高等数学基础02：极限

柔光的暖阳◎ 2023-01-22 14:47 48阅读 0赞

##### 数列 #####

按照一定次数排列的一列数： u 1 , u 2 , . . . , u n , . . . u\_1,u\_2,...,u\_n,... u1,u2,...,un,... ，其中  u n u\_n un叫做通项。

对于数列 \{ u n \} , \\\{ u\_n \\\} , \{ un\}, 如果当n无限增大时，其通项无限接近于一个常数A， 则称该数列以A为极限或称数列收敛于A，否则称数列为发散。  
![7f3e9b470437098809684257e33842c0.png][]

##### 极限 #####

符号表示：  
 x → ∞ 表 示 “ 当 ∣ x ∣ 无 限 增 大 时 ” ； x \\to \\infty 表示 “当|x|无限增大时”； x→∞表示“当∣x∣无限增大时”；  
 x → + ∞ 表 示 “ 当 x 无 限 增 大 时 ” ； x \\to +\\infty 表示 “当x无限增大时”； x→\+∞表示“当x无限增大时”；  
 x → − ∞ 表 示 “ 当 ∣ x ∣ 无 限 减 少 时 ” ； x \\to -\\infty 表示 “当|x|无限减少时”； x→−∞表示“当∣x∣无限减少时”；  
 x → x 0 表 示 “ 当 x 从 x 0 的 左 右 两 侧 无 限 接 近 于 x 0 时 ” ； x \\to x\_0 表示 “当x从x\_0的左右两侧无限接近于x\_0时”； x→x0表示“当x从x0的左右两侧无限接近于x0时”；  
 x → x 0 + 表 示 “ 当 x 从 x 0 的 右 侧 无 限 接 近 于 x 0 时 ” ； x \\to x\_0^+ 表示 “当x从x\_0的右侧无限接近于x\_0时”； x→x0\+表示“当x从x0的右侧无限接近于x0时”；  
 x → x 0 − 表 示 “ 当 x 从 x 0 的 左 侧 无 限 接 近 于 x 0 时 ” ； x \\to x\_0^- 表示 “当x从x\_0的左侧无限接近于x\_0时”； x→x0−表示“当x从x0的左侧无限接近于x0时”；

![6dbd4ea447994b3597646caea595103b.png][]

函数在x0的邻域内有定义，  
![e40653fd582a20abf90eb05570c69b8d.png][]  
![401b3d49aa3d4d75a753496c7d2c61bd.png][]  
左右极限：函数在左半邻域/右半邻域内有定义  
![b53080b6325aa292b7dec9f85955eb16.png][]  
![13d33d0fd8712e89cc2ab2e05da2e4dd.png][]

![9745653b619c5098cd6075e9772c4736.png][]的充要条件是  
![9ba9b5271d813b8bf788be697a40d628.png][]  
![aa63dc999233522d5ed5d00d526c2b53.png][]  
 当 x → 0 时 f ( x ) 的 极 限 当x \\to 0时 f(x)的极限 当x→0时f(x)的极限  
 解 ： 解： 解：  
![dfac50a1eed73ea1ab0059994e4126e0.png][]  
 左 右 极 限 存 在 但 不 相 等 ， 左右极限存在但不相等， 左右极限存在但不相等，  
$ \\therefore $ $ \\lim\_\{x \\to 0\}f(x)不存在$

无穷小：以零为极限![b33612218a8bf58271ad30e912caa96a.png][]  
基本性质：  
1.有限个无穷小的代数和仍是无穷小  
2.有限个无穷小的积仍是无穷小  
3.有界变量与无穷小的积仍是无穷小  
4.无限个无穷小之和不一定是无穷小。  
![e730abd432aa8750a52a5472134676da.png][]

无穷小的商不一定是无穷小。  
![13a9e8853560961317ff3ea67278ef70.png][]  
极限有无穷小的关系：  
$ \\lim\_\{x \\to x\_0\} f(x)=A的充要条件f(x)=A+\\alpha(x)，其中\\alpha(x)是x \\to x\_0时的无穷小。$  
无穷大：并不是一个很大的数，是相对于变换过程来说。  
![8a46043b2c59852a6b171786405dfa9a.png][]  
无穷小和无穷大的关系：在自变量的变换的同一过程中，如果  f ( x ) f(x) f(x)为无穷大，那么  1 f ( x ) \\frac\{1\}\{f(x)\} f(x)1为无穷小。  
无穷小的比较：  
 α = α ( x ) , β = β ( x ) 都 是 无 穷 小 \\alpha=\\alpha(x), \\beta=\\beta(x)都是无穷小 α=α(x),β=β(x)都是无穷小  
![980cb2a3d16690c5ec365e26b7fc620e.png][]  
如果![27ea2d0d038d19197e3b58b34261f26e.png][]  
则称β是比α高阶无穷小  
![17efa169cdc843088cc689e98bda4327.png][]  
则称β是比α低阶无穷小  
![065371236394eca3b5735156ca05f250.png][]  
则称β与α是同阶无穷小

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[e40653fd582a20abf90eb05570c69b8d.png]: /images/20221020/669c340f147e44afb3e94e5f944d1311.png
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[13d33d0fd8712e89cc2ab2e05da2e4dd.png]: /images/20221020/583191a308ff4e7ca01d2c88fe49056c.png
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