计算机组成原理--运算方法:加减乘除

清疚 2023-01-12 04:15 188阅读 0赞

## 补码加减法 ##

补码加法  
公式：\[x+y\]补=\[x\]补+\[y\]补  
补码减法：  
为了将减法转变为加法，需证明公式： \[x-y\]补=\[x\]补+\[-y\]补 （证明）  
为了求得同时\[-y\]补，需要证明\[-y\]补=\[y\]补+2^-n（意义是\[-y\]补等于\[y\]补取反，末位加1）

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## 溢出检测 ##

*  溢出的检测
 *  可能产生溢出的情况
    
     *  两正数加，变负数，上溢（大于机器所能表示的最大数）
     *  两负数加，变正数，下溢（小于机器所能表示的最小数）

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## 定点原码乘法 ##

### 定点乘法原理 ###

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n位乘n位积可能为2n位.  
乘积的最后是所有部分积之和，有n个数相加，而FA只有两个输入端，机器一次只能进行两个数的相加，不能进行多个数据的加法。  
手工计算中，乘数的每一位是0还是1都可直接看见，而在计算机中，采用放乘数的寄存器的每一位直接决定本次相加数是被乘数还是0是很不方便的，若采用该寄存器的最低一位来执行这种判断就简便了。

计算机中执行乘法时，积的符号位由被乘数和乘数的符号位通过一个半加器（即异或门）实现。  
数值部分的运算规则是：从最低位Y0开始，当乘数Yi为1时，将上次部分积加上被乘数的绝对值，然后右移一位，得到新的部分积；当Yi为0时，则写下全0。然后再对乘数Y的高一位进行类似乘法运算。重复“加—右移”操作N次，可得到最后的乘积。

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Ｒ０存放部分积，Ｒ２存放被乘数，Ｒ１存放乘数  
R0清零，R2存放被乘数，R1存放乘数。乘法开始时，“启动”信号时控制ＣＸ置１，于是开启时序脉冲Ｔ，当乘数寄存器Ｒ１最末位为“１“时，部分积Ｚ和被乘数Ｘ在加法器中相加，其结果输出至Ｒ０的输入端。一旦控制脉冲Ｔ到来，控制信号ＬＤＲ０使部分积右移１位，与此同时，乘数寄存其Ｒ１也在控制信号ＬＤＲ１作用下右移一位，且计数器Ｉ记数一次；  
将步骤三重复执行N次  
当计数器Ｉ＝n时，计数器Ｉ的溢出信号使控制触法器ＣＸ置０，关闭时序脉冲Ｔ，乘法宣告结束

原码算法存在的缺点：  
一是符号位需要单独运算，最后给运算结构以正确的符号；  
二是对于采用补码存储的机器，从存储器中取出的是操作数的补码，需先将其转换成原码，这样很不方便，而且影响速度。

## 定点补码乘法 ##

补码乘法的特点是乘数、被乘数用补码表示，符号位参加运算，希望得到的结果就是乘积的补码，符号位在运算中形成

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### 定点补码乘法原理 ###

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## 定点除法 ##

在定点计算机中，完成两个原码表示的数相除时，商的符号由两数的符号位和原码乘法运算方法一样，用模2求和得到，而商的数值部分则是两个正数相除得到

计算机中执行除法时，商的符号位由被除数和除数的符号位通过一个半加器实现；  
对于数值部分，由于定点小数的绝对值小于1，如果被除数大于或等于除数，则商就大于或等于1，因而会产生溢出，这是不允许的。  
因此在执行除法以前，先要判别是否溢出，不溢出时才执行除法运算。判别溢出的方法是被除数减去除数，若差为正，就表示溢出，即要求被除数<除数。

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### 恢复余数法 ###

恢复余数法的运算规则:  
计算机中进行除法时，是模仿十进制除法笔算的过程，但又不能完全照搬。  
在机器中判断是否够减，必须先做减法，若余数为正，表示够减；若余数为负，表示不够减 ，不够减时，必须恢复原来的余数，以便再继续往下运算，这种方法称为恢复余数法。  
要恢复原来的余数，只要当前的余数加上除数即可。

