【GAMES101现代计算机图形学入门笔记】Lec04 变换（续）

女爷i 2022-10-30 01:25 205阅读 0赞

# Lec04 变换（续） #

### 文章目录 ###

*  Lec04 变换（续）
 *   *  3D变换（3D Transformation）
     *   *  和2D类似的变换
         *  绕坐标轴旋转
         *  更一般的旋转
     *  观测变换（Viewing Transformation）
     *   *  视图/相机变换（view/camera transformation）
         *  投影变换（projection transformation）
         *   *  正交投影（Orthographic Projection）
             *  透视投影（Perspective Projection）
     *  课后思考题

## 3D变换（3D Transformation） ##

### 和2D类似的变换 ###

同样使用**齐次坐标系**：

*  3D point =  ( x , y , z , 1 ) ⊤ (x,y,z,1)^\{\\top\} (x,y,z,1)⊤
 *  3D vector =  ( x , y , z , 0 ) ⊤ (x,y,z,0)^\{\\top\} (x,y,z,0)⊤

用**四维矩阵**实现仿射变换：  
 \[ x ′ y ′ z ′ 1 \] = \[ a b c t x d e f t y g h i t z 0 0 0 1 \] \[ x y z 1 \] \\begin\{bmatrix\} x^\{\\prime\}\\\\y^\{\\prime\}\\\\z^\{\\prime\}\\\\1 \\end\{bmatrix\}= \\begin\{bmatrix\} a&b&c&t\_x\\\\ d&e&f&t\_y\\\\ g&h&i&t\_z\\\\ 0&0&0&1 \\end\{bmatrix\} \\begin\{bmatrix\} x\\\\y\\\\z\\\\1 \\end\{bmatrix\} ⎣⎢⎢⎡x′y′z′1⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡adg0beh0cfi0txtytz1⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡xyz1⎦⎥⎥⎤  
三维空间中，缩放矩阵、平移矩阵和二维情况类似。

### 绕坐标轴旋转 ###

唯独比较特殊的是**旋转矩阵**：

![2021021621302661.jpg][]

绕y轴旋转矩阵不一样的原因是： x × y = z x\\times y=z x×y=z， y × z = x y\\times z=x y×z=x，但是 x × z = − y x\\times z=-y x×z=−y.

![20210216213039263.png][]

从y轴看过去，正常的逆时针旋转其实是x-z坐标轴下的顺时针。因此旋转角要取相反数。

### 更一般的旋转 ###

3D旋转需要给定**旋转轴**和**旋转角度**，然后可以分解为以下三个步骤：

1.  将轴平移到原点（其实大多数情况下轴都默认经过原点）
2.  绕轴旋转。因为轴的方向是任意的，所以这一步还需要分解为绕x、y、z轴的旋转，也即**欧拉角**（下图是航天飞机的应用）：

![20210216213102390.jpg][]

给定过原点的旋转轴向量 n \\bold\{n\} n和旋转角度 α \\alpha α，利用**罗德里格斯旋转公式**（Rodrigues’ rotation formula）可以给出旋转矩阵：

![20210216213119444.jpg][]

右侧的矩阵 N \\bold\{N\} N其实就是叉乘的矩阵形式（见[Lec02][]）

公式的推导可以参考[这里][Link 1]

1.  把轴平移回原处（即步骤1的反变换）

> 旋转矩阵不适合作插值。一般利用**四元数**进行插值运算。

## 观测变换（Viewing Transformation） ##

当我们在拍一张照的时候：

*  模特找好位置、摆姿势：模型变换（model transformation）
 *  相机找好拍摄位置和角度（view/camera transformation）
 *  茄子！（projection transformation）（把三维空间信息投影到二维图像中）

### 视图/相机变换（view/camera transformation） ###

要定义相机的状态，我们需要三个参数：

*  相机的位置  e ⃗ \\vec\{e\} e
 *  相机看向（gaze）的方向  g ^ \\hat\{g\} g^
 *  相机的向上（top）方向  t ^ \\hat\{t\} t^（即相机顶面的向外法向量）

