【你也能看得懂的电磁场与电磁波系列连载 17】

超、凢脫俗 2023-02-22 13:50 92阅读 0赞

在上一个连载里面，我们废了好大的力气介绍了全微分，我们回顾一下：  
![在这里插入图片描述][20200704102505291.png_pic_center]

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下面，我们再看一个事情：**对于二元函数（曲面）上的某一点，以它为起点是可以引出无数条射线的对吧，而这些射线的方向也是无穷多个的，朝着四面八方（不过都是平行于 xoy面的）**。而这些**射线也会对应着曲面上的一段曲线**。

> 这里解释一下为什么是平行于 xoy 面：而根据线性代数里面的知识，我们知道**空间中的任何一个向量都可以用标准正交基来表示**。在二元函数里面我们可以用  a x ˉ , a y ˉ \\bar\{a\_x\}, \\bar\{a\_y\} axˉ,ayˉ 的线性组合来表示向量，那你不管  a x ˉ , a y ˉ \\bar\{a\_x\}, \\bar\{a\_y\} axˉ,ayˉ 怎么组合，所构成的向量不都是于 xoy 平行的嘛。

那么以  M 0 M\_0 M0 为起点的这一条射线（方向向量）所对应的二元函数上的一段曲线也是有导数的，这个导数我们就叫做**方向导数**（顾名思义，就是沿着这个方向上曲线的导数）如下图：  
![!\[在这里插入图片描述\](https://img-blog.csdnimg.cn/20200704105938646.png?x-oss-process=image/watermark,type\_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow\_10,text\_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw==,size\_16,color\_FFFFFF,t\_70\#pic\_center][https_img-blog.csdnimg.cn_20200704105938646.png_x-oss-process_image_watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

那么，很自然地我们就可以理解：如果经过 M0 的射线方向刚好是平行于  y y y 轴的，那么所截得的曲线的导数就是对  y y y 的偏导数了；如果经过 M0 的射线方向刚好是平行于  x x x 轴的，那么所截得的曲线的导数就是对  x x x 的偏导数了。（**所以说：偏导数就是  f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 沿着对应坐标轴所截得得曲线得导数**）

我们看一下以  M 0 M\_0 M0 为起点， △ l ˉ \\bar\{△l\} △lˉ为方向所对应到  f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的一条曲线  M 0 M M\_0M M0M

![在这里插入图片描述][20200704110111407.png_pic_center]

曲线  M 0 M M\_0M M0M的导数就是方向导数，根据导数的定义我们可以有：

![在这里插入图片描述][20200704104508594.png_pic_center]  
我们看到： f ( M ) − f ( M 0 ) f(M) - f(M\_0) f(M)−f(M0) 就是  △ f △f △f！是不是有点熟悉的感觉了？对！我们利用上一个连载所推导的公式：  
![在这里插入图片描述][20200704102505291.png_pic_center]

而根据线性代数里面的知识，我们知道**空间中的任何一个向量都可以用标准正交基来表示**。 △ l ˉ \\bar\{△l\} △lˉ 不就是平面中的一个向量吗！如下图所示：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
也就是说：  
![!\[在这里插入图片描述\](https://img-blog.csdnimg.cn/20200704105527398.png\#pic\_center][https_img-blog.csdnimg.cn_20200704105527398.png_pic_center]  
我们再回过头看这个式子：  
![在这里插入图片描述][20200704102505291.png_pic_center]  
根据向量点乘的性质，我们是不是可以这样分解一下：  
![在这里插入图片描述][20200704110723697.png_pic_center]

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接下来对于：

![!\[在这里插入图片描述\](https://img-blog.csdnimg.cn/20200704105527398.png\#pic\_center][https_img-blog.csdnimg.cn_20200704105527398.png_pic_center]我们还想把它改写成与  △ l △l △l 有关的表达式，那么我们就会引入方向余弦的概念了。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]  
上面这个图直观地描述了方向余弦的求法，那么，对于上面的式子，我们就可以改写成：  
![在这里插入图片描述][20200704111203665.png_pic_center]

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因此， △ f △f △f就可以写成：  
![在这里插入图片描述][20200704111342267.png_pic_center]  
细心的大家应该看到了这样的表达式：

![在这里插入图片描述][20200704111603375.png_pic_center]  
我们就把他定义为：  
![在这里插入图片描述][20200704111632569.png_pic_center]  
**这就是函数  f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 的梯度。**

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我们再看回方向导数的定义：  
![在这里插入图片描述][20200704104508594.png_pic_center]  
因此，最终我们得出了方向导数的计算公式：  
![在这里插入图片描述][20200704111508643.png_pic_center]

我们知道， c o s α , c o s β cosα, cosβ cosα,cosβ表示的是某一个特定的方向，那么此时的偏导数也反应的是函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 在这个方向上的变化率。不过我们知道，在  M 0 M\_0 M0 点是有无数个方向的，这各种各样的方向对应都可以对应着一段曲线，而又恰好这些曲线的切线又是共面的，如下图所示：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]  
那些黑线就表示许多经过 M0 点的曲线的切线。他们都是在一个平面上的，那么这样就很清晰了：**在这样一个平面上，总会是只有一个方向，使得函数的变化率是最大的。**

如下图所示：如果这个黑球要滚下这个平面，那沿着黑线滚下的速度肯定是必沿着黄线或红线滚下的速度快。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]  
我们再看会方向导数的公式：  
![在这里插入图片描述][20200704111508643.png_pic_center]

它可以写成：  
![在这里插入图片描述][20200704114048695.png_pic_center]  
在这个表达式里面， a l ˉ \\bar\{a\_l\} alˉ 是可以变化的，**那么啥时候方向导数达到最大值呢？—— 就是  a l ˉ \\bar\{a\_l\} alˉ 和 梯度同方向的时候！**

因此，我们也可以说： **▽ f ▽f ▽f 的方向就是函数下降最快的方向，因为当  a l ˉ \\bar\{a\_l\} alˉ 和 梯度同方向的时候，方向导数的值等于  ∣ ▽ f ∣ ⋅ ∣ a l ˉ ∣ |▽f| \\sdot |\\bar\{a\_l\}| ∣▽f∣⋅∣alˉ∣，而  ∣ a l ˉ ∣ = 1 |\\bar\{a\_l\}| = 1 ∣alˉ∣=1，所以方向导数的最大值就是梯度的模。**

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至此，这次的连载就要告一段路啦，我们今天引入了矢量微分算子，以及深入理解了方向导数和梯度的关系。那么在后面一个连载里面，我们就开始探寻  M a x w e l l Maxwell Maxwell 方程的微分形式啦！

[20200704102505291.png_pic_center]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200704102505291.png#pic_center
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