【线性代数（2）】n阶行列式三种定义

- 日理万妓 2023-02-22 03:48 21阅读 0赞

### n阶行列式 ###

*  1. 回顾
 *  2. n阶行列式
 *   *  2.1 第一种定义（按行展开）
     *  2.2 表示方式
     *  2.3 举个例子
     *  2.4 三角行列式
     *  2.5 第二种定义（按列展开）
     *  2.6 第三种定义（随意展开）
     *  2.7 习题举例

手动反爬虫：[原博地址][Link 1]

知识梳理不易，请尊重劳动成果，文章仅发布在CSDN网站上，在其他网站看到该博文均属于未经作者授权的恶意爬取信息

如若转载，请标明出处，谢谢！

# 1. 回顾 #

先回顾一下之前的三阶行列式，看一下其中的规律  
 ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 ∗ a 22 ∗ a 33 + a 12 ∗ a 23 ∗ a 31 + a 13 ∗ a 21 ∗ a 32 − a 13 ∗ a 22 ∗ a 31 − a 12 ∗ a 21 ∗ a 33 − a 11 ∗ a 23 ∗ a 32 \\begin\{vmatrix\}a\_\{11\} & a\_\{12\} & a\_\{13\} \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\} & a\_\{23\}\\\\ a\_\{31\} & a\_\{32\} & a\_\{33\} \\end\{vmatrix\}= a\_\{11\}\*a\_\{22\}\*a\_\{33\}+a\_\{12\}\*a\_\{23\}\*a\_\{31\} +a\_\{13\}\*a\_\{21\}\*a\_\{32\}-a\_\{13\}\*a\_\{22\}\*a\_\{31\}-a\_\{12\}\*a\_\{21\}\*a\_\{33\}-a\_\{11\}\*a\_\{23\}\*a\_\{32\} ∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣=a11∗a22∗a33\+a12∗a23∗a31\+a13∗a21∗a32−a13∗a22∗a31−a12∗a21∗a33−a11∗a23∗a32

观察一下最后的运算结果，也就得出了三阶行列式展开的定义

*  行标：取标准排列（全部都是123）
 *  列标：取排列的所有可能，从不同行不同列中取出三个元素相乘，符号是由列标排列的奇偶性决定的，详情如下

# 2. n阶行列式 #

## 2.1 第一种定义（按行展开） ##

三阶行列式展开定义的推广，也就是行标取标准排列，列标取排列的所有可能，从不同行不同列中取出n个元素相乘，符号是由列标排列的奇偶性决定的，共有  n ! n! n! 项，公式如下：

∣ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a 33 ∣ = ∑ j 1 j 2 . . . j n ( − 1 ) N ( j 1 j 2 . . . j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 . . . a n j n \\begin\{vmatrix\}a\_\{11\} & a\_\{12\} & ... & a\_\{1n\} \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\} & ... & a\_\{2n\}\\\\ .& .& . . .& .\\\\ a\_\{n1\} & a\_\{n2\} & ... &a\_\{33\} \\end\{vmatrix\}= \\sum\_\{j\_\{1\}j\_\{2\}...j\_\{n\}\}\{(-1)\}^\{N(j\_\{1\}j\_\{2\}...j\_\{n\})\}a\_\{1j\_\{1\}\}a\_\{2j\_\{2\}\}...a\_\{nj\_\{n\}\} ∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21.an1a12a22.an2............a1na2n.a33∣∣∣∣∣∣∣∣=j1j2...jn∑(−1)N(j1j2...jn)a1j1a2j2...anjn

其中：

**a 1 j 1 a 2 j 2 . . . a n j n a\_\{1j\_\{1\}\}a\_\{2j\_\{2\}\}...a\_\{nj\_\{n\}\} a1j1a2j2...anjn** 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积；

**N ( j 1 j 2 . . . j n ) N(j\_\{1\}j\_\{2\}...j\_\{n\}) N(j1j2...jn)** 表示列标的逆序数（奇偶性）；

**∑ j 1 j 2 . . . j n \\sum\_\{j\_\{1\}j\_\{2\}...j\_\{n\}\} ∑j1j2...jn** 表示对所有n级排列求和（进行累加）；

## 2.2 表示方式 ##

行列式的表示方式： D = ∣ a i j ∣ D = |a\_\{ij\}| D=∣aij∣，其中有个性质就是 ∣ a 11 ∣ = a 11 |a\_\{11\}| = a\_\{11\} ∣a11∣=a11

注意和数学上的区别：比如就存在这种现象： ∣ − 1 ∣ = − 1 |-1| = -1 ∣−1∣=−1和 ∣ − 1 ∣ = 1 |-1| = 1 ∣−1∣=1

