【DSP数字信号处理整理笔记】——DFT离散傅里叶变换分析 1

谁借莪１个温暖的怀抱￠ 2022-12-18 13:59 660阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  一、DFT与DTFT的区别和联系
 *  二、DFT的性质
 *   *  2.1 复序列相关特性
     *  2.2 实序列相关特性
     *  2.3. DFT与线性卷积
     *  2.4. 如何由一个N点DFT计算2个实序列的N点DFT？
     *  2.5 对DTFT进行N点抽样

# 一、DFT与DTFT的区别和联系 #

首先，DFT和DTFT到底有什么区别呢？—— 首先，虽然DTFT是针对**离散时间非周期信号**的，但是它的频谱依然是连续的，这仍然不利于计算机的计算。**那么DFT的特点就是：时域信号是离散的；同时在频域上也是离散的。**

而要想使得频域是离散的，也就是需要对DTFT所得的连续频域进行**采样**。而在信号与系统中我们已经建立了这样一个认识：**时域离散，那么频域就会是周期的；如果频域是离散的，那么时域就是周期的。**

那么**由于刚刚我们说DFT需要对DTFT所得频谱进行采样，所以这将会导致在时域上原本的离散时间非周期信号做了周期延拓**。不过没有关系，我们最后还是只取一个周期分析即可。

那么具体怎么采样？怎么延拓呢？**对于一个N点DFT，因为DTFT的频谱是以  2 π 2π 2π为周期的，那么我们就以： ω = 2 π N k ω = \\frac\{2π\}\{N\}k ω=N2πk对频谱进行采样。时域上， x \[ n \] x\[n\] x\[n\] 就以N为周期做周期延拓。**

下图就展示了DTFT和DFT的区别：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

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如果我们设DTFT的时频域信号分别表示为： x \[ n \] , X ( e j ω ) x\[n\], X(e^\{jω\}) x\[n\],X(ejω)，DFT的的时频域信号表示为： y \[ n \] , Y \[ k \] y\[n\], Y\[k\] y\[n\],Y\[k\]，那么他们之间的相互联系如下图所示：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

x \[ n \] , y \[ n \] x\[n\] , y\[n\] x\[n\],y\[n\]之间的相互转化已经比较清晰了，下面我们再看看  X ( e j ω ) , Y \[ k \] X(e^\{jω\}), Y\[k\] X(ejω),Y\[k\]之间如何转换：

1.  数值逼近法  
    因为我们知道  Y \[ k \] Y\[k\] Y\[k\]仅仅是  X ( e j ω ) X(e^\{jω\}) X(ejω) 是一些频率样本，而  Y \[ k \] Y\[k\] Y\[k\] 是  y \[ n \] y\[n\] y\[n\] 的N点DFT，那么我们可以这么做——首先在  y \[ n \] y\[n\] y\[n\] 序列后面补若干个0，使之成为一个长度为M的序列（ M > > N M>>N M>>N），接下来，对这个更长的序列做 DFT，这样可以去逼近DTFT。

> 值得注意的是：N越大，频率分辨率越高，但是并不是N越大越好，对于原本具有周期性的信号，如果N不是周期的整数倍，就会出现频率模糊现象。  
> 例如原本周期是64的信号，如果分别用N=128和N=129，那么经过周期延拓就会出现这种情况：  
> ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]  
> 我们可以看到N=129时，出现了不连续点，这将会引入新的频率分量，因此他们两个分别做DFT的结果如下：  
> ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]

