【线性代数（8）】矩阵行列式、伴随矩阵、逆矩阵

Myth丶恋晨 2022-12-19 08:35 294阅读 0赞

### 逆矩阵 ###

*  1 矩阵行列式
 *  2 伴随矩阵
 *  3 逆矩阵
 *   *  3.1 逆矩阵概念
     *  3.2 逆矩阵的性质

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# 1 矩阵行列式 #

方阵的行列式：将矩阵中的元素拿出来，用行列式的形式表示

A = \[ 2 , 2 , 2 3 , 3 , 3 1 , 1 , 1 \]      ∣ A ∣ = ∣ 2 , 2 , 2 3 , 3 , 3 1 , 1 , 1 ∣ A = \\left\[ \\begin\{matrix\} 2,2,2\\\\3,3,3\\\\1,1,1 \\end\{matrix\} \\right\]\\space \\space \\space \\space |A|=\\begin\{vmatrix\} 2,2,2\\\\3,3,3\\\\1,1,1\\end\{vmatrix\} A=⎣⎡2,2,23,3,31,1,1⎦⎤    ∣A∣=∣∣∣∣∣∣2,2,23,3,31,1,1∣∣∣∣∣∣

如何理解这个里的矩阵行列式？ 可以把矩阵当做一个类，那么就可以把行列式理解其中的一个属性，矩阵还有特征值、特征向量等等属性

方阵行列式的性质：

*   ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^\{T\}|=|A| ∣AT∣=∣A∣
 *   ∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ |kA| = k^\{n\}|A| ∣kA∣=kn∣A∣
 *   ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ |AB| = |A||B| ∣AB∣=∣A∣∣B∣

例题， A A A为5阶矩阵， ∣ A ∣ = 3 |A| = 3 ∣A∣=3

(1)  ∣ − A ∣ = ( − 1 ) 5 ∣ A ∣ = − 3 |-A| = (-1)^\{5\}|A| = -3 ∣−A∣=(−1)5∣A∣=−3  
(2)  ∣ 2 A T ∣ = ( 2 ) 5 ∣ A ∣ = ( 2 ) 5 ∗ 3 |2A^\{T\}|=(2)^\{5\}|A| = (2)^\{5\}\*3 ∣2AT∣=(2)5∣A∣=(2)5∗3  
(3)  ∣ ∣ A ∣ A ∣ = ∣ 3 A ∣ = 3 6 ||A|A|= |3A| = 3^\{6\} ∣∣A∣A∣=∣3A∣=36  
(4)  ∣ ∣ ∣ ∣ A ∣ A ∣ A ∣ A ∣ = ∣ ∣ ∣ 3 A ∣ A ∣ A ∣ = ∣ ∣ 3 6 A ∣ A ∣ = ∣ ∣ ∣ 3 A ∣ A ∣ A ∣ = ∣ ∣ 3 6 A ∣ A ∣ = ∣ 3 30 3 A ∣ ∣ = 3 156 ||||A|A|A|A| = |||3A|A|A|=||3^\{6\}A|A|=|||3A|A|A|=||3^\{6\}A|A|=|3^\{30\}3A||=3^\{156\} ∣∣∣∣A∣A∣A∣A∣=∣∣∣3A∣A∣A∣=∣∣36A∣A∣=∣∣∣3A∣A∣A∣=∣∣36A∣A∣=∣3303A∣∣=3156

# 2 伴随矩阵 #

只有方阵才有伴随矩阵。矩阵的伴随矩阵：求所有元素的代数余子式，**按行求**的代数余子式**按列放**构成的矩阵，比如  
 A = ( 1 , 1 , 1 2 , 1 , 3 1 , 1 , 4 ) A= \\left(\\begin\{matrix\} 1,1,1\\\\2,1,3\\\\1,1,4\\end\{matrix\}\\right) A=⎝⎛1,1,12,1,31,1,4⎠⎞ A 11 = 1 , A 12 = − 5 , A 13 = 1 , A 21 = − 3 , A 22 = 3 , A 23 = 0 , A 31 = 2 , A 32 = − 1 , A 33 = − 1 A\_\{11\}=1,A\_\{12\}=-5,A\_\{13\}=1,A\_\{21\}=-3,A\_\{22\}=3,A\_\{23\}=0,A\_\{31\}=2,A\_\{32\}=-1,A\_\{33\}=-1 A11=1,A12=−5,A13=1,A21=−3,A22=3,A23=0,A31=2,A32=−1,A33=−1  
求解出 A A A的伴随矩阵为 A ∗ = ( A 11 , A 12 , A 13 A 21 , A 22 , A 23 A 31 , A 32 , A 33 ) = ( 1 , − 3 , 2 − 5 , 3 , − 1 1 , 0 , − 1 ) A^\{\*\}=\\left(\\begin\{matrix\} A\_\{11\},A\_\{12\},A\_\{13\}\\\\A\_\{21\},A\_\{22\},A\_\{23\}\\\\A\_\{31\},A\_\{32\},A\_\{33\}\\end\{matrix\}\\right)=\\left(\\begin\{matrix\} 1,-3,2\\\\-5,3,-1\\\\1,0,-1\\end\{matrix\}\\right) A∗=⎝⎛A11,A12,A13A21,A22,A23A31,A32,A33⎠⎞=⎝⎛1,−3,2−5,3,−11,0,−1⎠⎞

