z ) △ y △ z \\oiint\_\{S2\}\\overrightarrow\{A\}\\sdot \\overrightarrow\{a\_\{back\}\} dS = -A\_x(x,y,z)△y△z ∬S2A⋅abackdS=−Ax(x,y,z)△y△z

那么，我们就可以得到前后两个面的净通量： Φ f r o n t + Φ b a c k = A x ( x , y , z ) △ y △ z + ∂ A x ( x , y , z ) ∂ x △ x △ y △ z − A x ( x , y , z ) △ y △ z = ∂ A x ( x , y , z ) ∂ x △ x △ y △ z \\begin\{aligned\} Φ\_\{front\} + Φ\_\{back\} &= A\_x(x,y,z)△y△z+\\frac\{\\partial A\_x(x,y,z)\}\{\\partial x\}△x△y△z - A\_x(x,y,z)△y△z\\\\ &=\\frac\{\\partial A\_x(x,y,z)\}\{\\partial x\}△x△y△z \\end\{aligned\} Φfront\+Φback=Ax(x,y,z)△y△z\+∂x∂Ax(x,y,z)△x△y△z−Ax(x,y,z)△y△z=∂x∂Ax(x,y,z)△x△y△z

那么，如果我们求出前后左右上下六个面的净通量，就可以表示成： Φ t o t a l = ∂ A x ( x , y , z ) ∂ x △ x △ y △ z + ∂ A y ( x , y , z ) ∂ y △ x △ y △ z + ∂ A z ( x , y , z ) ∂ z △ x △ y △ z Φ\_\{total\} = \\frac\{\\partial A\_x(x,y,z)\}\{\\partial x\}△x△y△z + \\frac\{\\partial A\_y(x,y,z)\}\{\\partial y\}△x△y△z + \\frac\{\\partial A\_z(x,y,z)\}\{\\partial z\}△x△y△z Φtotal=∂x∂Ax(x,y,z)△x△y△z\+∂y∂Ay(x,y,z)△x△y△z\+∂z∂Az(x,y,z)△x△y△z  
令体积微元  △ V = △ x △ y △ z △V = △x△y△z △V=△x△y△z，因此得到闭合曲面净通量表达式： Φ t o t a l = ∂ A x ( x , y , z ) ∂ x △ V + ∂ A y ( x , y , z ) ∂ y △ V + ∂ A z ( x , y , z ) ∂ z △ V Φ\_\{total\} = \\frac\{\\partial A\_x(x,y,z)\}\{\\partial x\}△V + \\frac\{\\partial A\_y(x,y,z)\}\{\\partial y\}△V + \\frac\{\\partial A\_z(x,y,z)\}\{\\partial z\}△V Φtotal=∂x∂Ax(x,y,z)△V\+∂y∂Ay(x,y,z)△V\+∂z∂Az(x,y,z)△V  
把它重新带入散度的定义式，我们就可以得到散度的计算公式： d i v A → = ∂ A x ( x , y , z ) ∂ x + ∂ A y ( x , y , z ) ∂ y + ∂ A z ( x , y , z ) ∂ z = ∂ A x ∂ x + ∂ A y ∂ y + ∂ A z ∂ z = ▽ A → \\begin\{aligned\} div\\overrightarrow\{A\} &= \\frac\{\\partial A\_x(x,y,z)\}\{\\partial x\} + \\frac\{\\partial A\_y(x,y,z)\}\{\\partial y\} + \\frac\{\\partial A\_z(x,y,z)\}\{\\partial z\}\\\\ &=\\frac\{\\partial A\_x\}\{\\partial x\} + \\frac\{\\partial A\_y\}\{\\partial y\} + \\frac\{\\partial A\_z\}\{\\partial z\} = ▽\\overrightarrow\{A\} \\end\{aligned\} divA=∂x∂Ax(x,y,z)\+∂y∂Ay(x,y,z)\+∂z∂Az(x,y,z)=∂x∂Ax\+∂y∂Ay\+∂z∂Az=▽A

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有了上面的证明，我们可以理直气壮地写出  M a x w e l l Maxwell Maxwell 方程中描述静电场公式的微分形式啦：  
![在这里插入图片描述][20200705093720510.png_pic_center]

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那么我们想想  M a x w e l l Maxwell Maxwell 方程中描述磁场的那个式子：  
![在这里插入图片描述][20200705093543550.png_pic_center]  
这不也是一样的形式嘛，只要是描述通量的，那么在微分形式里面我们就可以用散度描述他们：  
![在这里插入图片描述][20200705093649307.png_pic_center]

那么至此，我们已经了解了对于闭合曲面积分的这种形式如何用微分形式描述——通过散度，那么我们知道  M a x w e l l Maxwell Maxwell 方程里面还有闭合的线积分，那闭合线积分应该如何用微分形式描述呢？我们下一个连载好好说说。

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