【GAMES101现代计算机图形学入门笔记】Lec05 光栅化1（三角形）

灰太狼 2022-10-30 04:24 199阅读 0赞

# Lec05 光栅化1（三角形） #

### 文章目录 ###

*  Lec05 光栅化1（三角形）
 *   *  投影变换（续）
     *  光栅化
     *   *  视口变换（Viewport Transformation）
         *  光栅化设备（补充知识）
         *  三角形光栅化
         *   *  采样的概念
             *  三角形采样
             *  采样速度优化
             *  存在的不足

## 投影变换（续） ##

如何表示近平面的大小（l, r, b, t）和远近平面的距离（n, f）呢？事实上，用户只需设定四个参数：

*  垂直视锥（vertical field of view）
 *  近平面宽高比（aspect ratio = width / height）
 *  近平面距离 n
 *  远平面距离 f

![20210217113429862.jpg][]

（注意！上图是一张3D透视图）

由三角形关系可知， tan ⁡ f o r v Y 2 = t n \\tan\\frac\{forvY\}\{2\}=\\frac\{t\}\{n\} tan2forvY=nt， a s p e c t = r t aspect=\\frac\{r\}\{t\} aspect=tr，又 l = − r l=-r l=−r， b = − t b=-t b=−t，至此所有信息都可以通过用户输入信息转化而来。

小结：**MVP变换**

*  **M**edel transformation (placing objects)
 *  **V**iew transformation (placing camera)
 *  **P**rojection transformation
    
     *  Orthographic projection (cuboid to “canonical” cube \[-1, 1\]3)
     *  Perspective projection (frustum to “canonical” cube)

## 光栅化 ##

我们已经把三位的图像投射到二维平面上了，接下来的任务就是要**在屏幕上显示出来**。

**屏幕**，其实就是**像素**（**Pixel**, short for picture element）的阵列。屏幕显示的结果与分辨率（resolution，也即像素的数量）和光栅显示方法（raster display）有关。

光栅化（rasterize），就是控制像素的显示，从而把图像“绘制”到屏幕上的过程。raster在德语中正是屏幕（screen）的意思。

在本课程中，为讨论方便，我们把像素简化为**颜色统一的正方形**，并定义**屏幕空间**如下：

![2021021711342183.jpg][]

每个像素块的下标用整数对(x, y)来表示。

### 视口变换（Viewport Transformation） ###

我们在MVP变换中得到一个\[-1, 1\]3的立方体，现在需要把这个立方体投射到屏幕上。这里先不考虑z坐标，只在xy平面内进行变换：把\[-1, 1\]2变换为\[0, width\] \* \[0, height\].

从正则立方体到屏幕的变换正是**视口变换**。其变换矩阵如下：  
 M v i e w p o r t = \[ w i d t h 2 0 0 w i d t h 2 0 h e i g h t 2 0 h e i g h t 2 0 0 1 0 0 0 0 1 \] M\_\{viewport\}= \\begin\{bmatrix\} \\frac\{width\}\{2\}&0&0&\\frac\{width\}\{2\}\\\\ 0&\\frac\{height\}\{2\}&0&\\frac\{height\}\{2\}\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&0&0&1 \\end\{bmatrix\} Mviewport=⎣⎢⎢⎡2width00002height0000102width2height01⎦⎥⎥⎤

### 光栅化设备（补充知识） ###

在实际的显示设备中，每个像素并不是一块统一的颜色，而是由RGB色块组成的：

![20210217113413102.jpg][]

在屏幕上光栅化的设备，除了电脑显示器，还有示波器（Osciliosope）、阴极射线管（Cathode Ray Tube）、电视（CRT原理，可以每次只画奇数行/偶数行）、帧缓冲设备（调用内存里存储的图像）、液晶显示屏（LCD，Liquid Crystal Display，通过液晶的排布影响光的偏振方向，从而控制光能否通过光栅）、发光二极管（LED，Light Emitting Diode）、电子墨水屏（Eletrophoretic Display，如Kindle），etc.

