线性代数-行列式

短命女 2021-12-13 04:35 1806阅读 0赞

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

**排列：**

有n个数组成的一个有序数组称为一个n级排列，n级排列共有n！个排列方式。

**逆序：**

一个排列中，一个大的数排在了一个小的数前面，那么这两个数就构成了逆序，必须132，那么3和2就是逆序。

**逆序数：**

在一个n级排列中，逆序的总数就是这个排列的逆序数，记作τ(tao)，比如：32514 ，那么就从左往右以此查看每一个数据的逆序，3的逆序有2和1，2的逆序有1，5的逆序有1和4，1和4没有逆序，因为没有比他们小的数在他们的后面，所以将前面的逆序个数全部加起来就是这个排列的逆序数。也就是5.

# \------------------------------------------------------------------------------------------- #

# 行列式 #

## 行列式的定义： ##

![20190810145334682.png][]

通过二阶行列式的几何意义，我们清楚的知道了行列式它具体表示的是什么！

以此类推：我们得到三阶行列式的定义：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

所以，行列式的本质是一个图形的体积：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

**二三阶行列式的总结：**

从二三阶行列式，我们可以看出来，他们计算时候的每一项其实都是取自不同行不同列的，且不能重复取，那么这样就很容易的可以确定一个行列式的每一项。

**行列式的一般式子：**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

我们官方一点的来说：n阶行列式每一项都是取自不同行、不同列的n个元素的乘积。而一共有n！项。最后求的是这n！项的代数和，也就是有加有减。

如何确定是“+”还是“-”：当行下标顺序排列的时候，每一项的正负号由列下标的逆序数决定。多看一下上面的这个式子。

比如计算这一项的正负号：![2019071410594856.png][]   很明显，行下标已经是顺序排列了，那么列下标213，逆序数为1，所以-1的1次方还是-1，这一项就负的。ok，very easy！

最后我们发现，行列式最后就是一个可以计算出来的数值，就特喵的是个数！

# \-------------------------------------------------------------------------------------------- #

# 行列式的性质：（7个） #

![20190810150015102.png][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 4][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 5][]

# \-------------------------------------------------------------------------------------------- #

**余子式：**

在行列式中，去掉一个元素所在的行和列，比如![\{\\color\{Red\} a\_\{ij\}\}][color_Red_ a_ij]，就是去掉第 i 行，第 j 列。那么剩下的元素组成的行列式就是这个元素的余子式，记做![\{\\color\{Red\} M\_\{ij\}\}][color_Red_ M_ij]

**代数余子式：**

在一个元素的余子式的前面加上符号就是这个元素的代数余子式，也就是![\{\\color\{Red\} (-1)^\{i+j\}M\_\{ij\}\}][color_Red_ _-1_i_j_M_ij],记作![\{\\color\{Red\} A\_\{ij\}\}][color_Red_ A_ij]。所以有：

![aHR0cHM6Ly9wcml2YXRlLmNvZGVjb2dzLmNvbS9naWYubGF0ZXg_JTdCJTVDY29sb3IlN0JSZWQlN0QlMjBBXyU3QmlqJTdEJTdE][]=![aHR0cHM6Ly9wcml2YXRlLmNvZGVjb2dzLmNvbS9naWYubGF0ZXg_JTdCJTVDY29sb3IlN0JSZWQlN0QlMjAlMjgtMSUyOSU1RSU3QmkmcGx1cztqJTdETV8lN0JpaiU3RCU3RA][]同时呢，还有![\{\\color\{Red\} M\_\{ij\}\}][color_Red_ M_ij]=![\{\\color\{Red\} (-1)^\{i+j\}A\_\{ij\}\}][color_Red_ _-1_i_j_A_ij]，这也是成立的，想不到的，其实也好理解，就是负负得正

余子式和代数余子式的值，和被划掉的那个元素是没有关系的，就是那个![\{\\color\{Red\} a\_\{ij\}\}][color_Red_ a_ij]。

# 行列式的展开公式： #

![20190714114928909.png][]

行列式的值等于它的任意一行（列）的元素与其对应的代数余子式的乘积之和

**注意：**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 6][]

这是个什么意思呢，由行列式的展开公式可以知道，行列式的值可以等于任一行（列）的元素和他们对应代数余子式的乘积之和，但是！如果串行（列）了，就是乘的不是这一行对应元素的代数余子式，比如乘的是另外一行的元素对应的代数余子式。那么这个展开式的值就是0

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# 几个重要的行列式 #

**上下三角行列式**

其值为主对角线元素的乘积

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 7][]

**副对角线的上下三角行列式**

其值同样等于副对角线的乘积，不过他的前面加上了一个符号的表达式，![\{\\color\{Red\} (-1)^\{\\frac\{n(n-1)\}\{2\}\}\}][color_Red_ _-1_frac_n_n-1_2],原因在于，行列式的每一项都是存在符号问题的，而上面主对角线没有这个，是因为它的逆序数为0.所以不用考虑

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 8][]

**拉普拉斯展开式 **

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 9][]

这个东西该怎么理解？其实原理可以看成是和正副对角线的行列式是一样的，不过这里进行了广义化。这里的A、B可能也是一个行列式，但是他们在大的环境下，将他们看成一个变量，而这个时候，有一个角全是0，那么，这个行列式的最终值也可以是对角线上行列式绝对值的乘积。

**范德蒙行列式**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 10][]

第一行全是1，第二行是一些数，第三行是这些数对应的平方，最后一行是这些数对应的n-1次方，这就是范德蒙行列式

他的值，盯着第二行看，就等于后面的减前面的最后将剪出来的值再乘积。比如第二行的元素是4  2  6  8，那么这个行列式的值为(2-4)(6-4)(8-4)(6-2)(8-2)(8-6)，每一项都要减的。

**行和相等的行列式**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 11][]

# 行列式解题方法： #

1.利用7大性质做恒等变形

2.话三角形法

3.范德蒙行列式法

4.递推法

5.加边法

6.爪型行列式化三角法

# 解题经验： #

**1.碰见这种行列式直接套公式**

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**2.碰见这种用加边法**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 13][]

加边法固有格式

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 14][]

这个是固定格式，第一列一定是这样加，这样的话，我们按列展开又能回到原来的那个行列式。

**3.碰见爪型行列式将他化成三角形行列式**

**4.碰见这种类对角线行列式用递推法**

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**5.碰见类对角线行列式，同时它的角落还有一个非零元素的这种行列式，直接展开，注意是按行还是按列，看那个简单用哪个**

**6.还可以使用矩阵的一些特性求行列式**

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