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恢复余数法的缺点:  
当某一次-Y的差值为负时，要多一次+Y恢复余数的操作，降低了执行速度,又使控制线路变得复杂，因此在计算机中很少采用

### 加减交替法 ###

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加减交替法的规则：

首先作X-Y，余数为正，表明产生溢出，应终止除法运算；余数为负，上商为0（作为商的符号位），然后重复下述操作n次，可得商的n位数值  
a. 余数左移一位。  
b. 余数为正时，减除数；余数为负时，加除数。  
c. 所得的新余数为正时，上商为1；为负时，上商为0。  
由于运算中余数共左移了n次，相当于乘2n，故最后得余数应乘上2-n才是真正的正确余数。

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*  判断溢出/”0”
 *  商的符号由被除数的符号和除数的符号共同决定
 *  被除数的位数可以是除数位数的两倍,低位开始放于商的寄存器中.
 *  最后一步余数是负数,需要修正再加上除数,移位.直到为正

## 浮点加法、减法运算 ##

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### 计算步骤 ###

⑴ 0操作数检查：用来判断两个操作数中是否有一个为0.看有无简化操作的可能  
⑵ 对阶操作：即比较两个浮点数的阶码值的大小，求E=Ex-Ey，然后将小阶对大阶。  
⑶ 尾数进行加或减运算：实现尾数的加减运算，执行两个完成对阶后的浮点数的求和（差）的过程  
⑷ 规格化并进行舍入处理：若得到的结果不满足规格化规则，就必须把它变成规格化的数。舍入操作，在执行对阶或右规操作时，会使位数低位上的一位或若干位的数值被移掉，使数值精度受到影响，可以把移掉的几个高位的值保存起来供舍入使用

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4.规格化和舍入处理

结果的符号位与最高符号数值位相同，应执行左规处理，所谓左规格化的规则，就是尾数左移1位，阶码减1，所以结果为：11.00010101(10) ，阶码为00 011,这里采用舍入处理,采用0舍1入法处理，则有

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本题不采用IEEE754标准，其规格化的目标是：尾数的绝对值应大于等于1/2且小于1。即正数应为0.1……,负数应为1.0……。可见，当尾数的最高数值位与符号位不同时，即为规格化数

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## 浮点乘法和除法运算 ##

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浮点数的阶码运算（移码的运算规则）  
\[X\]移+\[Y\]移=2n+\[X+Y\]移  
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设有浮点数ｘ＝2－5×0.0110011,ｙ＝23×(－0.1110010),阶码用4位移码表示,尾数(含符号位)用8位补码表示。求\[ｘ×ｙ\]浮。要求用补码完成尾数乘法运算,运算结果尾数保留高8位(含符号位),并用尾数低位字长值处理舍入操作。

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## 一个小结(*▽*) ##

*  一个定点数由符号位和数值域两部分组成。按小数点位置不同，定点数有纯小数和纯整数两种表示方法。
 *  按IEEE754标准，一个浮点数由符号位S、阶码E、尾数M三个域组成。其中阶码E的值等于指数的真值e加上一个固定偏移值。
 *  为了使计算机能直接处理十进制形式的数据，采用两种表示形式：(1)字符串形式，主要用在非数值计算的应用领域；(2)压缩的十进制数串形式，用于直接完成十进制数的算术运算。
 *  数的真值变成机器码时有四种表示方法：原码表示法，反码表示法，补码表示法，移码表示法。其中移码主要用于表示浮点数的阶码E，以利于比较两个指数的大小和对阶操作。
 *  字符信息属于符号数据，是处理非数值领域的问题。国际上采用的字符系统是七单位的ASCII码。直接使用西文标准键盘输入汉字，进行处理，并显示打印汉字，是一项重大成就。为此要解决汉字的输入编码、汉字内码、字模码等三种不同用途的编码
 *  为运算器构造的简单性，运算方法中算术运算通常采用补码加、减法，原码乘除法或补码乘除法。为了运算器的高速性和控制的简单性，采用了先行进位、阵列乘除法、流水线等并行技术措施。运算方法和运算器是本章的重点。
 *  定点运算器和浮点运算器的结构复杂程度有所不同。早期微型机中浮点运算器放在CPU芯片外，随着高密度集成电路技术的发展，现已移至CPU内部。

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