【信号与系统学习笔记】—— 离散傅里叶变换的扩展：z 变换分析1

古城微笑少年丶 2023-02-17 06:28 20阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  一、z变换的引入
 *  二、一些常用的 z 变换对
 *  三、z 变换 ROC 的性质
 *  三、z 变换的性质

# 一、z变换的引入 #

首先，我们来看看DTFT的公式： X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x \[ n \] e − j ω n x \[ n \] = 1 2 π ∫ 2 π X ( e j ω ) e j ω n d ω X(e^\{jω\}) = \\sum\_\{n = -∞\}^\{+∞\}x\[n\]e^\{-jωn\}\\\\ \\space\\\\ x\[n\] = \\frac\{1\}\{2π\}\\int\_\{2π\}X(e^\{jω\})e^\{jωn\}dω X(ejω)=n=−∞∑\+∞x\[n\]e−jωnx\[n\]=2π1∫2πX(ejω)ejωndω  
那么我们对于第一个式子，如果令  z = e j ω z = e^\{jω\} z=ejω，那么就有： X ( z ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x \[ n \] z − n X(z) = \\sum\_\{n = -∞\}^\{+∞\}x\[n\]z^\{-n\} X(z)=n=−∞∑\+∞x\[n\]z−n  
这是当  ∣ z ∣ = 1 |z| = 1 ∣z∣=1 时的 z 变换公式。那么，如果更一般的讲，我们令： z = r e j ω z = re^\{jω\} z=rejω，那么就有： X ( z ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x \[ n \] z − n = ∑ n = − ∞ + ∞ x \[ n \] r − n e − j ω n = F ( x \[ n \] r − n ) \\begin\{aligned\} X(z) &= \\sum\_\{n = -∞\}^\{+∞\}x\[n\]z^\{-n\}\\\\ &=\\sum\_\{n = -∞\}^\{+∞\}x\[n\]r^\{-n\}e^\{-jωn\}\\\\ &=\\mathscr\{F\}(x\[n\]r^\{-n\}) \\end\{aligned\} X(z)=n=−∞∑\+∞x\[n\]z−n=n=−∞∑\+∞x\[n\]r−ne−jωn=F(x\[n\]r−n)  
也就是说，z 变换可以看作是  x \[ n \] r − n x\[n\]r^\{-n\} x\[n\]r−n 的傅里叶变换。其中，当  r = 1 r = 1 r=1 时，就变成了傅里叶变换。

值得注意的是，我们看  z = r e j ω z = re^\{jω\} z=rejω 的表达式，其实是极坐标形式， r r r 就可以表示半径。那么在  z z z 变换里面非常关键的就是**单位圆**，他的作用与 拉氏变换里面的虚轴一样。