∣ a 11 ∣ = a 11 |a\_\{11\}| = a\_\{11\} ∣a11∣=a11 这里指的是行列式  
 ∣ a 11 ∣ = ±   a 11 |a\_\{11\}| = \\pm\\ a\_\{11\} ∣a11∣=± a11 这里指的是绝对值

## 2.3 举个例子 ##

∣ 1 2 3 8 1 1 0 4 2 2 0 5 1 0 0 9 ∣ \\begin\{vmatrix\}1 & 2 & 3 & 8\\\\ 1 & 1 & 0 & 4\\\\ 2 & 2 & 0 &5\\\\ 1&0&0&9\\end\{vmatrix\} ∣∣∣∣∣∣∣∣1121212030008459∣∣∣∣∣∣∣∣

进行展开的时候，行标不变，主要是列标的改变，共有 4 ! = 24 4!=24 4!=24项，不妨进行展开看一下

以标准排列为基准，计算出其逆序数，判断运算符号，然后在根据对换数判断其他元素下标的运算符号，也就省去了其他元素下标进行逆序数的计算

真的要把24项全部展开真的太浪费时间了，通过上面的展开，可以发现有些展开项中存在着0这个元素，所以相乘的结果也是0，故该项就为0，这样的话就可以简化一些特殊的行列式，也是属于考试的重点

比如下面行列式：  
 ∣ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 ∣ \\begin\{vmatrix\}0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 &2\\\\ 1&0&0&0\\end\{vmatrix\} ∣∣∣∣∣∣∣∣0001100001000020∣∣∣∣∣∣∣∣

可以发现每列只有一个元素不为零，且对应的列标为2341，那么最后该4阶行列式展开的结果为： D = ( − 1 ) N ( 2341 ) 1 ∗ 1 ∗ 2 ∗ 1 = − 2 D = (-1)^\{N(2341)\}1\*1\*2\*1 = -2 D=(−1)N(2341)1∗1∗2∗1=−2

## 2.4 三角行列式 ##

上下三角及对角行列式都是针对于主对角线（从左上到右下）来讲的，其对称形式也就是针对于副对角线

计算下面行列式展开项的结果  
 ∣ a 11 0 . . . 0 a 21 a 22 . . . 0 . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ∣ = a 11 a 22 . . . a n n \\begin\{vmatrix\}a\_\{11\} & 0 & ... & 0 \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\} & ... & 0\\\\ .& .& . . .& .\\\\ a\_\{n1\} & a\_\{n2\} & ... &a\_\{nn\} \\end\{vmatrix\}=a\_\{11\}a\_\{22\}...a\_\{nn\} ∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21.an10a22.an2............00.ann∣∣∣∣∣∣∣∣=a11a22...ann

那么按照第一种定义来展开的话，

（1）首先要明确属于特殊的行列式，第一行除了第一个元素全是0，那么在取列表进行排列时候，只能取第一个；

（2）接着往下取，每次的展开项都是要由不同行不同列的n个元素相乘，所以最后只能取得元素就是 a 11 a 22 . . . a n n a\_\{11\}a\_\{22\}...a\_\{nn\} a11a22...ann；

（3）最后就是进行前面正负1的判定，下标为标准排列，前面符号取正；

（4）所以最终的下三角行列式的展开结果就为主对角线的乘积

上三角和对角线行列式也是同理，这时候取元素的时候从最后一行开始取即可  
 ∣ a 11 a 12 . . . a 1 n 0 a 22 . . . a 2 n . . . . . . 0 0 . . . a n n ∣ = a 11 a 22 . . . a n n \\begin\{vmatrix\}a\_\{11\} & a\_\{12\} & ... & a\_\{1n\} \\\\ 0 & a\_\{22\} & ... & a\_\{2n\}\\\\ .& .& . . .& .\\\\ 0 & 0 & ... &a\_\{nn\} \\end\{vmatrix\}=a\_\{11\}a\_\{22\}...a\_\{nn\} ∣∣∣∣∣∣∣∣a110.0a12a22.0............a1na2n.ann∣∣∣∣∣∣∣∣=a11a22...ann

∣ a 11 0 . . . 0 0 a 22 . . . 0 . . . . . . 0 0 . . . a n n ∣ = a 11 a 22 . . . a n n \\begin\{vmatrix\}a\_\{11\} & 0 & ... &0 \\\\ 0 & a\_\{22\} & ... & 0\\\\ .& .& . . .& .\\\\ 0 & 0 & ... &a\_\{nn\} \\end\{vmatrix\}=a\_\{11\}a\_\{22\}...a\_\{nn\} ∣∣∣∣∣∣∣∣a110.00a22.0............00.ann∣∣∣∣∣∣∣∣=a11a22...ann