任意方阵 A A A,伴随矩阵的性质：

*  （1）按行求，按列放
 *  （2） A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E AA^\{\*\} =A^\{\*\} A = |A|E AA∗=A∗A=∣A∣E，证明过程直接将式子展开，元素之间相乘后化简就是了
 *  （3） ∣ A A ∗ ∣ = ∣ ∣ A ∣ E ∣ ⇒ ∣ A ∣ ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n ⇒ ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 |AA^\{\*\}| = ||A|E| \\Rightarrow |A||A^\{\*\}| = |A|^\{n\}\\Rightarrow |A^\{\*\}| = |A|^\{n-1\} ∣AA∗∣=∣∣A∣E∣⇒∣A∣∣A∗∣=∣A∣n⇒∣A∗∣=∣A∣n−1，恒成立
 *  （4） A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ , A ∗ = ∣ A ∣ A − 1 A^\{-1\} = \\frac\{1\}\{|A|\}A^\{\*\},A^\{\*\} = |A|A^\{-1\} A−1=∣A∣1A∗,A∗=∣A∣A−1 ,这里就是使用了下面的逆矩阵的性质

# 3 逆矩阵 #

## 3.1 逆矩阵概念 ##

假使 A A A为n阶方阵，如果存在n阶方阵 B B B，满足 A B = B A = E AB = BA =E AB=BA=E，则称 A A A的逆矩阵就为 B B B，记作 A − 1 = B A^\{-1\} = B A−1=B

逆矩阵性质：

*  （1）未必所有的方阵都可逆，比如零矩阵
 *  （2）若方阵可逆，那么逆矩阵唯一
 *  （3） ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\\not=0 ∣A∣=0，说明方阵为非奇异、非退化、满秩矩阵，可逆
 *  （4） A A A可逆的充要条件为 ∣ A ∣ ≠ 0 ， A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ |A|\\not=0，A^\{-1\} = \\frac\{1\}\{|A|\}A^\{\*\} ∣A∣=0，A−1=∣A∣1A∗
 *  推论（条件比定义的要求要弱一点）： A A A为n阶方阵，如果存在n阶方阵 B B B,满足 A B = E AB =E AB=E满足 B A = E BA =E BA=E，则 A A A可逆， A − 1 = B A^\{-1\} = B A−1=B

逆矩阵求解：  
（1）按照定义，可以使用伴随矩阵求解，但是过程太麻烦了  
（2）初等变换法，一般使用的方式

例题， A = \[ 1 , 1 , 1 2 , 1 , 3 1 , 1 , 4 \] A= \\left\[\\begin\{matrix\} 1,1,1\\\\2,1,3\\\\1,1,4\\end\{matrix\}\\right\] A=⎣⎡1,1,12,1,31,1,4⎦⎤，其中 ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \\not=0 ∣A∣=0,求解 A − 1 A^\{-1\} A−1

解：按照定义求解，上面已经得到了 A A A的伴随矩阵，这里直接就进行计算出 ∣ A ∣ |A| ∣A∣,即可  
 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ = 1 3 ( 1 , − 3 , 2 − 5 , 3 , − 1 1 , 0 , − 1 ) A^\{-1\} = \\frac\{1\}\{|A|\}A^\{\*\} = \\frac\{1\}\{3\}\\left(\\begin\{matrix\} 1,-3,2\\\\-5,3,-1\\\\1,0,-1\\end\{matrix\}\\right) A−1=∣A∣1A∗=31⎝⎛1,−3,2−5,3,−11,0,−1⎠⎞

例题， A + B = A B A+B=AB A\+B=AB,证明 A − E A-E A−E可逆，

解：这种只给了式子证明可逆的行为，就是要求努力拼凑出定义的式子，将 E E E凑在右边时，就出来了  
 A B − A − B + E = E ⇒ ( A − E ) ( B − E ) = E AB - A -B+E= E \\Rightarrow (A-E)(B-E)=E AB−A−B\+E=E⇒(A−E)(B−E)=E

例题， A = \[ 4 , 2 , 3 1 , 1 , 0 − 1 , 2 , 3 \] A= \\left\[\\begin\{matrix\} 4,2,3\\\\1,1,0\\\\-1,2,3\\end\{matrix\}\\right\] A=⎣⎡4,2,31,1,0−1,2,3⎦⎤，已知 A X = A + 2 X AX = A+2X AX=A\+2X，求解 X X X