# 二、一些常用的 z 变换对 #

> 首先我们来看看  x \[ n \] = a n u \[ n \] x\[n\] = a^nu\[n\] x\[n\]=anu\[n\]
> 
> > 他的DTFT我们很熟悉：当 |a| < 1时， x \[ n \] = a n u \[ n \] x\[n\] = a^nu\[n\] x\[n\]=anu\[n\] 的DTFT为： 1 1 − a e − j ω \\frac\{1\}\{1 - ae^\{-jω\}\} 1−ae−jω1  
> > 下面我们来看看它的z变换： X ( z ) = ∑ n = − ∞ + ∞ a n u \[ n \] z − n = ∑ n = 0 + ∞ a n z − n = ∑ n = 0 + ∞ ( a z − 1 ) n \\begin\{aligned\} X(z) &= \\sum\_\{n=-∞\}^\{+∞\}a^nu\[n\]z^\{-n\}\\\\ &=\\sum\_\{n=0\}^\{+∞\}a^nz^\{-n\}\\\\ &=\\sum\_\{n=0\}^\{+∞\}(az^-1)^n \\end\{aligned\} X(z)=n=−∞∑\+∞anu\[n\]z−n=n=0∑\+∞anz−n=n=0∑\+∞(az−1)n  
> > 我们发现，这就是一个等比数列求和问题了。为了使得数列的和有限存在，我们应该令公比  ( a z − 1 ) < 1 (az^\{-1\})<1 (az−1)<1，那么数列的和即为： X ( z ) = 1 1 − a z − 1 = z z − a X(z) = \\frac\{1\}\{1 - az^\{-1\}\} = \\frac\{z\}\{z - a\} X(z)=1−az−11=z−az  
> > 其ROC为： ∣ a z − 1 ∣ < 1 |az^\{-1\}| < 1 ∣az−1∣<1，即： ∣ z ∣ > ∣ a ∣ |z| > |a| ∣z∣>∣a∣，所以我们知道 ROC 的形状是一个半径大于  ∣ a ∣ |a| ∣a∣ 的区域。那么这里又分为两种情况：1.  0 < ∣ a ∣ < 1 0 < |a| < 1 0<∣a∣<1 2.  ∣ a ∣ > 1 |a| > 1 ∣a∣>1。我们看看 0 < ∣ a ∣ < 1 0 < |a| < 1 0<∣a∣<1的图：  
> > ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]可想而知，当  ∣ a ∣ > 1 |a| >1 ∣a∣>1 时，其傅里叶变换就不存在了（因为 ROC不包括单位圆）
> 
> --------------------
> 
> 下面我们来看看  x \[ n \] = − a n u \[ − n − 1 \] x\[n\] = -a^nu\[-n-1\] x\[n\]=−anu\[−n−1\]
> 
> >  X ( z ) = ∑ n = − ∞ + ∞ − a n u \[ − n − 1 \] z − n = − ∑ n = − ∞ − 1 a n z − n = − ∑ n = 1 + ∞ a − n z n = 1 − ∑ n = 0 + ∞ ( a − 1 z ) n \\begin\{aligned\} X(z) &= \\sum\_\{n=-∞\}^\{+∞\}-a^nu\[-n-1\]z^\{-n\}\\\\ &=-\\sum\_\{n=-∞\}^\{-1\}a^nz^\{-n\}\\\\ &=-\\sum\_\{n=1\}^\{+∞\}a^\{-n\}z^\{n\}\\\\ &=1 - \\sum\_\{n=0\}^\{+∞\}(a^\{-1\}z)^n \\end\{aligned\} X(z)=n=−∞∑\+∞−anu\[−n−1\]z−n=−n=−∞∑−1anz−n=−n=1∑\+∞a−nzn=1−n=0∑\+∞(a−1z)n  
> > 同样地就变成了等比数列求和，要使得和有限，就应有： ∣ a − 1 z ∣ < 1 |a^\{-1\}z| < 1 ∣a−1z∣<1，即： ∣ z ∣ < ∣ a ∣ |z| < |a| ∣z∣<∣a∣，那么结果为： X ( z ) = 1 − 1 1 − a − 1 z = z z − a X(z) = 1 - \\frac\{1\}\{1 - a^\{-1\}z\} = \\frac\{z\}\{z - a\} X(z)=1−1−a−1z1=z−az  
> > 但是，虽然 z 变换的表达式和上面那个情况一样，但是 ROC却大有不同：  
> > ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

总结一些，大家需要记忆的两类信号：

1.   x \[ n \] = a n u \[ n \] x\[n\] = a^nu\[n\] x\[n\]=anu\[n\]（右边信号）
2.   x \[ n \] = − a n u \[ − n − 1 \] x\[n\] = -a^nu\[-n-1\] x\[n\]=−anu\[−n−1\]（左边信号）

--------------------

# 三、z 变换 ROC 的性质 #

既然有了拉氏变换关于 ROC 性质的印象，那么这里我们也就直接引入 z 变换 ROC 的性质：

1.  对于右边信号而言，ROC 位于最外层极点的外面
2.  对于左边信号而言，ROC 位于最内层极点的里面
3.  对于双边信号而言，ROC 是一个以原点为中心的圆环
4.  z 变换的 ROC 不会包括任何一个极点
5.  若  x \[ n \] x\[n\] x\[n\] 是有限长度的，那么，ROC可能是整个平面（但是有可能除去 z = 0 和/或 z = ∞)

# 三、z 变换的性质 #

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70]

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200613093612377.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw==,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200613095421718.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw==,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200613100031522.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw==,size_16,color_FFFFFF,t_70