【数学建模】主成分分析法PCA（评价与决策）

╰半橙微兮° 2023-03-04 11:25 14阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  一、算法介绍
 *  二、适用问题
 *  三、算法总结
 *  四、应用场景举例
 *  五、SPSS操作
 *   *  1.归一化
     *  2. 主成分分析
 *  六、实际案例
 *  七、论文案例片段（待完善）

> 主成分分析法主要针对数学建模问题中的一些小的子问题进行求解，如果想直接使用请跳转至——**四**、**五**  
> [视频回顾][Link 1]

# 一、算法介绍 #

主成分分析（Principal Component Analysis，PCA），将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种多元统计分析方法。  
 在实际课题中，为了全面分析问题，往往提出很多与此有关的变量（或因素），因为每个变量都在不同程度上反映这个课题的某些信息。  
 主成分：由原始指标综合形成的几个新指标。依据主成分所含信息量的大小成为第一主成分，第二主成分等等。  
 一项十分著名的工作是美国的统计学家斯通(stone)在1947年关于国民经济的研究。他曾利用美国1929一1938年各年的数据，得到了17个反映国民收入与支出的变量要素，例如雇主补贴、消费资料和生产资料、纯公共支出、净增库存、股息、利息外贸平衡等等。  
 在进行主成分分析后，竟以97.4％的精度，用三新变量就取代了原17个变量。根据经济学知识，斯通给这三个新变量分别命名为总收入F1、总收入变化率F2和经济发展或衰退的趋势F3。

*  主成分与原始变量之间的关系：  
    （1）主成分保留了原始变量绝大多数信息。  
    （2）主成分的个数大大少于原始变量的数目。  
    （3）各个主成分之间互不相关。  
    （4）每个主成分都是原始变量的线性组合。

⭐ 假设我们所讨论的实际问题中，有p个指标，我们把这p个指标看作p个随机变量，记为X1，X2，…，Xp，主成分分析就是要把这p个指标的问题，转变为讨论p个指标的线性组合的问题，而这些新的指标F1，F2，…，Fk(k≤p），按照保留主要信息量的原则充分反映原指标的信息，并且相互独立。

⭐ 这种由讨论多个指标降为少数几个综合指标的过程在数学上就叫做**降维**。主成分分析通常的做法是，寻求原指标的线性组合Fi。

# 二、适用问题 #

# 三、算法总结 #

# 四、应用场景举例 #

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# 五、SPSS操作 #

## 1.归一化 ##

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## 2. 主成分分析 ##

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# 六、实际案例 #

# 七、论文案例片段（待完善） #

[Link 1]: https://www.bilibili.com/video/BV12W411X7aE?p=13
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