【信号与系统学习笔记】【课程终章】—— 离散傅里叶变换的扩展：z 变换分析2

蔚落 2023-02-18 14:27 38阅读 0赞

> 上文中，我们学习了《信号与系统》的第十章——z变换。这是我们学院教学大纲所要求的最后一章内容。因此，这将是本系列专栏的最后一篇课程笔记啦！但是文章却不止于此，平时关于信号与系统的一些思考我也会继续发上这个专栏的噢！那么下面我们先回顾一下关于z变换，我们之前都说了啥：
> 
> > #### 1. 常见的z变换对 ####
> > 
> > 【1】必须要记得的两个z变换对： a n u \[ n \] a^nu\[n\] anu\[n\] 的z 变换为： 1 1 − a z − 1 \\frac\{1\}\{1 - az^\{-1\}\} 1−az−11，ROC为： ∣ z ∣ > ∣ a ∣ |z| > |a| ∣z∣>∣a∣  
> > 【2】 − a n u \[ − n − 1 \] -a^nu\[-n-1\] −anu\[−n−1\] （左边信号），它的z变换为： 1 1 − a z − 1 \\frac\{1\}\{1 - az^\{-1\}\} 1−az−11，ROC为： ∣ z ∣ < ∣ a ∣ |z| < |a| ∣z∣<∣a∣
> > 
> > #### 2. ROC 的性质 ####
> > 
> > 另外，我们还学习了左边、右边、双边信号和他们的ROC所应该具有的特征；
> > 
> > #### 3. z变换的性质 ####
> 
> --------------------
> 
> 那么，本次博客我们将会探讨以下几点：1. z变换的ROC和系统性质之间的关系 2. 系统的框图描述 3. 单边z变换

# 一、z变换与系统的联系 #

## 1.1 z变换的ROC与系统因果性的关系 ##

大家记忆：**如果说一个系统，它的系统函数的z变换的ROC位于最外层极点的外面，同时ROC还包含了无穷远点时，那么这个系统就是因果的。** 这里的"ROC还包含了无穷远点"，它的意思就是： ∞ ∞ ∞ 不能是 H(z) 的极点。那么什么时候 ∞ ∞ ∞ 不是 H(z) 的极点呢？—— **如果 H(z) 表示成了多项式之比的形式，且分母项的阶次大于等于分子项的阶次时， ∞ ∞ ∞ 不是 H(z) 的极点**，相反，此时 ∞ ∞ ∞ 是 H(z) 的零点。

## 1.2 z变换的ROC与系统稳定性之间的关系 ##

我们知道，一个系统要想是稳定的，在时域上需要满足下面这个条件： ∑ n = − ∞ + ∞ h \[ n \] < ∞ \\sum\_\{n=-∞\}^\{+∞\}h\[n\] < ∞ n=−∞∑\+∞h\[n\]<∞

**这不仅仅说明了系统函数绝对可和，他也说明了系统函数的傅里叶变换一定存在。** 那么，到了z域，也是类似的，**如果系统函数的z变换的ROC包含了单位圆，我们就可以判断这个系统是稳定的。**

## 1.3 系统结构与H(z)的关系 ##

同样地，我们目前所了解的系统基本结构包括——级联、并联和反馈。我们下面分别来看看：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
在时域中，系统级联我们用卷积来描述： h 1 \[ n \] ∗ h 2 \[ n \] h\_1\[n\]\*h\_2\[n\] h1\[n\]∗h2\[n\]  
在频域中，系统级联我们用乘积来描述： H 1 ( e j ω ) H 2 ( e j ω ) H\_1(e^\{jω\})H\_2(e^\{jω\}) H1(ejω)H2(ejω)  
那么在复数域里面，我们同样也是用乘积来描述： H 1 ( z ) H 2 ( z ) H\_1(z)H\_2(z) H1(z)H2(z)

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]  
在时域中，系统级联我们用相加来描述： h 1 \[ n \] + h 2 \[ n \] h\_1\[n\]+h\_2\[n\] h1\[n\]\+h2\[n\]  
在频域中，系统级联我们也用相加来描述： H 1 ( e j ω ) + H 2 ( e j ω ) H\_1(e^\{jω\})+H\_2(e^\{jω\}) H1(ejω)\+H2(ejω)  
那么在复数域里面，我们同样也是用相加来描述： H 1 ( z ) + H 2 ( z ) H\_1(z)+H\_2(z) H1(z)\+H2(z)

