【数学建模】层次分析法AHP（评价与决策）

矫情吗；* 2023-03-04 06:33 13阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  一、算法介绍
 *  二、适用问题
 *  三、算法总结
 *   *  1. 步骤
     *  2. 如何构建层次结构模型
     *  3. 如何构建成对比较矩阵
     *  4. 如何进行一致性检验
 *  四、应用场景举例（旅游问题）
 *   *  1. 建模
     *  2. 构造成对比较矩阵
     *  3. 执行代码获得权重
     *  4. 计算决策层对总目标的权值
     *  5. 根据权重进行决策
 *  五、MATLAB代码
 *  六、实际案例
 *  七、论文案例片段（待完善）

> 层次分析法主要针对数学建模问题中的一些小的子问题进行求解，如果想直接使用请跳转至——**四**、**五**  
> [视频回顾][Link 1]

# 一、算法介绍 #

根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的**相对重要权值**的确定或相对优劣次序的排定。

# 二、适用问题 #

*  **面临多种方案时需要一定的标准选择某一种方案：**
 *  **例如：**

1.  在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价格和耗电量。
2.  在苏杭、北戴河、桂林三处选择一一个旅游点。要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通便利和旅游的费用。

# 三、算法总结 #

## 1. 步骤 ##

1.  建立层次结构模型
2.  构造判断(成对比较)矩阵
3.  层次单排序及其一致性检验
4.  层次总排序及其一致性检验

## 2. 如何构建层次结构模型 ##

将决策的目标、考虑的因素(决策准则)和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。  
  最高层:决策的目的、要解决的问题。  
  最低层:决策时的备选方案。  
  中间层:考虑的因素、决策的准则。

*  **例如：**  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70]

## 3. 如何构建成对比较矩阵 ##

成对比较矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的相对重要性的比较。成对比较矩阵矩阵的元素aij用Santy的1一9标度（一致矩阵法）方法给出。

*  **标度表：**  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]
 *  **例如：**  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

## 4. 如何进行一致性检验 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

# 四、应用场景举例（旅游问题） #

## 1. 建模 ##

构建模型  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

## 2. 构造成对比较矩阵 ##

查阅相关知识，咨询相关领域专家意见得到成对比较矩阵  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]

## 3. 执行代码获得权重 ##

![在这里插入图片描述][20200801165016380.png]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]

## 4. 计算决策层对总目标的权值 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]

## 5. 根据权重进行决策 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]

# 五、MATLAB代码 #

disp('请输入判断矩阵A(n阶)');
    A=input('A=');
    [n,n]=size(A);
    x=ones(n,100);
    y=ones(n,100);
    m=zeros(1,100);
    m(1)=max(x(:,1));
    y(:,1)=x(:,1);
    x(:,2)=A*y(:,1);
    m(2)=max(x(:,2));
    y(:,2)=x(:,2)/m(2);
    p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
    while  k>p
      i=i+1;
      x(:,i)=A*y(:,i-1);
      m(i)=max(x(:,i));
      y(:,i)=x(:,i)/m(i);
      k=abs(m(i)-m(i-1));
    end
    a=sum(y(:,i));
    w=y(:,i)/a;
    t=m(i);
    disp(w);
             %以下是一致性检验
    CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
    CR=CI/RI(n);
    if CR<0.10
        disp('此矩阵的一致性可以接受!');
        disp('CI=');disp(CI);
        disp('CR=');disp(CR);
    end

# 六、实际案例 #

A1=[1, 1/2, 4, 3, 3;
     2, 1,   7, 5, 5;
     1/4, 1/7, 1, 1/2, 1/3;
     1/3, 1/5, 2, 1, 1;
     1/3, 1/5, 3, 1, 1;]
    
    B1=[1,2,5;
    1/2,1,2;
    1/5,1/2,1;]
    
    B2=[1,1/3,1/8;
    3,1,1/3;
    8,3,1;]
    
    B3=[1,1,3;
    1,1,3;
    1/3,1/3,1;]
    
    B4=[1,3,4;
    1/3,1,1;
    1/4,1,1;]
    
    B5=[1,1,1/4;
     1,1,1/4;
     4,4,1;]

# 七、论文案例片段（待完善） #

[Link 1]: https://www.bilibili.com/video/BV12W411X7aE?p=2
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[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI1NjAxMzQ1_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]: /images/20230208/71860258bda2488aa956450eb164b97e.png
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[20200801165016380.png]: /images/20230208/792a84e1fb9e4e0fb6e3ea2dc0e38245.png
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