注意上/下三角和对角线行列式的对称形式，其中的符号问题，如下

∣ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . 0 . . . . . . a n 1 0 . . . 0 ∣ = ( − 1 ) N ( n ( n − 1 ) . . . 3 ∗ 2 ∗ 1 ) a 1 n a 2 ( n − 1 ) . . . a n 1 = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 a 1 n a 2 ( n − 1 ) . . . a n 1 \\begin\{vmatrix\}a\_\{11\} & a\_\{12\} & ... & a\_\{1n\} \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\} & ... & 0\\\\ .& .& . . .& .\\\\ a\_\{n1\} & 0 & ... &0 \\end\{vmatrix\}= (-1) ^\{N(n(n-1)...3\*2\*1)\}a\_\{1n\}a\_\{2(n-1)\}...a\_\{n1\}= (-1)^\{ \\frac\{n(n-1)\}\{2\}\}a\_\{1n\}a\_\{2(n-1)\}...a\_\{n1\} ∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21.an1a12a22.0............a1n0.0∣∣∣∣∣∣∣∣=(−1)N(n(n−1)...3∗2∗1)a1na2(n−1)...an1=(−1)2n(n−1)a1na2(n−1)...an1

∣ 0 0 . . . a 1 n 0 a 22 . . . a 2 n . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ∣ = ( − 1 ) N ( n ( n − 1 ) . . . 3 ∗ 2 ∗ 1 ) a 1 n a 2 ( n − 1 ) . . . a n 1 = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 a 1 n a 2 ( n − 1 ) . . . a n 1 \\begin\{vmatrix\}0 & 0 & ... & a\_\{1n\} \\\\ 0& a\_\{22\} & ... & a\_\{2n\} \\\\ .& .& . . .& .\\\\ a\_\{n1\} & a\_\{n2\} & ... &a\_\{nn\}\\end\{vmatrix\}= (-1) ^\{N(n(n-1)...3\*2\*1)\}a\_\{1n\}a\_\{2(n-1)\}...a\_\{n1\} = (-1)^\{ \\frac\{n(n-1)\}\{2\}\}a\_\{1n\}a\_\{2(n-1)\}...a\_\{n1\} ∣∣∣∣∣∣∣∣00.an10a22.an2............a1na2n.ann∣∣∣∣∣∣∣∣=(−1)N(n(n−1)...3∗2∗1)a1na2(n−1)...an1=(−1)2n(n−1)a1na2(n−1)...an1

∣ 0 0 . . . a 1 n 0 a 22 . . . 0 . . . . . . a n 1 0 . . . 0 ∣ = ( − 1 ) N ( n ( n − 1 ) . . . 3 ∗ 2 ∗ 1 ) a 1 n a 2 ( n − 1 ) . . . a n 1 = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 a 1 n a 2 ( n − 1 ) . . . a n 1 \\begin\{vmatrix\}0 & 0 & ... & a\_\{1n\} \\\\ 0& a\_\{22\} & ... & 0\\\\ .& .& . . .& .\\\\ a\_\{n1\} & 0 & ... &0 \\end\{vmatrix\}= (-1) ^\{N(n(n-1)...3\*2\*1)\}a\_\{1n\}a\_\{2(n-1)\}...a\_\{n1\} = (-1)^\{ \\frac\{n(n-1)\}\{2\}\}a\_\{1n\}a\_\{2(n-1)\}...a\_\{n1\} ∣∣∣∣∣∣∣∣00.an10a22.0............a1n0.0∣∣∣∣∣∣∣∣=(−1)N(n(n−1)...3∗2∗1)a1na2(n−1)...an1=(−1)2n(n−1)a1na2(n−1)...an1

## 2.5 第二种定义（按列展开） ##

还是先拿三阶行列式进行展开示例：  
 ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 ∗ a 22 ∗ a 33 + a 31 ∗ a 12 ∗ a 23 + a 21 ∗ a 32 ∗ a 13 − a 31 ∗ a 22 ∗ a 13 − a 21 ∗ a 12 ∗ a 33 − a 11 ∗ a 32 ∗ a 23 \\begin\{vmatrix\}a\_\{11\} & a\_\{12\} & a\_\{13\} \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\} & a\_\{23\}\\\\ a\_\{31\} & a\_\{32\} & a\_\{33\} \\end\{vmatrix\}= a\_\{11\}\*a\_\{22\}\*a\_\{33\}+a\_\{31\}\*a\_\{12\}\*a\_\{23\} +a\_\{21\}\*a\_\{32\}\*a\_\{13\}-a\_\{31\}\*a\_\{22\}\*a\_\{13\}-a\_\{21\}\*a\_\{12\}\*a\_\{33\}-a\_\{11\}\*a\_\{32\}\*a\_\{23\} ∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣=a11∗a22∗a33\+a31∗a12∗a23\+a21∗a32∗a13−a31∗a22∗a13−a21∗a12∗a33−a11∗a32∗a23

