高等数学基础03：函数的连续性

港控/mmm° 2023-01-22 14:47 53阅读 0赞

##### 函数的连续性 #####

设函数 y = f (x)在点x。的某邻域内有定义，如果当自变量的改变量△x趋近于 零时，相应函数的改变量△y也趋近于零，则称y = f (x)在点 x。处连续。  
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函数 在点 处连续，需要满足的条件：

1.  函数在该点处有定义
2.  函数在该点处极限  lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \\lim\_\{x \\to x\_0\}f(x) limx→x0f(x)存在
3.  极限值等于函数值 f ( x 0 ) f(x\_0) f(x0)

函数![4ca414d1aabad8df8b7387d41c70e820.png][]  
在  x = 0 x=0 x=0处的连续性？

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##### 函数的间断点 #####

函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x = x 0 x=x\_0 x=x0处不连续，则称其为函数的间断点。  
3种情况为间断点：  
1.函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x\_0 x0 处没有定义。  
2.极限 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \\lim\_\{x \\to x\_0\}f(x) limx→x0f(x) 不存在  
3.满足前两点，但是 lim ⁡ x → x 0 ≠ f ( x ) \\lim\_\{x \\to x\_0\} \\neq f(x) limx→x0=f(x)

当 x → x 0 x \\to x\_0 x→x0时， f ( x ) f(x) f(x) 的左右极限存在，则称 x 0 x\_0 x0为  f ( x ) f(x) f(x)的第一类间断点， 否则为第二类间断点。  
跳跃间断点： lim ⁡ x → 0 − f ( x ) \\lim\_\{x \\to 0^-\}f(x) limx→0−f(x) 与  lim ⁡ x → 0 + \\lim\_\{x \\to 0^+\} limx→0\+均存在，但不相等。  
可去间断点： lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \\lim\_\{x \\to x\_0\} f(x) limx→x0f(x)存在但不等于 f ( x 0 ) f(x\_0) f(x0)

函 数 f ( x ) = x 2 − 1 x 2 − 3 x + 2 的 连 续 型 ？ 函数f(x) = \\frac\{x^2 -1\}\{x^2 - 3x +2\}的连续型？ 函数f(x)=x2−3x\+2x2−1的连续型？

$在点  x = 2 , x = 1 x=2,x=1 x=2,x=1处没有定义。$

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 在 X = 1 处 是 可 去 间 断 点 在X=1处是可去间断点 在X=1处是可去间断点  
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 在 X = 2 是 第 二 类 间 断 点 在X=2是第二类间断点 在X=2是第二类间断点

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