高等数学：Δ函数

谁践踏了优雅 2023-10-15 11:50 13阅读 0赞

Δ δ \\Delta\\\\\\delta Δδ  
函数是一个广义函数，但在物理学中却有着重要的地位。

对于一维的 δ \\delta δ函数，定义如下：  
 δ ( x ) = + ∞ , w h e n x = 0 δ ( x ) = 0 , w h e n x ≠ 0 \\delta(x)= +\\infty , when x=0\\\\ \\delta(x)=0, when x \\ne 0 δ(x)=\+∞,whenx=0δ(x)=0,whenx=0  
即函数只在 x = 0 x=0 x=0处有值，在其他区域均为0.

而且其积分满足下式  
 ∫ a b δ ( x ) d x = 0 , a , b < 0 o r a , b > 0 \\int^b\_a \\delta(x)dx=0,a,b<0 or \\ a,b>0 ∫abδ(x)dx=0,a,b<0ora,b>0  
 ∫ a b δ ( x ) d x = 1 , a < 0 < b \\int^b\_a \\delta(x)dx=1, a<0<b ∫abδ(x)dx=1,a<0<b  
只有当积分区域包括点 x = 0 x=0 x=0时，积分才有值，且值为1，由此可知

广义函数 δ ( x ) \\delta(x) δ(x)的量纲为 1 \[ x \] \\frac\{1\}\{\[x\]\} \[x\]1

乍一看，我们似乎找不到这样奇怪的函数，但我们可以将 δ \\delta δ函数看成是某个带参数的函数序列的极限（参数取极限）下的函数。

比如 δ ( x ) = lim ⁡ l → 0 1 l r e c t ( x l ) \\delta(x)=\\lim\_\{l \\rightarrow 0 \}\\frac\{1\}\{l\}rect(\\frac\{x\}\{l\}) δ(x)=l→0liml1rect(lx)

rect函数为矩形函数。

推广一下，不难得到 δ \\delta δ函数 δ ( x − x 0 ) \\delta(x-x\_0) δ(x−x0)的表达式。

δ \\delta δ函数具有很多的性质，其中最重要的一条为 δ \\delta δ函数的挑选性。

对于R上的连续函数 f ( ξ ) f(\\xi) f(ξ)，有以下式子成立  
 ∫ − ∞ ∞ f ( ξ ) δ ( x − x 0 ) d ξ = f ( x 0 ) \\int^\{\\infty\}\_\{-\\infty\}f(\\xi) \\delta(x-x\_0)d\\xi =f(x\_0) ∫−∞∞f(ξ)δ(x−x0)dξ=f(x0)  
可以看到， δ \\delta δ函数将任意函数 δ \\delta δ函数在 x = x 0 x=x\_0 x=x0的值挑选了出来！

有了挑选性，我们就可以得到 δ \\delta δ函数的（广义）傅立叶变换了，得到它的频谱。  
 F ( ω ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ δ ( x − 0 ) e − i ω x d x = 1 2 π e − i ω ⋅ 0 = 1 2 π F(\\omega)=\\frac\{1\}\{2 \\pi\}\\int\_\{-\\infty\}^\{\\infty\} \\delta(x-0)e^\{-i \\omega x\}dx=\\frac\{1\}\{2 \\pi\} e^\{-i \\omega \\cdot 0\}=\\frac\{1\}\{2 \\pi\} F(ω)=2π1∫−∞∞δ(x−0)e−iωxdx=2π1e−iω⋅0=2π1  
竟然是一个常数！说明函数的频率是均匀的，函数含有的各频分量的比例相同！

逆傅立叶变换则为  
 δ ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e i ω x d ω \\delta(x)=\\frac\{1\}\{2 \\pi\}\\int\_\{- \\infty\}^\{\\infty\}e^\{i \\omega x\}d \\omega δ(x)=2π1∫−∞∞eiωxdω  
这个式子竟然将看起来毫不相关的 δ \\delta δ函数和虚指数函数联系在了一起！

这个式子经常用于物理公式的化简，是一个比较重要的结论。

上述说的都是一维的 δ \\delta δ函数，实际上可以推广到多维。

如直角坐标系下的 δ \\delta δ函数  
 δ ( r ⃗ ) = 0 , w h e n r ⃗ = 0 ⃗ \\delta(\\vec\{r\})= 0 ,when \\vec\{r\}=\\vec\{0\} δ(r)=0,whenr=0 δ ( r ⃗ ) = ∞ , w h e n r ⃗ ≠ 0 ⃗ \\delta(\\vec\{r\})= \\infty , when \\vec\{r\} \\ne \\vec\{0\} δ(r)=∞,whenr=0  
且 ∭ − ∞ ∞ δ ( r ⃗ ) d r ⃗ = 1 \\iiint\_\{-\\infty\}^\{\\infty\} \\delta(\\vec\{r\})d \\vec\{r\}=1 ∭−∞∞δ(r)dr=1

可进一步表为  
 δ ( r ⃗ ) = δ ( x ) δ ( y ) δ ( z ) \\delta(\\vec\{r\})=\\delta(x)\\delta(y)\\delta(z) δ(r)=δ(x)δ(y)δ(z)  
三维 δ \\delta δ函数在电动力学中处理点电荷时经常用到。