1.  另外一种方法就是插值。如果在每一个采样点插一个sinc函数，就类似于信号与系统中采样值的恢复。

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# 二、DFT的性质 #

【1】线性 
【2】圆周时移： x \[ < n − n 0 > N \] D F T ↔ X \[ k \] W N k n 0 x\[<n - n\_0 >\_N \] \\space \\underleftrightarrow\{DFT\} \\space X\[k\]W\_N^\{kn\_0\} x\[<n−n0>N\]DFTX\[k\]WNkn0 
【3】圆周频移： x \[ n \] W N − k 0 n F ↔ X \[ < k − k 0 > N \] x\[n\]W\_N^\{-k\_0n\}\\space \\underleftrightarrow\{\\mathscr\{F\}\} \\space X\[<k - k\_0>\_N\] x\[n\]WN−k0nFX\[<k−k0>N\] 
【4】对偶性： X \[ n \] F ↔ N x \[ < − k > N \] X\[n\] \\space \\underleftrightarrow\{\\mathscr\{F\}\} \\space Nx\[<-k>\_N\] X\[n\]FNx\[<−k>N\] 
【5】圆周卷积定理： x \[ n \] ⨂ h \[ n \] F ↔ X \[ k \] H \[ k \] x\[n\]⨂h\[n\] \\space \\underleftrightarrow\{\\mathscr\{F\}\} \\space X\[k\]H\[k\] x\[n\]⨂h\[n\]FX\[k\]H\[k\]

> 这里我们证明一下圆周卷积定理：我们设： x \[ n \] ⨂ h \[ n \] = y \[ n \] x\[n\]⨂h\[n\]=y\[n\] x\[n\]⨂h\[n\]=y\[n\]，下面有： Y \[ k \] = ∑ n = 0 N − 1 y \[ n \] W N k n = ∑ n = 0 N − 1 \[ ∑ m = 0 N − 1 x \[ m \] h \[ < n − m > N \] \] W N k n = ∑ m = 0 N − 1 x \[ m \] ∑ n = 0 N − 1 h \[ < n − m > N \] W N k n \\begin\{aligned\} Y\[k\] &= \\sum\_\{n=0\}^\{N-1\}y\[n\]W\_N^\{kn\}\\\\ &=\\sum\_\{n=0\}^\{N-1\}\[\\sum\_\{m=0\}^\{N-1\}x\[m\]h\[<n-m>\_N\]\]W\_N^\{kn\}\\\\ &=\\sum\_\{m=0\}^\{N-1\}x\[m\]\\sum\_\{n=0\}^\{N-1\}h\[<n-m>\_N\]W\_N^\{kn\}\\\\ \\end\{aligned\} Y\[k\]=n=0∑N−1y\[n\]WNkn=n=0∑N−1\[m=0∑N−1x\[m\]h\[<n−m>N\]\]WNkn=m=0∑N−1x\[m\]n=0∑N−1h\[<n−m>N\]WNkn 
> 下面，我们令： n − m = l + r N n-m=l+rN n−m=l\+rN，因为 m , n m, n m,n都是从0开始的，所以相当于 l , r l, r l,r 都是从0开始。 n = m + l + r N n=m+l+rN n=m\+l\+rN从0开始也就相当于 l l l 从0开始。而： < n − m > N = < l + r N > N = l <n-m>\_N=<l+rN>\_N=l <n−m>N=<l\+rN>N=l。所以带入得： Y \[ k \] = ∑ m = 0 N − 1 x \[ m \] ∑ l = 0 N − 1 h \[ l \] W N k ( m + l + r N ) = ∑ m = 0 N − 1 x \[ m \] W N k m ∑ l = 0 N − 1 h \[ l \] W N k l = X \[ k \] H \[ k \] \\begin\{aligned\} Y\[k\]=\\sum\_\{m=0\}^\{N-1\}x\[m\]\\sum\_\{l=0\}^\{N-1\}h\[l\]W\_N^\{k(m+l+rN)\}= \\sum\_\{m=0\}^\{N-1\}x\[m\]W\_N^\{km\}\\sum\_\{l=0\}^\{N-1\}h\[l\]W\_N^\{kl\}=X\[k\]H\[k\] \\end\{aligned\} Y\[k\]=m=0∑N−1x\[m\]l=0∑N−1h\[l\]WNk(m\+l\+rN)=m=0∑N−1x\[m\]WNkml=0∑N−1h\[l\]WNkl=X\[k\]H\[k\]

特别值得注意的是复序列DFT里的对称性： 
【1】 x \[ n \] ∗ D F T ↔ X ∗ \[ < − k > N \] x\[n\]^\* \\space \\underleftrightarrow\{DFT\} \\space X^\*\[<-k>\_N\] x\[n\]∗DFTX∗\[<−k>N\] 
反过来也是类似的结论：【2】 x ∗ \[ < − n > N \] D F T ↔ X ∗ \[ k \] x^\*\[<-n>\_N\] \\space \\underleftrightarrow\{DFT\} \\space X^\*\[k\] x∗\[<−n>N\]DFTX∗\[k\] 
由于我们知道在DTFT里面有频谱实部虚部和时域序列奇部偶部的关系，我们在DFT中引入共轭对称部分与共轭反对称部分：