第二种定义为（按列展开）：列标取标准排列，行标取排列的所有可能，从不同行不同列中取出n个元素相乘，符号是由行标排列的奇偶性决定的，共有  n ! n! n! 项，公式如下：

∣ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a 33 ∣ = ∑ i 1 i 2 . . . i n ( − 1 ) N ( i 1 i 2 . . . i n ) a i 1 1 a i 2 2 . . . a i n n \\begin\{vmatrix\}a\_\{11\} & a\_\{12\} & ... & a\_\{1n\} \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\} & ... & a\_\{2n\}\\\\ .& .& . . .& .\\\\ a\_\{n1\} & a\_\{n2\} & ... &a\_\{33\} \\end\{vmatrix\}= \\sum\_\{i\_\{1\}i\_\{2\}...i\_\{n\}\}\{(-1)\}^\{N(i\_\{1\}i\_\{2\}...i\_\{n\})\}a\_\{i\_\{1\}1\}a\_\{i\_\{2\}2\}...a\_\{i\_\{n\}n\} ∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21.an1a12a22.an2............a1na2n.a33∣∣∣∣∣∣∣∣=i1i2...in∑(−1)N(i1i2...in)ai11ai22...ainn

## 2.6 第三种定义（随意展开） ##

这种展开就是既不按照行排列，也不按照列进行排列，还是以三阶的行列式为例，展开的每一项都是有三个元素相乘，如果随意的打乱其中的位置，比如把上面的a11∗a22∗a33，变成a33∗a22∗a11，就变成乱序了，也就不符合上面的前两种定义，这时候的展开项的公式如下

∣ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a 33 ∣ = ∑ ( − 1 ) N ( i 1 i 2 . . . i n ) + N ( j 1 j 2 . . . j n ) a i 1 j 1 a i 2 j 2 . . . a i n j n \\begin\{vmatrix\}a\_\{11\} & a\_\{12\} & ... & a\_\{1n\} \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\} & ... & a\_\{2n\}\\\\ .& .& . . .& .\\\\ a\_\{n1\} & a\_\{n2\} & ... &a\_\{33\} \\end\{vmatrix\}= \\sum\_\{\}\{(-1)\}^\{N(i\_\{1\}i\_\{2\}...i\_\{n\}) + N(j\_\{1\}j\_\{2\}...j\_\{n\})\}a\_\{i\_\{1\}j\_\{1\}\}a\_\{i\_\{2\}j\_\{2\}\}...a\_\{i\_\{n\}j\_\{n\}\} ∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21.an1a12a22.an2............a1na2n.a33∣∣∣∣∣∣∣∣=∑(−1)N(i1i2...in)\+N(j1j2...jn)ai1j1ai2j2...ainjn

## 2.7 习题举例 ##

一个行列式的展开式如下，求解其中的i,k,m参数及最后的展开项  
 ( − 1 ) N ( i 21 m ) + N ( 1 k 32 ) a i 1 a 2 k a 13 a m 2 (-1)^\{N(i21m)+N(1k32)\}a\_\{i1\}a\_\{2k\}a\_\{13\}a\_\{m2\} (−1)N(i21m)\+N(1k32)ai1a2ka13am2

解：

① 首先看符号这里的判定，既不属于行标也不属于列标展开，故为第三种定义展开

②其次，看下标，一个是i21m，一个是1k32，由于是由排列组成的，所以k = 4, i = 3, j = 4 或者 k = 4, j = 3, i = 4

③接着求解逆序数（很明显两个答案对应的结果是一奇一偶，因为经过一次对换），N(3214) + N(1432)= 6; N(4213) + N(1432)=7

④最后展开项为 a 31 a 24 a 13 a 42 a\_\{31\}a\_\{24\}a\_\{13\}a\_\{42\} a31a24a13a42 或者  − a 41 a 24 a 13 a 32 -a\_\{41\}a\_\{24\}a\_\{13\}a\_\{32\} −a41a24a13a32

至此，n阶行列式的内容梳理完毕，下一部分为行列式性质的介绍

[Link 1]: https://blog.csdn.net/lys_828/article/details/107061589