【GAMES101现代计算机图形学入门笔记】Lec02 线性代数回顾

不念不忘少年蓝@ 2022-10-29 12:22 158阅读 0赞

# Lec02 线性代数回顾 #

### 文章目录 ###

*  Lec02 线性代数回顾
 *   *  向量（vector）
     *   *  点乘（dot product）
         *  叉乘（cross product）
     *  矩阵（matrix）

![20210214112856784.png][]

## 向量（vector） ##

向量的模： ∣ ∣ a ⃗ ∣ ∣ ||\\vec\{a\}|| ∣∣a∣∣

单位向量（a-hat）： a ^ = a ⃗ ∣ ∣ a ⃗ ∣ ∣ \\hat\{a\}=\\frac\{\\vec\{a\}\}\{||\\vec\{a\}||\} a^=∣∣a∣∣a

### 点乘（dot product） ###

*  笛卡尔坐标运算：  
     a ⃗ ⋅ b ⃗ = ( x a y a z a ) ⋅ ( x b y b z b ) = x a x b + y a y b + z a z b \\vec\{a\}\\cdot\\vec\{b\}= \\begin\{pmatrix\} x\_a\\\\y\_a\\\\z\_a \\end\{pmatrix\} \\cdot \\begin\{pmatrix\} x\_b\\\\y\_b\\\\z\_b \\end\{pmatrix\}= x\_ax\_b+y\_ay\_b+z\_az\_b a⋅b=⎝⎛xayaza⎠⎞⋅⎝⎛xbybzb⎠⎞=xaxb\+yayb\+zazb
 *  点乘的作用一，**求夹角**： cos ⁡ θ = a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ ∣ a ⃗ ∣ ∣ ∣ ∣ b ⃗ ∣ ∣ \\cos\\theta=\\frac\{\\vec\{a\}\\cdot\\vec\{b\}\}\{||\\vec\{a\}||||\\vec\{b\}||\} cosθ=∣∣a∣∣∣∣b∣∣a⋅b
 *  点乘的作用二，**找投影**（b-perp）： b ⃗ \\vec\{b\} b在 a ⃗ \\vec\{a\} a上的投影  
     b ⊥ ⃗ = k a ^ k = ∣ ∣ b ⃗ ∣ ∣ cos ⁡ θ = b ⃗ ⋅ a ^ \\vec\{b\_\{\\perp\}\}=k\\hat\{a\}\\\\ k=||\\vec\{b\}||\\cos\\theta=\\vec\{b\}\\cdot\\hat\{a\} b⊥=ka^k=∣∣b∣∣cosθ=b⋅a^
 *  点乘的应用：
    
     *  分解向量（为互相垂直的两个）

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*  计算两单位向量有多接近（点乘积：1到0）
 *  确定前后方向（点乘积大于或小于0）

**点乘计算笛卡尔坐标（投影）：**  
 p ⃗ = ( p ⃗ ⋅ u ⃗ ) u ⃗ + ( p ⃗ ⋅ v ⃗ ) v ⃗ + ( p ⃗ ⋅ w ⃗ ) w ⃗ \\vec\{p\}=(\\vec\{p\}\\cdot\\vec\{u\})\\vec\{u\}+(\\vec\{p\}\\cdot\\vec\{v\})\\vec\{v\}+(\\vec\{p\}\\cdot\\vec\{w\})\\vec\{w\} p=(p⋅u)u\+(p⋅v)v\+(p⋅w)w

### 叉乘（cross product） ###

> 叉乘对构建坐标系很有帮助。

本课程采用右手系（OpenGL是左手系）。

右手坐标系满足： z ⃗ = x ⃗ × y ⃗ \\vec\{z\}=\\vec\{x\}\\times\\vec\{y\} z=x×y（或 w ⃗ = u ⃗ × v ⃗ \\vec\{w\}=\\vec\{u\}\\times\\vec\{v\} w=u×v）

![在这里插入图片描述][20210214113035387.png_pic_center]

a ⃗ × b ⃗ = ( y a z b − y b z a z a x b − x a z b x a y b − y a x b ) = A b ⃗ = ( 0 − z a y a z a 0 − x a − y a x a 0 ) ( x b y b z b ) \\vec\{a\}\\times\\vec\{b\}= \\begin\{pmatrix\} y\_az\_b-y\_bz\_a\\\\ z\_ax\_b-x\_az\_b\\\\ x\_ay\_b-y\_ax\_b \\end\{pmatrix\}= \\bold\{A\}\\vec\{b\}= \\begin\{pmatrix\} 0 & -z\_a & y\_a\\\\ z\_a & 0 & -x\_a\\\\ -y\_a & x\_a & 0 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} x\_b\\\\y\_b\\\\z\_b \\end\{pmatrix\} a×b=⎝⎛yazb−ybzazaxb−xazbxayb−yaxb⎠⎞=Ab=⎝⎛0za−ya−za0xaya−xa0⎠⎞⎝⎛xbybzb⎠⎞  
叉乘的应用：

*  判断左右（叉乘结果的正负）： x ⃗ × y ⃗ = z ⃗ \\vec\{x\}\\times\\vec\{y\}=\\vec\{z\} x×y=z，  y ⃗ × x ⃗ = − z ⃗ \\vec\{y\}\\times\\vec\{x\}=\\vec\{-z\} y×x=−z
 *  内外（P点一直在三条边的左边/右边）:  A P ⃗ × A B ⃗ \\vec\{AP\}\\times\\vec\{AB\} AP×AB、 B P ⃗ × B C ⃗ \\vec\{BP\}\\times\\vec\{BC\} BP×BC、 C P ⃗ × C A ⃗ \\vec\{CP\}\\times\\vec\{CA\} CP×CA 同号，即意味着P在三角形内部

![20210214113044269.png][]

## 矩阵（matrix） ##

Matrix-Vector Multipulication:  
 a ⃗ ⋅ b ⃗ = a ⃗ ⊤ b ⃗ = ( x a y a z a ) ( x b y b z b ) \\vec\{a\}\\cdot\\vec\{b\}=\\vec\{a\}^\\top\\vec\{b\}= \\begin\{pmatrix\} x\_a & y\_a & z\_a \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} x\_b \\\\ y\_b \\\\ z\_b \\end\{pmatrix\} a⋅b=a⊤b=(xayaza)⎝⎛xbybzb⎠⎞

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