## 2.1 复序列相关特性 ##

对于一个N点的复序列，我们定义圆周共轭对称为： x \[ n \] = x ∗ \[ < − n > N \] x\[n\] = x^\*\[<-n>\_N\] x\[n\]=x∗\[<−n>N\] 
定义圆周共轭反对称为： x \[ n \] = − x ∗ \[ < − n > N \] x\[n\] = -x^\*\[<-n>\_N\] x\[n\]=−x∗\[<−n>N\] 
而对于任意一个N点复序列，我们都可以拆分为圆周共轭对称和圆周共轭反对称部分（类似于实序列可以拆分为奇部和偶部一样）

x p c s = x \[ n \] + x ∗ \[ < − n > N \] 2 x p c a = x \[ n \] − x ∗ \[ < − n > N \] 2 \\quad\\\\ x\_\{pcs\} = \\frac\{x\[n\] +x^\*\[<-n>\_N\] \}\{2\}\\\\ \\quad \\\\ x\_\{pca\} = \\frac\{x\[n\] -x^\*\[<-n>\_N\] \}\{2\} xpcs=2x\[n\]\+x∗\[<−n>N\]xpca=2x\[n\]−x∗\[<−n>N\]

那么，就类似于傅里叶变换里面偶部的CTFT是傅里叶变换的实部一样，我们也有： x p c s \[ n \] F ↔ R e X \[ k \] x p c a \[ n \] F ↔ j I m X \[ k \] x\_\{pcs\}\[n\] \\space \\underleftrightarrow\{\\mathscr\{F\}\} \\space Re\{X\[k\]\}\\\\ \\quad\\\\ x\_\{pca\}\[n\] \\space \\underleftrightarrow\{\\mathscr\{F\}\} \\space jIm\{X\[k\]\} xpcs\[n\]FReX\[k\]xpca\[n\]FjImX\[k\]

而有趣的是：反过来也是OK的：  
 R e \{ x \[ n \] \} F ↔ X p c s \[ k \] j I m \{ x \[ n \] \} F ↔ X p c a \[ k \] Re\\\{x\[n\]\\\} \\space \\underleftrightarrow\{\\mathscr\{F\}\} \\space X\_\{pcs\}\[k\]\\\\ \\quad\\\\ jIm\\\{x\[n\]\\\} \\space \\underleftrightarrow\{\\mathscr\{F\}\} \\space X\_\{pca\}\[k\] Re\{ x\[n\]\}FXpcs\[k\]jIm\{ x\[n\]\}FXpca\[k\]

## 2.2 实序列相关特性 ##

这个大家在信号与系统中都已经清楚了：实信号的偶部的DFT就是  X \[ k \] X\[k\] X\[k\]的实部；实信号的奇部的DFT就是  X \[ k \] X\[k\] X\[k\] 的虚部。

## 2.3. DFT与线性卷积 ##

我们都知道：线性卷积是一件非常麻烦的事情；那么我们能都利用DFT去实现线性卷积呢？  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]

总结一下：一个 M 长的序列和一个 N 长的序列的线性卷积，我们可以这样做：

1.  将M长的序列尾部补0补长至：M + N -1。记为： h 1 ( n ) h\_1(n) h1(n)
2.  将 N 长的序列尾部补0补长至：M + N - 1。记为： h 2 ( n ) h\_2(n) h2(n)
3.  分别对  h 1 ( n ) h\_1(n) h1(n) 和  h 2 ( n ) h\_2(n) h2(n) 做DFT，得： H 1 \[ k \] , H 2 \[ k \] H\_1\[k\], H\_2\[k\] H1\[k\],H2\[k\]
4.  两者相乘，得到： G \[ k \] = H 1 \[ k \] H 2 \[ k \] G\[k\] = H\_1\[k\]H\_2\[k\] G\[k\]=H1\[k\]H2\[k\]
5.  对  G \[ k \] G\[k\] G\[k\] 做 IDFT ，得到原本序列得线性卷积结果。