解：先将给出的等式进行化简，如下(要特别注意矩阵相乘的时候的位置，“左乘”和“右乘”是有很大区别的)  
 A X − 2 X = A ⇒ ( A − 2 E ) X = A ⇒ X = ( A − 2 E ) − 1 A AX-2X = A \\Rightarrow (A-2E)X =A \\Rightarrow X = (A-2E)^\{-1\}A AX−2X=A⇒(A−2E)X=A⇒X=(A−2E)−1A

**特别注意：**  
1）矩阵相乘时候的方向位置很重要， ( A − 2 E ) − 1 A (A-2E)^\{-1\}A (A−2E)−1A和 A ( A − 2 E ) − 1 A(A-2E)^\{-1\} A(A−2E)−1不一样  
2）没有矩阵和数值的加减法，因此要自觉补充 E E E， A − 2 ⇒ A − 2 E A-2 \\Rightarrow A-2E A−2⇒A−2E  
3）在分母上不要出现矩阵，不应该出现 A A − 2 E \\frac\{A\}\{A-2E\} A−2EA  
4）先判断可逆，再写逆矩阵。在使用 ( A − 2 E ) − 1 (A-2E)^\{-1\} (A−2E)−1之前，一定要先判断 A − 2 E A-2E A−2E是可逆的，也就是行列式的值不为0.（容易掉进坑里面去）  
5）伴随矩阵求解  
6）初等变换求解（之后梳理）

## 3.2 逆矩阵的性质 ##

*  （5）  A A A可逆， A − 1 A^\{-1\} A−1可逆，则 ( A − 1 ) − 1 = A (A^\{-1\})^\{-1\} = A (A−1)−1=A，对比转置的性质 ( A T ) T = A (A^\{T\})^\{T\} = A (AT)T=A
 *  （6）  A , B A,B A,B均可逆， A B AB AB可逆， ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^\{-1\} = B^\{-1\}A^\{-1\} (AB)−1=B−1A−1，对比转置的性质 ( A B ) T = B T A T (AB)^\{T\}= B^\{T\}A^\{T\} (AB)T=BTAT
 *  （7）  A A A可逆，  A T A^\{T\} AT可逆，则 ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T , k ≠ 0 , ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 (A^\{T\})^\{-1\} = (A^\{-1\})^\{T\}, k\\not=0,(kA)^\{-1\} = \\frac\{1\}\{k\}A^\{-1\} (AT)−1=(A−1)T,k=0,(kA)−1=k1A−1
 *  （8）  A A A可逆， ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 |A^\{-1\}| = |A|^\{-1\} ∣A−1∣=∣A∣−1
 *  （9）  A A A可逆，  A ∗ A^\{\*\} A∗也可逆，则 ( A ∗ ) − 1 = 1 ∣ A ∣ A (A^\{\*\})^\{-1\}= \\frac\{1\}\{|A|\}A (A∗)−1=∣A∣1A

最后结合这伴随矩阵和逆矩阵的性质，求解 ( A ∗ ) ∗ (A^\{\*\})^\{\*\} (A∗)∗和 ( ( A ∗ ) ∗ ) ∗ ((A^\{\*\})^\{\*\})^\{\*\} ((A∗)∗)∗

解：根据 A ∗ = ∣ A ∣ A − 1 A^\{\*\} = |A|A^\{-1\} A∗=∣A∣A−1，所以 ( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∗ ∣ ( A ∗ ) − 1 = ∣ A ∣ n − 1 A ∣ A ∣ = ∣ A ∣ n − 2 A (A^\{\*\})^\{\*\} =|A^\{\*\}|(A^\{\*\})^\{-1\}=|A|^\{n-1\}\\frac\{A\}\{|A|\} = |A|^\{n-2\}A (A∗)∗=∣A∗∣(A∗)−1=∣A∣n−1∣A∣A=∣A∣n−2A

( ( A ∗ ) ∗ ) ∗ = ∣ A ∗ ∣ n − 2 A ∗ = ( ∣ A ∣ n − 1 ) n − 2 ∣ A ∣ A − 1 = ∣ A ∣ n 2 − 3 n + 3 A − 1 ((A^\{\*\})^\{\*\})^\{\*\} =|A^\{\*\}|^\{n-2\}A^\{\*\} =(|A|^\{n-1\})^\{n-2\}|A|A^\{-1\}=|A|^\{n^\{2\}-3n+3\}A^\{-1\} ((A∗)∗)∗=∣A∗∣n−2A∗=(∣A∣n−1)n−2∣A∣A−1=∣A∣n2−3n\+3A−1

[Link 1]: https://blog.csdn.net/lys_828/article/details/109524875