![20210216213246793.jpg][]

在我们已知相机和物体的状态后，不妨将相机和物体一同变换（保证相对位置不变），使得相机处在一个对后续投影变换处理方便的位置上（这是正是视图变换的目的！！！），即：

位于原点，看向-z轴，向上方向是y轴。

为了实现这个（刚体）变换，我们只需：

*  将  e ⃗ \\vec\{e\} e 平移到原点O
 *  将  g ^ \\hat\{g\} g^ 旋转到-z轴、将  t ^ \\hat\{t\} t^ 旋转到y轴、将  g ^ × t ^ \\hat\{g\}\\times\\hat\{t\} g^×t^ 旋转到x轴

![20210216213300142.jpg][]

对于旋转矩阵，考虑它的逆矩阵：因为诸如“把x轴旋转到  g ^ × t ^ \\hat\{g\}\\times\\hat\{t\} g^×t^ 向量”的操作更容易实现。将 R v i e w − 1 R\_\{view\}^\{-1\} Rview−1 乘上任意一个坐标轴方向的单位向量，我们就能得到想要的单位向量。而它的**逆矩阵恰好是它的转置**，这是因为它是一个旋转矩阵，所以具有正交矩阵的性质~

看了看网上的其他博客，还有用**欧拉角**或者**罗德里格斯公式**实现世界坐标到相机坐标的转换。不过，我们并不知道如何获取欧拉角的三个维度，以及具体的旋转向量和旋转角。目前看来，本教程的方法是最清晰易懂的。

> 不过即便如此，我还是有一个问题：相机坐标系本来就是正交的，既然已经把其中两个坐标轴旋转到正确的位置上了，为什么还要旋转第三个坐标轴呢？还是说在旋转第二个坐标轴的时候，会把第一个坐标轴从正确的位置带偏？望大神解答！

### 投影变换（projection transformation） ###

正交投影出的图像不体现远近关系，而透视投影则是真实世界的反映。

![20210216213313255.jpg][] ![20210216213321963.jpg][]

所谓透视，就是从一点发散去看，实现**近大远小**。试想，在空间中处于同一高度，但离投影平面距离不同的两点，较远的那个点投影到平面上会更低（结合左图想象）。

#### 正交投影（Orthographic Projection） ####

正交投影很简单，就是丢掉了z轴坐标。步骤如下：

*  选取视角范围：规定一个\[l, r\], \[b, t\], \[f, n\]立方体视角范围（\*\*因为相机是看向-z轴，所以近处的物体反而z坐标更大。\*\*这一结果并不直观，所以OpenGL使用的是左手系）
 *  将视角范围缩放到\[-1, 1\], \[-1, 1\], \[-1, 1\]的正则立方体中：
    
     *  将立方体中心移动到原点
     *  将立方体缩放为正则立方体

![20210216213332562.jpg][]

（这里先不考虑z坐标。）

#### 透视投影（Perspective Projection） ####

![20210216213342704.jpg][]

*  步骤一：**把棱台压缩成立方体**（把透视投影的视角范围缩放至类似正交投影的矩形）。远处的同一高度的点将会被压缩得更低~

![20210216213353824.jpg][]

如上图，压缩后，点(x, y, z)变到点(x’, y’, ?). 根据相似三角形关系：

![20210216213423211.jpg][]

至此，我们已经能写出： M p e r s p → o r t h o = ( n 0 0 0 0 n 0 0 ? ? ? ? 0 0 1 0 ) M\_\{persp\\rightarrow ortho\}=\\begin\{pmatrix\}n&0&0&0\\\\0&n&0&0\\\\?&?&?&?\\\\0&0&1&0\\end\{pmatrix\} Mpersp→ortho=⎝⎜⎜⎛n0?00n?000?100?0⎠⎟⎟⎞

那么如何得到第三行的参数？

事实上，我们有以下**两个前提**：

*  在近平面上的点，其z坐标不会变
 *  在远平面上的点，其z坐标不会变

由第一个前提，我们可以得到：

![20210216213435351.jpg][]