## 2.4. 如何由一个N点DFT计算2个实序列的N点DFT？ ##

【问题】：我们现在有两个 N 长的实序列  g \[ n \] , h \[ n \] g\[n\], h\[n\] g\[n\],h\[n\]，如果只用一次 N 点 DFT 同时计算出它们两个的 N 点DFT呢？

—— 方法很简单，首先，我们将这两个序列构成一个复数序列，即： x \[ n \] = g \[ n \] + j h \[ n \] x\[n\] = g\[n\] + jh\[n\] x\[n\]=g\[n\]\+jh\[n\]

接下来，我们就只对这个 X \[ n \] X\[n\] X\[n\] 做 N 点DFT ，然后我们根据下面的性质得到实部和虚部的 DFT： R e \{ x \[ n \] \} = g \[ n \] D F T ↔ X \[ k \] + X ∗ \[ < − k > N \] 2 I m \{ x \[ n \] \} = h \[ n \] D F T ↔ X \[ k \] − X ∗ \[ < − k > N \] 2 j \\quad\\\\ Re\\\{x\[n\]\\\} = g\[n\] \\space \\underleftrightarrow\{DFT\} \\space \\frac\{X\[k\] + X^\*\[<-k>\_N\]\}\{2\}\\\\ \\quad\\\\ Im\\\{x\[n\]\\\} = h\[n\] \\space \\underleftrightarrow\{DFT\} \\space \\frac\{X\[k\] - X^\*\[<-k>\_N\]\}\{2j\} Re\{ x\[n\]\}=g\[n\]DFT2X\[k\]\+X∗\[<−k>N\]Im\{ x\[n\]\}=h\[n\]DFT2jX\[k\]−X∗\[<−k>N\]

## 2.5 对DTFT进行N点抽样 ##

问题： x \[ n \] x\[n\] x\[n\] 是一个长度为 M 的序列，对  x \[ n \] x\[n\] x\[n\]的DTFT进行N点抽样，对这个频域抽样之后的信号做 IDTFT，还能不能恢复出原来的  x \[ n \] x\[n\] x\[n\]？

—— 答案是：如果  N ≥ M N ≥M N≥M ，那么可以，否则不可以。我们想啊：对 DTFT结果做 N 点采样，也就是相当于在时域上把  x \[ n \] x\[n\] x\[n\] 以 N 为周期做周期延拓，那么显然如果延拓的距离太窄，就会发生混叠而无法恢复原来的信号。

**【补充】：关于对DTFT抽样，看似简单，但有时候考试的时候可能就硬是会没想起来相关的性质，所以这里博主补充一下：对一个序列  x \[ n \] x\[n\] x\[n\] 的DTFT 进行 N 点的抽样，抽样的结果  Y \[ k \] Y\[k\] Y\[k\] 就相当于对  x \[ n \] x\[n\] x\[n\] 做 DFT 了。那么  Y \[ k \] Y\[k\] Y\[k\] 的 IDFT 就可以通过下面的公式得到： y \[ n \] = ∑ m = − ∞ + ∞ x \[ n + m N \] 0 ≤ n ≤ N − 1 y\[n\] = \\sum\_\{m=-∞\}^\{+∞\}x\[n+mN\]\\quad 0≤n≤N-1 y\[n\]=m=−∞∑\+∞x\[n\+mN\]0≤n≤N−1**

比如下面这个例子：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70]

显然， x \[ n \] x\[n\] x\[n\] 的 4点DFT就是 Y\[k\] 了。那么套用上面的公式，应有： y \[ n \] = x \[ n + 4 \] + x \[ n \] + x \[ n − 4 \] 0 ≤ n ≤ 3 y\[n\] = x\[n+4\]+x\[n\]+x\[n-4\]\\quad 0≤n≤3 y\[n\]=x\[n\+4\]\+x\[n\]\+x\[n−4\]0≤n≤3  
那么我们看看各自平移的结果：

所以他们三者相加得到的序列是： 4 , 6 , 2 , 3 , 4 , 6... 4,6,2,3,4,6... 4,6,2,3,4,6...  
那么在 n 取0-3时，就可以得到  y \[ n \] = \{ 4 , 6 , 2 , 3 \} y\[n\]=\\\{4,6,2,3\\\} y\[n\]=\{ 4,6,2,3\}

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