线性代数笔记【行列式】

蔚落 2023-01-13 04:21 256阅读 0赞

# 方阵的行列式 #

## 二阶行列式 ##

对于2x2型线性方程组，可以将其变为

解 x 1 = b 1 a 22 − b 2 a 12 a 11 a 22 − a 21 a 12 , x 2 = a 11 b 2 − a 21 b 1 a 11 a 22 − a 21 a 12 x\_1=\\frac\{b\_1 a\_\{22\}-b\_2 a\_\{12\}\}\{a\_\{11\}a\_\{22\}-a\_\{21\}a\_\{12\}\},x\_2=\\frac\{a\_\{11\}b\_2-a\_\{21\}b\_1\}\{a\_\{11\}a\_\{22\}-a\_\{21\}a\_\{12\}\} x1=a11a22−a21a12b1a22−b2a12,x2=a11a22−a21a12a11b2−a21b1的形式，引入行列式作为 x 1 、 x 2 x\_1、x\_2 x1、x2的简写法  
 ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ \\left|\\begin\{array\}\{cccc\} a\_\{11\} & a\_\{12\} \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\} \\end\{array\}\\right| ∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣  
**主对角线两元素乘积-副对角线两元素乘积=行列式的值**

## n阶行列式 ##

引入一个递归定义：

有A=\[aij\]nxn，把  
 ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ \\left|\\begin\{array\}\{cccc\} a\_\{11\} & a\_\{12\} & \\cdots & a\_\{1n\} \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\} & \\cdots & a\_\{2n\} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a\_\{n1\} & a\_\{n2\} & \\cdots & a\_\{nn\} \\end\{array\}\\right| ∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣  
称为方阵A的**行列式**，这就是一个n阶行列式，记作det(A)或|A|

它是按照下述运算法则表达的一个算式：

当n=1时， d e t ( A ) = a 11 det(A)=a\_\{11\} det(A)=a11

当n>1时， d e t ( A ) = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k + 1 d e t ( A ( k , 1 ) ) det(A)=\\sum\_\{k=1\}^n (-1)^\{k+1\}det(A(k,1)) det(A)=∑k=1n(−1)k\+1det(A(k,1))

其中 d e t ( A ( k , 1 ) ) det(A(k,1)) det(A(k,1))是aij的**余子阵**A(k,1)对应的行列式，称为aij的**余子式**

余子阵就是从方阵A=\[aij\]nxn中去掉aij所在的第i行和第j列所有元素后余下的n-1阶方阵，记为A(i,j)，这里去掉了第k行和第1列，得到余子阵A(k,1)

把 ( − 1 ) i + j d e t ( A ( i , j ) ) (-1)^\{i+j\}det(A(i,j)) (−1)i\+jdet(A(i,j))叫做aij的**代数余子式**，记作 A i j = ( − 1 ) i + j d e t ( A ( i , j ) ) A\_\{ij\}=(-1)^\{i+j\}det(A(i,j)) Aij=(−1)i\+jdet(A(i,j))

按照代数余子式的符号，有det(A)=a11A11\+a21A21\+…+an1An1，这就是det(A)按第1列的展开式

由这个定义，就可以把n行列式任意展开

# 行列式的性质 #

## 转置无关性 ##

∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^T|=|A| ∣AT∣=∣A∣

因此**行列式可以按照任意列或任意行展开**，可以得到第i行和第j列的展开式，并根据这些展开式递归得到行列式的值（虽然不太可能会用这个方法算）

**若方阵A某行或某列的元素全为0，则|A|=0**

## 线性 ##

### 代数余子式向量 ###

设aj为A的第j个列向量，把向量$ \\tilde\{a\_j\}=\[A\_\{1j\},A\_\{2j\},\\cdots,A\_\{nj\}\]^T$称为aj的代数余子式向量

由这个定义，可以将之前所述按任意列/任意行的展开式写成 ∣ A ∣ = a j ~ T a j |A|=\\tilde\{a\_j\}^Ta\_j ∣A∣=aj~Taj或 ∣ A ∣ = a j ~ a j |A|=\\tilde\{a\_j\}a\_j ∣A∣=aj~aj

