第七章数学 6 AcWing 1593. 整数分解

- 日理万妓 2024-03-31 10:34 94阅读 0赞

## 第七章 数学 6 AcWing 1593. 整数分解 ##

### 原题链接 ###

[AcWing 1593. 整数分解][AcWing 1593.]

### 算法标签 ###

数学 数论 DP 背包问题

### 思路 ###

类似[AcWing 12. 背包问题求具体方案][AcWing 12.]  
把n看成背包的容积N  
因为n最多不超过400，然而p进制最少为2  
所以物品的价值最大可以取到20(因为20^2 = 400)  
所以这道题目就被转化成  
从前i个物品中取，体积恰好为j，重量恰好为k的取法的方案的最大价值  
所以根据闫氏dp分析法我们可以得到状态转移的方程  
f\[i\]\[j\]\[k\] = max(f\[i-1\]\[j\]\[k\],f\[i\]\[j - v\[i\]\]\[k - w\[i\]\] + value\[i\]);

##### 详细思路 #####

###### 问题转换 ######

![在这里插入图片描述][4552e42e2f7b4705b543e421a6a4b77a.png]  
![在这里插入图片描述][69038a9382424a4087576c3b8368cb8b.png]

###### 方案计算 ######

![在这里插入图片描述][02e6092e82e743cc8c5b8fefecd0c1a4.png]  
状态转移方程  
![在这里插入图片描述][ecf486b6383f4f2aa02827f13328f3a8.png]  
![在这里插入图片描述][dfe082cc6bb948a7829358393e7ca47e.png]

###### 方案选择 ######

![在这里插入图片描述][5a1c80bd50a14b5688c051b250888473.png]

##### 时间复杂度 #####

由于n最多不超过400，p进制最少为2，所以物品的价值最大可以取到20(因为20^2 = 400)。  
时间复杂度 20 ∗ 400 ∗ 400 = 3200000 < 1 0 7 20\*400\*400 = 3200000 < 10^7 20∗400∗400=3200000<107，所以可以用dp来进行求解

### 代码 ###

#pragma GCC optimize(2)
    #pragma GCC optimize(3)
    #include<bits/stdc++.h>
    #define int long long
    #define x first
    #define y second
    #define ump unordered_map
    #define ums unordered_set
    #define pq priority_queue
    #define rep(i, a, b) for(int i=a;i<b;++i)
    #define Rep(i, a, b) for(int i=a;i>=b;--i)
    using namespace std;
    typedef pair<int, int> PII;
    const int N=405, INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
    const double Exp=1e-8;
    //int t, n, m, cnt, ans; 
    int n, k, p, f[21][N][N];
    inline int rd(){
       int s=0,w=1;
       char ch=getchar();
       while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
       while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
       return s*w;
    }
    void put(int x) {
        if(x<0) putchar('-'),x=-x;
        if(x>=10) put(x/10);
        putchar(x%10^48);
    }
    int pw(int a, int b){
        int res=1;
        rep(i, 0, b){
            res*=a;
        }
        return res;
    }
    signed main(){
    	ios::sync_with_stdio(false);
    	cin.tie(0);
    	cout.tie(0);
    	n=rd(), k=rd(), p=rd();
    	memset(f, -INF, sizeof f);
    	f[0][0][0]=0;
    	int m;
    	for(m=1;;m++){
    	    int v=pw(m, p);
    	    if(v>n){
    	        break;
    	    }
    	    rep(i, 0, n+1){
    	        rep(j, 0, k+1){
    	            f[m][i][j]=f[m-1][i][j];
    	            if(i>=v&&j){
    	                f[m][i][j]=max(f[m][i][j], f[m][i-v][j-1]+m);
    	            }
    	        }
    	    }
    	}
    	m--;
    	if(f[m][n][k]<0){
    	    puts("Impossible");
    	}else{
    	    printf("%lld = ", n);
    	    bool is_first=true;
    	    while(m){
    	        int v=pw(m, p);
    	        while(n>=v&&k&&f[m][n-v][k-1]+m==f[m][n][k]){
    	            if(is_first){
    	                is_first=false;
    	            }else{
    	                printf(" + ");
    	            }
    	            printf("%lld^%lld", m, p);
    	            n-=v, k--;
    	        }
    	        m--;
    	    }
    	}
    	return 0;
    }

### 参考文献 ###

[AcWing 1593. 整数分解（PAT甲级辅导课）y总视频讲解][AcWing 1593. _PAT_y]

原创不易  
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![在这里插入图片描述][9cb4cb80a18345158f8a69e2f196e5b9.png]

[AcWing 1593.]: https://www.acwing.com/problem/content/1595/
[AcWing 12.]: https://www.acwing.com/problem/content/12/
[4552e42e2f7b4705b543e421a6a4b77a.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/31/2dbd1f796cbc4c44b84469d63f6048c1.png
[69038a9382424a4087576c3b8368cb8b.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/31/f1c3e9faccda49ac8310c44e8e7dcc27.png
[02e6092e82e743cc8c5b8fefecd0c1a4.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/31/95834a4cf86b4f5889bee8caf0f1cb2a.png
[ecf486b6383f4f2aa02827f13328f3a8.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/31/239f4c3a19044736b9bce23467307281.png
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[AcWing 1593. _PAT_y]: https://www.acwing.com/video/1153/
[9cb4cb80a18345158f8a69e2f196e5b9.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/31/7b8abf594bd5446db6243285df984c9c.png