【线性代数（1）】二阶三阶不等式

你的名字 2023-02-21 14:22 13阅读 0赞

### 行列式 ###

*  1. 数学与线性代数中的部分区别
 *  2.方程组
 *  3. 二阶行列式
 *  4. 三阶行列式
 *  5. 排列
 *  6. 定理

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# 1. 数学与线性代数中的部分区别 #

*  在数学中：  
     2 ∗ 3 = 3 ∗ 2 2\*3 = 3\*2 2∗3=3∗2  
     a b = a b ab = ab ab=ab  
     1 a \\frac\{1\}\{a\} a1
 *  在线性代数中  
     A B ! = B A AB != BA AB!=BA  
     ! 1 a ! \\frac\{1\}\{a\} !a1
 *  特别注意：0在线性代数中有多层含义
    
    ① 代表数字0
    
    ② 代表矩阵0
    
    ③ 代表0向量

# 2.方程组 #

小例子  
 \{ 5 x + 6 y = 7 9 x + 4 y = 3 \\begin\{cases\} 5x+6y=7 \\\\ 9x+4y=3 \\end\{cases\} \{ 5x\+6y=79x\+4y=3

*  解方程初步  
     \{ x = 7 ∗ 4 − 6 ∗ 3 5 ∗ 4 − 6 ∗ 9 y = 3 ∗ 5 − 7 ∗ 9 5 ∗ 4 − 6 ∗ 9 \\begin\{cases\} x= \\frac\{7\*4 - 6\*3\}\{5\*4-6\*9\} \\\\ y= \\frac\{3\*5 - 7\*9\}\{5\*4-6\*9\} \\end\{cases\} \{ x=5∗4−6∗97∗4−6∗3y=5∗4−6∗93∗5−7∗9
 *  定义一个新运算

∣ a b c d ∣ = a d − c b \\begin\{vmatrix\}a & b \\\\ c & d\\\\ \\end\{vmatrix\}= ad-cb ∣∣∣∣acbd∣∣∣∣=ad−cb

*  使用新运算求解

\{ x = ∣ 7 3 6 4 ∣ ∣ 5 9 6 4 ∣ y = ∣ 3 9 7 5 ∣ ∣ 5 9 6 4 ∣ \\begin\{cases\} x =\\frac\{\\begin\{vmatrix\}7 & 3 \\\\ 6 & 4\\\\ \\end\{vmatrix\}\}\{\\begin\{vmatrix\}5 & 9 \\\\ 6 & 4\\\\ \\end\{vmatrix\}\} \\\\ y= \\frac\{\\begin\{vmatrix\}3 & 9 \\\\ 7 & 5\\\\ \\end\{vmatrix\}\}\{\\begin\{vmatrix\}5 & 9 \\\\ 6 & 4\\\\ \\end\{vmatrix\}\} \\end\{cases\} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x=∣∣∣5694∣∣∣∣∣∣7634∣∣∣y=∣∣∣5694∣∣∣∣∣∣3795∣∣∣

# 3. 二阶行列式 #

特征：2行2列共4个元素 a i j a\_\{ij\} aij，其中i表示行标，j表示列标

可以使用下列式子进行表达，运算时对角线相乘后进行减法处理

∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ = a 11 a 22 − a 12 a 21 \\begin\{vmatrix\}a\_\{11\} & a\_\{12\} \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\}\\\\ \\end\{vmatrix\}= a\_\{11\}a\_\{22\}-a\_\{12\}a\_\{21\} ∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣=a11a22−a12a21

比如  
 ∣ 爱 辈 子 你 ∣ = 爱 你 一 辈 子 \\begin\{vmatrix\}爱 & 辈 \\\\ 子 & 你 \\\\ \\end\{vmatrix\}= 爱你一辈子 ∣∣∣∣爱子辈你∣∣∣∣=爱你一辈子

# 4. 三阶行列式 #

先来个小例子

∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 8 ∣ = 1 ∗ 5 ∗ 9 + 2 ∗ 6 ∗ 7 + 4 ∗ 8 ∗ 3 − 3 ∗ 5 ∗ 7 − 2 ∗ 4 ∗ 9 − 1 ∗ 6 ∗ 8 \\begin\{vmatrix\}1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6\\\\ 7 & 8 & 8 \\end\{vmatrix\}= 1\*5\*9+2\*6\*7 +4\*8\*3-3\*5\*7-2\*4\*9-1\*6\*8 ∣∣∣∣∣∣147258368∣∣∣∣∣∣=1∗5∗9\+2∗6∗7\+4∗8∗3−3∗5∗7−2∗4∗9−1∗6∗8

计算方式（图片来源于百度）

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# 5. 排列 #

（1）定义：由 1,2,3，…，n 组成的一个有序数组，叫做n级排列

*  **注意：** 3145是一个排列吗？
 *  考察的知识点对应就是上面的…，就是中间的数字一个也不能少，（中间不能缺数），所以3145不是一个排列

（2）n级排列方式： n ( n − 1 ) . . . 3 ∗ 2 ∗ 1 = n ！ n(n-1)...3\*2\*1 = n！ n(n−1)...3∗2∗1=n！

（3）逆序：比较大的数排在了较小数的前面，比如：4213

（4）逆序数：逆序的总数，数逆序数是要从第一个数开始数后面有几个比其小的，切记顺序，不能乱来，用 **N()** 表示

*  （比如4213，4后面有3个比其小的数，2后面有1个，1后面没有，所以总共有4个）

（5）奇/偶排列：如果逆序数的为奇数就是奇排列，是偶数就是偶排列

（6）标准排列（自然排列）： N ( 1 , 2 , 3 , . . . , n ) = 0 N(1,2,3,...,n) = 0 N(1,2,3,...,n)=0

（7）倒序排列：  N ( n , n − 1 , . . . , 3 , 2 , 1 ) = n ( n − 1 ) 2 N(n, n-1,...,3,2,1) = \\frac\{n(n-1)\}\{2\} N(n,n−1,...,3,2,1)=2n(n−1)

（8） 对换：交换两个数，

*  比如： N ( 54123 ) = 4 + 3 + 0 = 7 N(54123) = 4+3+0 = 7 N(54123)=4\+3\+0=7 奇排列
 *  1和2对换  N ( 54213 ) = 4 + 3 + 1 = 8 N(54213) = 4 + 3 + 1 = 8 N(54213)=4\+3\+1=8 偶排列

（9）结论：一个排列经过一次对换，奇偶性改变一次

（10） 推广：如果一个排列做奇次性对换，性质发生改变；如果是偶次性对换，性质不变,也就是‘奇变偶不变’

# 6. 定理 #

最后一部分为了方便日后的翻阅，将定理都放置在最后一部分

**定理1：在n级排列中，奇排列和偶排列各占  n ! 2 \\frac\{n!\}\{2\} 2n!**

这一节的内容是基础知识的讲解，为了引出下部分的n阶行列式

[Link 1]: https://blog.csdn.net/lys_828/article/details/107059260
[img-E8tKvsd1-1593573259767_attachment_image.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200701111447788.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2x5c184Mjg=,size_16,color_FFFFFF,t_70