可以得到一个基本性质：

**若方阵A和B只有第j列不同，则它们两者的第j列的代数余子式向量相同**

### 线性性质 ###

行列式具有分行/分列齐次性和可加性，也就是具有分行/分列线性性质

具体表现在：

*  行列式乘k=k乘行列式其中一行/列
 *  两个只有第i行/列不同的行列式相加=第i行/列两个不同值对应相加，其他行/列不变的行列式
 *  对于n阶行列式，|kA|=kn|A|，也就是可以把行列式中的系数乘以n次幂后提出来
 *  若方阵A中有两行/列相同或成比例或有一列/行是另外两列/行之和，则|A|=0
 *  倍加变换不改变行列式的值：对方阵A进行任意次倍加行/列变换得到B，对应的行列式不变，即|A|=|B|
 *  每对方阵A进行一次对调变换，行列式|A|的值就变为原来的相反数（用C语言伪代码描述就是if(对调变换) |A|=-|A|;）
 *  行列式每一列的每个元素乘另一列对应元素的代数余子式之和等于0

# 行列式的计算 #

## 按行（列）展开法 ##

当行列式中某些行或列0元素较多时可以通过按行/列展开的方法计算

## 化为三角形行列式 ##

### 基本结论 ###

**所有三角形矩阵的行列式都等于其对角元的乘积**

对任何方阵A，通过有限次倍加变换就能将其化为上三角/下三角形矩阵，所以可以将一些无规则行列式化简再计算

## 先化简再展开 ##

选取行列式的一行或一列，使用倍加变换将改行/列化为只剩下一个数不为零的情形，再按这一行/列展开

## 范德蒙德行列式 ##

形如  
 \[ 1   1   1 ⋯   1 x 1   x 2   x 3 ⋯   x n x 1 2     x 2 2 x 3 2 ⋯ x n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ x 1 n − 1   x 2 n − 1 x 3 n − 1 ⋯ x n n − 1 \] \\left\[\\begin\{matrix\} 1  & 1 &   1 & \\cdots  & 1 \\\\ x\_1  & x\_2 &   x\_3 & \\cdots  & x\_n \\\\ x\_1^2  &  x\_2^2 & x\_3^2 & \\cdots & x\_n^2 \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ x\_1^\{n-1\} & x\_2^\{n-1\} & x\_3^\{n-1\} & \\cdots & x\_n^\{n-1\} \\end\{matrix\}\\right\] ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡1 x1 x12 ⋮x1n−1 1x2 x22⋮x2n−1 1 x3x32⋮x3n−1⋯ ⋯ ⋯⋯1xnxn2⋮xnn−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤  
的方阵称为**范德蒙德矩阵**，对应的行列式 d e t ( V n ) det(V\_n) det(Vn)称为范德蒙德行列式  
KaTeX parse error: Unknown column alignment: 2 at position 21: …t|\\begin\{array\}2̲1  & 1 &   1 …

经过“从最后一行开始，每行减去上一行的x1倍”，并提出公因式，反复多次后，可得到  
 d e t ( V n ) = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( x j − x i ) = ( x n − x n − 1 ) ( x n − x n − 2 ) ⋯ ( x n − x 1 ) ( x n − 1 − x n − 2 ) ⋯ ( x n − 1 − x 1 ) ⋯ ( x 2 − x 1 ) det(V\_n)=\\prod\_\{1 \\le i < j \\le n\}(x\_j-x\_i)= \\begin\{matrix\} (x\_n-x\_\{n-1\})(x\_n-x\_\{n-2\})\\cdots(x\_n-x\_1)\\\\ (x\_\{n-1\}-x\_\{n-2\})\\cdots(x\_\{n-1-x\_1\})\\\\ \\cdots\\\\ (x\_2-x\_1) \\end\{matrix\} det(Vn)=1≤i<j≤n∏(xj−xi)=(xn−xn−1)(xn−xn−2)⋯(xn−x1)(xn−1−xn−2)⋯(xn−1−x1)⋯(x2−x1)

注意 V n T V^T\_n VnT不是范德蒙德矩阵，需要转置后才能按范德蒙德矩阵进行计算

## 其他所有行加到某一行，再依次相减 ##

对于每一行/列中都只有一个数Y不同，其他所有地方都是相同的数R这样的矩阵，应该把所有其他行乘1加到某一行，这一行就会包含Y+nR的值，依次将其他行相减，就能得到易于提出公因式的行列式元素

