博弈论 AcWing 893. 集合-Nim游戏

曾经终败给现在 2023-09-28 13:28 15阅读 0赞

## 博弈论 AcWing 893. 集合-Nim游戏 ##

### 原题链接 ###

[AcWing 893. 集合-Nim游戏][AcWing 893. _-Nim]

### 算法标签 ###

数学知识 博弈论 SG函数

### 思路 ###

若只有一堆石子 SG函数计算  
![在这里插入图片描述][d98548940245417d8693e039a1d8d3e2.png]  
结论  
![在这里插入图片描述][523e976db33e448284d46df825f9408e.png]

对于多堆石子  
SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数值的异或和，即:SG(G) = SG(G1) ^ SG(G2) ^ … ^ SG(Gm)，若SG(G)为0， 则必胜， 否则， 必败  
![在这里插入图片描述][710b08b73bda4565aafc4372ae81a38b.png]  
其他概念  
![在这里插入图片描述][527381073254434a914cd171334254d5.png]

### 代码 ###

#include<bits/stdc++.h>
    #define int long long
    #define abs fabs
    #define rep(i, a, b) for(int i=a;i<b;++i)
    #define Rep(i, a, b) for(int i=a;i>=b;--i)
    using namespace std;
    const int N = 105, M = 10005;
    int s[N], f[M];
    int k, n;
    inline int read(){
       int s=0,w=1;
       char ch=getchar();
       while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
       while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
       return s*w;
    }
    void put(int x) {
        if(x<0) putchar('-'),x=-x;
        if(x>=10) put(x/10);
        putchar(x%10^48);
    }
    int sg(int x){
    	// f[x]是否已被计算
        if(f[x]!=-1){
            return f[x]; 
        }else{
        	// 存储当前局面可以到达的局面
            unordered_set<int> S;
            rep(i, 0, k){
                if(x>=s[i]){
                    S.insert(sg(x-s[i]));
                }
            }
            // 查找集合中不存在的最小自然数
            for(int i=0;;++i){
                if(!S.count(i)){
                    return f[x]=i;
                }
            }
        }
    }
    signed main(){
        ios::sync_with_stdio(false);
        cin.tie(0);
        cout.tie(0);
        k=read();
        rep(i, 0, k){
            s[i]=read();
        }
        n=read();
        memset(f, -1, sizeof f);
        int ans=0; 
        rep(i, 0, n){
            int x=read();
            ans^=sg(x);
        }
        if(ans){
            puts("Yes");
        }else{
            puts("No");
        }
    }

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[AcWing 893. _-Nim]: https://www.acwing.com/problem/content/895/
[d98548940245417d8693e039a1d8d3e2.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/d98548940245417d8693e039a1d8d3e2.png
[523e976db33e448284d46df825f9408e.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/523e976db33e448284d46df825f9408e.png
[710b08b73bda4565aafc4372ae81a38b.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/710b08b73bda4565aafc4372ae81a38b.png
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