除此以外，也并不一定是绘制到**屏幕**上。如：数控精雕机（CNC Sharpie Drawing Machine）、激光切割机（Laser Cutting Machine），etc.

### 三角形光栅化 ###

![20210217113405760.jpg][]

为什么常常使用**三角形**作为拆解图形的单位？因为它有很多不错的性质：

*  三角形是最小的多边形，可以拆分其他多边形
 *  三角形在同一平面内的
 *  三角形的内外定义清晰，可以用叉乘判断内外
 *  三角形内可以定义明确的插值方法

在经过MVP变换和视口变换之后，我们可以得到一个三角形顶点的精确坐标，接下来所要做的就是用像素近似地显示出来。

![20210217113353499.jpg][]

我们将采用“采样”的方法来实现。

#### 采样的概念 ####

采样一个**函数**：在离散的点上对函数进行采样（求值），从而把连续的函数离散化（discretize）。

图形学中采样也有广泛的应用：时间（1D）、区域（2D）、体积（3D），etc.

再举个例子：在人体内任何一个位置得到其密度，也是一种三维的采样。

#### 三角形采样 ####

类似地，对**三角形**的采样可以作如下解释：

**给定一个三角形，对每个像素判断其中心是否在三角形内。**

for (x=0; x<xmax; ++x)
    	for (y=0; y<ymax; ++y)
    		image[x][y] = inside(tri, x+0.5, y+0.5);

![20210217113341517.jpg][]

而判断是否在三角形内，就要用到Lec02中叉乘的知识了：

![20210217113335297.jpg][]

若 P 1 P 2 ⃗ × P 1 Q ⃗ \\vec\{P\_1P\_2\}\\times \\vec\{P\_1Q\} P1P2×P1Q， P 2 P 0 ⃗ × P 2 Q ⃗ \\vec\{P\_2P\_0\}\\times \\vec\{P\_2Q\} P2P0×P2Q， P 0 P 1 ⃗ × P 0 Q ⃗ \\vec\{P\_0P\_1\}\\times \\vec\{P\_0Q\} P0P1×P0Q 同号，则Q在三角形内。

对于**边界情况**（比如某个像素中心在两个三角形的公共边上），我们不必过多关注。可以自定义处理办法：比如，如果你认为边上的点算在三角形内，那么这个点就同时在这两个三角形内。

#### 采样速度优化 ####

为了加速采样，我们有两种简单的方法：

*  包围盒（Bounding Box）

![20210217113328281.jpg][]

*  递增遍历（Incremental Triangle Traverse），即对每一行，只采样三角形经过的最左像素到最右像素。该方法只适用于窄长、旋转的三角形（这种情况下包围盒不高效）

![20210217113321228.jpg][]

#### 存在的不足 ####

这样采样过后，三角形并不是平滑的，而是会出现很多锯齿。

![20210217113301397.jpg][]

我们将在下节课介绍反走样技术（Antialiasing）。

[20210217113429862.jpg]: /images/20221024/3fb009d119d24b1e8a7cfd4d61adc6e0.png
[2021021711342183.jpg]: /images/20221024/d020cca3b1834b699d307b6b2dc4a6f3.png
[20210217113413102.jpg]: /images/20221024/57126ecbcd1948adb7de2178f3558c48.png
[20210217113405760.jpg]: /images/20221024/3419c856987d438ab9323729db5d0ecd.png
[20210217113353499.jpg]: /images/20221024/b9f4c5cda80e4ed18fbe25b129aaba86.png
[20210217113341517.jpg]: /images/20221024/865abfbfed5744c895618ff78bc23cdc.png
[20210217113335297.jpg]: /images/20221024/0635de8a1c6d46258c95187b5772659a.png
[20210217113328281.jpg]: /images/20221024/4aa5eba60c724ccf8d191d110fa84013.png
[20210217113321228.jpg]: /images/20221024/f5869abfc3ef46268994af2f5b656c48.png
[20210217113301397.jpg]: /images/20221024/b5831bb860ae4bb08cff8b9c21309564.png