化简后即可变成三角行列式进行计算

## 各行（列）元素之和相等的行列式 ##

把其他行/列都加到第1行/列，再用每一行/列都减去第1行/列，就能将行列式化为三角形行列式

## 箭型行列式 ##

将第i+1列/行的 − c i a i -\\frac\{c\_i\}\{a\_i\} −aici倍都加到第1列/行，最后就能得到一个三角形行列式

## 递推法、三对角行列式 ##

三对角行列式就是主对角线及其两边元素都有值

将行列式按第1行展开，得到 D n = 5 D n − 1 − 6 D n − 2 D\_n=5D\_\{n-1\}-6D\_\{n-2\} Dn=5Dn−1−6Dn−2递推公式

进一步整理得 D n = 3 n + 1 − 2 n + 1 D\_n=3^\{n+1\}-2^\{n+1\} Dn=3n\+1−2n\+1

对于特例  
$$  
\\left|\\begin\{array\}\{cccc\}  
a  & b &   0 & \\cdots  & 0 & 0 \\  
c  & a &   b & \\cdots  & 0 & 0 \\  
0  &  c & a & \\cdots & 0 & 0 \\  
\\vdots & \\vdots & \\vdots & & \\vdots & \\vdots \\  
0 & 0 & 0 & \\cdots & a & b \\  
0 & 0 & 0 & \\cdots & c & a  
\\end\{array\}\\right|=

\\left\{  
\\begin\{aligned\}  
(n+1)x^n\_1 & (x\_1=x\_2)\\  
\\frac\{x\_1\{n+1\}-x\_2\{n+1\}\}\{x\_1-x\_2\} & (x\_1 \\neq x\_2)  
\\end\{aligned\}\\  
\\right.  
$$  
其中 x 1 x\_1 x1和 x 2 x\_2 x2是方程 x 2 − a x + b c = 0 x^2-ax+bc=0 x2−ax\+bc=0的根

## 分块三角形行列式的性质 ##

### 基本性质 ###

A、B分别是m阶和n阶方阵，C为mxn矩阵，则  
 ∣ A C O B ∣ = ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ \\left| \\begin\{matrix\} A & C \\\\ O & B \\\\ \\end\{matrix\} \\right|= |A|\\cdot|B| ∣∣∣∣AOCB∣∣∣∣=∣A∣⋅∣B∣  
A、B都是n阶方阵，则 ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ |AB|=|A|\\cdot|B| ∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣，有 ∣ A B ∣ = ∣ B A ∣ |AB|=|BA| ∣AB∣=∣BA∣

A为n阶方阵，k为正整数，则 ∣ A k ∣ = ∣ A ∣ k |A^k|=|A|^k ∣Ak∣=∣A∣k

### 扩展性质 ###

A、B分别是**m**阶和**n**阶方阵，C为mxn矩阵，则  
 ∣ A C O B ∣ = ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ \\left| \\begin\{matrix\} A & C \\\\ O & B \\\\ \\end\{matrix\} \\right|= |A|\\cdot|B| ∣∣∣∣AOCB∣∣∣∣=∣A∣⋅∣B∣

∣ A O C B ∣ = ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ \\left| \\begin\{matrix\} A & O \\\\ C & B \\\\ \\end\{matrix\} \\right|= |A|\\cdot|B| ∣∣∣∣ACOB∣∣∣∣=∣A∣⋅∣B∣

∣ O B A O ∣ = ( − 1 ) m n ∣ A O O B ∣ = ( − 1 ) m n ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ \\left| \\begin\{matrix\} O & B \\\\ A & O \\\\ \\end\{matrix\} \\right|= (-1)^\{mn\}\\left| \\begin\{matrix\} A & O \\\\ O & B \\\\ \\end\{matrix\} \\right|= (-1)^\{mn\}|A|\\cdot|B| ∣∣∣∣OABO∣∣∣∣=(−1)mn∣∣∣∣AOOB∣∣∣∣=(−1)mn∣A∣⋅∣B∣

∣ O B A C ∣ = ( − 1 ) m n ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ \\left| \\begin\{matrix\} O & B \\\\ A & C \\\\ \\end\{matrix\}\\right|= (-1)^\{mn\}|A|\\cdot|B| ∣∣∣∣OABC∣∣∣∣=(−1)mn∣A∣⋅∣B∣

∣ D B A O ∣ = ( − 1 ) m n ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ \\left| \\begin\{matrix\} D & B \\\\ A & O \\\\ \\end\{matrix\}\\right|= (-1)^\{mn\}|A|\\cdot|B| ∣∣∣∣DABO∣∣∣∣=(−1)mn∣A∣⋅∣B∣