黎曼积分求解可微曲线的弧线长度

喜欢ヅ旅行 2024-02-18 17:26 12阅读 0赞

**黎曼积分求解可微曲线的弧线长度**

假设曲线y=f(x)在区间\[a,b\]内光滑、可微且连续。那么可以根据微积分求解y=f(x)在a<= x <=b区间内形成的弧线长度。  
如图：  
![20171231002252771][]  
  
从微分的思想入手建立数学函数式，假设s为曲线上(x,f(x))到(x+dx,f(x+dx))两点连线。这两点在水平方向的长度为dx，在垂直方向的y坐标轴长度为dy，根据直角三角形的勾股定理可知：  
![20171231002731126][]

其中，由f’(x)=dy/dx，得到dy =f’(x) dx

从而：  
![20171231004103276][]

即ds的长度公式最终求得为：

![20171231004302653][]

弧线长度是由无穷多个ds连接起来形成，这是一个积分问题。根据积分可知\[a,b\]的弧线长度为：

![20171231004541911][]  
  
  
验证一个简单的二次曲线方程y=x2在\[0,1\]的长度：

syms x y f;  
    y=x.^2;  
    line=ezplot(y,[0,1]);      
    set(line,'Color','r','LineWidth',0.5);      
    
    grid on;   
    hold on;
    
    f=diff(y)
    F=sqrt(1+f.^2)
    
    S=int(F,[0,1])
     
    f =
     
    2*x
     
     
    F =
     
    (4*x^2 + 1)^(1/2)
     
     
    S =
     
    log(5^(1/2) + 2)/4 + 5^(1/2)/2

图：

![20171231004723023][]

长度为：S = log(5^(1/2) + 2)/4 + 5^(1/2)/2

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[20171231002731126]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/01/29/319795a16bfb47f69e1ce21e85d1cd0d.png
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[20171231004302653]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/01/29/c3f4bbd7d5234011898586bff57bd39a.png
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[20171231004723023]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/01/29/b00faa89db274d4abc274fcd97a5f8ef.png