数据科普：定价模型与平价关系式（投资必知必会）

冷不防 2023-01-20 08:18 10阅读 0赞

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hi，凹凸们????

今天给大家介绍一下定价模型与平价关系式。前文链接：[期权类型与到期盈亏（投资必知必会）][Link 1]

### 一、布莱克-斯科尔斯-默顿模型 ###

在20世纪70年代初，费希尔·布莱克( Fisher black)、迈伦·斯科尔斯( Myron Scholes)和罗伯特·默顿( Robert Merton)在对欧式股票期权定价研究方面取得了重大的理论突破，提出了针对欧式期权定价的模型，该模型被称为布莱克-斯科尔斯-默顿模型(简称BSM模型)。

#### 模型假设： ####

在推导出布莱克斯科尔斯-默顿模型时，有以下7个假设前提条件：

一是假设基础资产的股票价格服从几何布朗过程；二是可以卖空证券，并且可以完全运用卖空所获得的资金；三是无交易费用和无税收，所有证券均可无限分割；四是在期权期限内，基础资产无期间收入(比如股票不支付股息)；五是市场不存在无风险套利机会；六是证券交易是连续进行的；七是短期无风险利率是一个常数，并对所有期限都是相同的。

#### 微分方程： ####

此外，模型在推导过程中运用到了一个很重要的微分方程，具体就是

![8fccafa178ef6c51e6507d663be6d772.png][] 微分方程

其中，式子中的 f 表示看涨期权价格，S表示期权基础资产的价格，r为连续复利的无风险收益率，σ为基础资产价格百分比变化(收益率)的波动率，t是时间变量。

#### 定价公式： ####

欧式看涨期权的定价公式

![6bd2f8754dafde52c69c209823374440.png][] 看涨期权定价公式

通过看涨-看跌平价关系式，可以得到看跌期权的定价公式：

![deefe3ac02efb21528d056673df7e7fa.png][] 看跌期权定价公式

其中：

![f367b002d5252bcf3a3ecf8e7700be75.png][] d的计算

c与p分别代表欧式看涨、看跌期权的价格，S0是基础资产在初始0时刻的价格，K是期权的执行价格，r是连续复利的无风险收益率，σ为基础资产价格百分比变化(收益率)的年化波动率，T是期权合约的期限(单位是年)，N()表示累积标准正态分布的概率密度。

代码实现基于布莱克-斯科尔斯-默顿模型计算欧式看涨期权、看跌期权定价的函数：

import numpy as np
    from scipy.stats import norm
    
    def call_BS(S,K,sigma,r,T):
        '''用bs模型计算欧式看涨期权价格
        S 期权基础资产价格
        K 期权执行价格
        sigma 基础资产价格百分比变化（收益率）的年化波动率
        r 无风险收益率
        T 期权合约剩余年限
        '''
        d1 = (np.log(S/K) + (r + pow(sigma,2)/2)*T) / (sigma*np.sqrt(T))
        d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)
        return S*norm.cdf(d1) - K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2)
    
    def put_BS(S,K,sigma,r,T):
        '''用bs模型计算欧式看跌期权价格
        S 期权基础资产价格
        K 期权执行价格
        sigma 基础资产价格百分比变化（收益率）的年化波动率
        r 无风险收益率
        T 期权合约剩余年限
        '''
        d1 = (np.log(S/K) + (r + pow(sigma,2)/2)*T) / (sigma*np.sqrt(T))
        d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)
        return K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(-d2) - S*norm.cdf(-d1)

#### 例子： ####

一份期限为6个月的股票期权，期权的基础资产是工商银行的A股股票,2018年12月28日股票收盘价是5.29元/股，期权的执行价格为6元股，无风险利率为年化4%，股票收益率的年化波动率是24%，运用布莱克斯科尔斯-默顿模型计算看涨期权看跌期权的价格。

call_BS(S=5.29, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=0.5)
    put_BS(S=5.29, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=0.5)