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]  
对于反馈系统，我们直接构造  Y ( z ) X ( z ) \\frac\{Y(z)\}\{X(z)\} X(z)Y(z) ，消除中间变量即可。我们来试试：  
首先，反馈的输出我们知道是： Y ( z ) G ( z ) Y(z)G(z) Y(z)G(z)，那么就有： X ( z ) − Y ( z ) G ( z ) = X 1 ( z ) X(z) - Y(z)G(z) = X\_1(z) X(z)−Y(z)G(z)=X1(z)，有因为：  
 X 1 ( z ) H 1 ( z ) = Y ( z ) X\_1(z)H\_1(z) = Y(z) X1(z)H1(z)=Y(z)，联立上面两个式子，将中间量  X 1 ( z ) X\_1(z) X1(z) 消掉即可。

# 二、系统的框图描述 #

我们知道，对于离散时间系统而言，常常用差分方程来描述。因此我们约定：在框图里面就只能用：加法器、乘以系数和 z − 1 z^\{-1\} z−1（等价于延时一个单位时间）

另外框图也分为直接型框图、级联型框图和并联型框图。我们在考试时要按照题目要求画出对应的图。我们下面介绍一下；

> 分别画出下面这个系统函数  
> ![在这里插入图片描述][20200618153944266.png_pic_center]  
> 的直接型框图、级联型框图和并联型框图

对于初学者而言，也许需要先把差分方程给写出来： y \[ n \] = 1 4 y \[ n − 1 \] − 1 8 y \[ n − 2 \] = x \[ n \] y\[n\] = \\frac\{1\}\{4\}y\[n-1\] - \\frac\{1\}\{8\}y\[n-2\] = x\[n\] y\[n\]=41y\[n−1\]−81y\[n−2\]=x\[n\]  
即： y \[ n \] = x \[ n \] − 1 4 y \[ n − 1 \] + 1 8 y \[ n − 2 \] y\[n\] = x\[n\] - \\frac\{1\}\{4\}y\[n-1\] + \\frac\{1\}\{8\}y\[n-2\] y\[n\]=x\[n\]−41y\[n−1\]\+81y\[n−2\]  
因此，我们就可以画出直接型：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]  
下面给大家支一招：直接型的通法：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]  
如果题目给出的多项式比，少了哪一项，我们就可以把哪一项的线给它抹去。

下面是级联型的画法：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
如果要改成并联型，则需要做部分分式展开，框图如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]

# 三、单边z变换 #

单边z变换，顾名思义就是求和区间是 \[ 0 , + ∞ \] \[0, +∞\] \[0,\+∞\]。如果信号只是在  \[ 0 , + ∞ \] \[0, +∞\] \[0,\+∞\] 有值，那么双边z变换和单边 z 变换的结果是一样的。如果信号在  n < 0 n < 0 n<0 时还有值，那么两者的结果就不一样了。

另外值得注意的一点是单边z变换的时移特性：  
【1】若  x \[ n \] x\[n\] x\[n\]的单边z变换为： X ( z ) X(z) X(z)，那么 x \[ n − 1 \] x\[n-1\] x\[n−1\] 的单边z变换为： z − 1 X ( z ) + x ( − 1 ) z^\{-1\}X(z) + x(-1) z−1X(z)\+x(−1)、  
【2】若  x \[ n \] x\[n\] x\[n\]的单边z变换为： X ( z ) X(z) X(z)，那么 x \[ n + 1 \] x\[n+1\] x\[n\+1\] 的单边z变换为： z 1 X ( z ) + z x ( 0 ) z^\{1\}X(z) + zx(0) z1X(z)\+zx(0)

根据单边z变换的这个性质，我们系统的输出往往就可以分为——零输入响应和零状态响应了。

> 终于归纳完啦！这一个学期由于疫情的影响变得非常特殊。天天坐在家里，对着博客的页面打字也是一件需要耐得住寂寞的事情哈哈。非常庆幸自己坚持了下来，没有在做前几次笔记之后就打退堂鼓。就因为这样才有了这一片博客的尾声。在此也对阅读我专栏的同学们说一声——加油！！未来可期！

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