因为  n 2 n^2 n2 和  x , y x,y x,y 没有关系，所以可以知道  M p e r s p → o r t h o M\_\{persp\\rightarrow ortho\} Mpersp→ortho的第三行肯定是  ( 0 , 0 , A , B ) (0,0,A,B) (0,0,A,B) 形式，且有  A n + B = n 2 An+B=n^2 An\+B=n2. 同理，对于远平面的点，有  A f + B = f 2 Af+B=f^2 Af\+B=f2 。根据这两个方程，我们解得：  
 A = n + f ,   B = − n f A=n+f,\\ B=-nf A=n\+f, B=−nf  
于是，我们有： M p e r s p → o r t h o = \[ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 \] M\_\{persp\\rightarrow ortho\}=\\begin\{bmatrix\}n&0&0&0\\\\0&n&0&0\\\\0&0&n+f&-nf\\\\0&0&1&0\\end\{bmatrix\} Mpersp→ortho=⎣⎢⎢⎡n0000n0000n\+f100−nf0⎦⎥⎥⎤

*  步骤二：**做正交投影**（详见上方）

## 课后思考题 ##

Q：透视投影中z坐标为 ( n + f ) / 2 (n+f)/2 (n\+f)/2的点，在经过透视投影变换后，z值如何变化？

A： \[ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 \] \[ 0 0 n + f 2 1 \] = \[ 0 0 n 2 + f 2 n + f 1 \] \\begin\{bmatrix\}n&0&0&0\\\\0&n&0&0\\\\0&0&n+f&-nf\\\\0&0&1&0\\end\{bmatrix\} \\begin\{bmatrix\}0\\\\0\\\\\\frac\{n+f\}\{2\}\\\\1\\end\{bmatrix\}= \\begin\{bmatrix\}0\\\\0\\\\\\frac\{n^2+f^2\}\{n+f\}\\\\1\\end\{bmatrix\} ⎣⎢⎢⎡n0000n0000n\+f100−nf0⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡002n\+f1⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡00n\+fn2\+f21⎦⎥⎥⎤

且 n 2 + f 2 n + f − n + f 2 = ( n − f ) 2 2 n + 2 f ≥ 0 \\frac\{n^2+f^2\}\{n+f\}-\\frac\{n+f\}\{2\}=\\frac\{(n-f)^2\}\{2n+2f\}\\ge0 n\+fn2\+f2−2n\+f=2n\+2f(n−f)2≥0，而近处的z坐标大，所以z值变大即**变近**。

[2021021621302661.jpg]: /images/20221024/2861417e6ab843c58cf84b2a81296fb8.png
[20210216213039263.png]: /images/20221024/027768fde19047d6afc731c03db9fcf1.png
[20210216213102390.jpg]: /images/20221024/6244a43bbbdd48368f7d329f06e51319.png
[20210216213119444.jpg]: /images/20221024/7e99926120ee43d6a7911adc5e7dff7a.png
[Lec02]: https://blog.csdn.net/erchan/article/details/113806708
[Link 1]: https://zhuanlan.zhihu.com/p/113299607
[20210216213246793.jpg]: /images/20221024/fdd8774cecc944f1848b526c21a72e7b.png
[20210216213300142.jpg]: /images/20221024/6379a0ff070e40de9d56a344f1d8e0de.png
[20210216213313255.jpg]: https://img-blog.csdnimg.cn/20210216213313255.jpg
[20210216213321963.jpg]: /images/20221024/7ea9cce9b17041af903640740e3dd458.png
[20210216213332562.jpg]: /images/20221024/62adba381ee44db5a301aa9eae75eb79.png
[20210216213342704.jpg]: /images/20221024/b531677d24d947e89e1d6ca62da0677e.png
[20210216213353824.jpg]: /images/20221024/0b0d0cd1f0e1428da592e082604b33f1.png
[20210216213423211.jpg]: /images/20221024/7054f968dffa4cb284354328be9455cc.png
[20210216213435351.jpg]: /images/20221024/50b98860a22e4c61b4c060b6b85ebb30.png