### 二、看涨-看跌期权 平价关系式 ###

具有相同执行价格与期限的欧式看跌期权、看涨期权在价格上有一个重要关系式。

#### 1.两个投资组合 ####

首先，考虑以下两个投资组合在期权合约到期时的盈亏情况。A投资组合：一份欧式看涨期权和一份在T时刻到期的本金为K的零息债券；B投资组合：一份欧式看跌期权和一份基础资产。这里需要假设看涨期权与看跌期权具有相同的执行价格K与相同的合约期限T。

对于A投资组合而言，零息债券在期权合约到期日(T时刻)的价值显然是等于K，而对于看涨期权则分两种情形讨论。

情形1：如果在T时刻，基础资产价格St>K，A投资组合中的欧式看涨期权将被执行，此时，A投资组合的价值是(St-K)+K=St；

情形2：如果在T时刻，基础资产价格St<K，A投资组合中的欧式看涨期权就没有价值，此时A投资组合的价值为K。

对于B投资组合而言，也分两种情形讨论。

情形1：如果在T时刻，基础资产价格St>K，此时，B投资组合中的欧式看跌期权没有价值，此时，B投资组合价值为St，也就是仅剩下基础资产的价值；

情形2：如果在T时刻，基础资产价格St<K，此时，B投资组合中的欧式看跌期权会被行使，此时B投资组合价值为(K-St)+St=K。综合以上的分析，当St>K时，在T时刻两个投资组合的价值均为St；当St<K时在T时刻两个投资组合的价值均为K。换而言之，在T时刻(期权合约到期时)，两个投资组合的价值均为max(St, K)

由于A投资组合与B投资组合中的期权均为欧式期权，在期权到期之前均不能行使，既然两个投资组合在T时刻均有相同的收益，在期权合约的存续期内也应该有相同的价值。否则，就会出现无风险套利机会，套利者可以买入价格低的投资组合，与此同时卖空价格高的投资组合进行无风险的套利，无风险套利收益就是等于两个组合价值的差额。

#### 2. 抽象的数学表达式 ####

看涨期权 + 零息债券价格 = 看跌期权 + 基础资产价格

![2aa7b0f1d0e3b9f60c6213a063c2fd65.png][] 平价共识

代码实现：

def call_parity(p,S,K,r,T):
        '''通过平价关系式用看跌期权价格计算欧式看涨期权价格。
        p：欧式看跌期权价格
        S：期权基础资产价格
        K：执行价格
        r：无风险收益率
        T：合约剩余期限    
        '''
        return p + S - K * np.exp(-r * T)
    
    def put_parity(c,S,K,r,T):
        '''通过平价关系式，用看涨期权价格计算欧式看跌期权价格。
        c：欧式看涨期权价格
        S：期权基础资产价格
        K：执行价格
        r：无风险收益率
        T：合约剩余期限    
        '''
        return c + K * np.exp(-r * T) - S

#### 例子： ####

假设当前股票价格为20元股，期权的执行价格为18元/股，无风险收益率为每年5%,3个月的欧式看涨期权价格对外报价是2.3元,3个月的欧式看跌期权对外报价是0.3元，期权价格是否合理？

call_parity(p=0.3, S=20, K=18, r=0.05, T=0.25)
    ==>2.523599591110134
    put_parity(c=2.3, S=20, K=18, r=0.05, T=0.25)
    ==>0.07640040888986732

通过计算，看涨期权被低估，看跌期权则被高估，因此可以通过持有看涨期权的多头头寸并买入零息债券(相当于买入A投资组合)，同时持有看跌期权的空头头寸并卖空基础资产（相当于卖空B投资组合），从而实现无风险套利。

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[a47c5fb7cbb5067835357fda0f1158ad.gif]: /images/20221021/47a3df1355c940e69ca2977acd0d54df.png
[Link 1]: https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU5Nzg5ODQ3NQ%3D%3D&chksm=fe4e916ac939187c27ead87229b66825bfbe5515acd146a8fcce8f5b1958ee97d010fbf138f1&idx=3&mid=2247513326&scene=21&sn=96251b01d1c4c5f679201f1bbce96094#wechat_redirect
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