散射理论方程_量子力学笔记6波动力学薛定谔方程方程的一般解

ゝ一纸荒年。 2023-01-07 07:25 136阅读 0赞

**2.4 薛定谔方程的一般解**

**2.4.1 束缚态的一般解**

(1)在经典力学中，如果一个能量为 E 的粒子处于如图所示的势阱 V (x) 中，V (x) 的两边都比粒子的能量高，则粒子的运动被限制在**势阱**内(它在势能最高的两个拐点之间运动，不能越过它们)。我们称这种情况为**束缚态**(bound states)。在量子力学体系中，也存在类似的情况，但是我们将会看到，粒子处在经典拐点之外的概率不为零。

![b57809972a9f90c1e64639a92c2521d5.png][]

考虑一个一般的量子力学体系，现在我们求解体系的薛定谔方程与任意初始条件构成的初值问题

![b03cc64238cfece117d67a628c917967.png][]

其中，Hˆ 是体系的哈密顿量(假定 Hˆ 不显含时间)；f(⃗r) 表示初始 t = 0 时刻体系的波函数。在量子力学体系中，哈密顿量算符 Hˆ 的本征函数要满足归一化条件和有限性、连续性、单值性的标准条件，这导致哈密顿量算符 Hˆ 的本征值通常是一系列分立的值，而相应的本征函数是一系列分立的函数，即

![f2ccb6ce6da4757c1f7220bd95d3d231.png][]

上式所描述的本征态称为量子体系的束缚态(本征值的变化构成分立谱)。参考定态薛定鄂方程，本征解写为

![6da0b233d906c8f86bf7ccb2b5a9849d.png][]

它们是含时束缚态。薛定鄂方程是线性的，服从叠加原理。为了满足任意初始条件，我们将本征解按 n 的变化叠加起来构成一般解

![1636e7027659ef0877007547b438b20a.png][]

式中，展开系数 cn 是复常数。在 t = 0 时，式(2.77)给出初始波函数

![66a0ab13b73e1c0c31074db807b71f86.png][]

(2)下面我们计算展开系数 cn。用![40fd56b02237643c6d18bba163e98c50.png][]乘以(2.78)两端，并对 ⃗r 全空间积分，有

![838936e3fb6ec75a1d67fa8967642ff2.png][]

其中用到哈密顿量算符的本征函数的正交关系

![d67e58dfcc5cee5cc9844d8cac0ae7f2.png][]

即，展开系数为

![a8e45302215e86e589216751e5e4f718.png][]

它由哈密顿量算符的本征函数 ψn(r) 与初始波函数 f(r) 确定的。一旦求出 cn 就可以写出薛定谔方程的一般解(2.77)。可见，薛定谔方程初值问题的求解归结为哈密顿量算符的本征值问题。

(3)对于实际的问题，首先求解本征方程，得到本征值 En 和本征函数 ψn(r)。再利用![40fd56b02237643c6d18bba163e98c50.png][]和初始波函数 f(r) 求出展开系数 cn，最后将 cn、En 和 ψn(r) 代入一般解的表达式(2.77)。

(4)能量的平均值

![ecddabe36d027a7ed37c3f61f795a622.png][]

**2.4.2 散射态的一般解**

所谓散射态就是自由粒子的态。自由粒子在经典理论中意味着运动速度为常数的粒子，但是在量子力学中变得相当奇妙。量子力学的自由粒子由于不受束缚，可以出现在空间任意位置，因此不像束缚态粒子那样具有分立的能量。量子力学的自由粒子具有连续变化的动量值和连续变化的能量值。这种运动状态相对于“束缚态”而言，称为“散射态”。现在我们一般性地考虑一维自由粒子的初值问题

![4be3be8e1f70bcc1b3c502457d8c912a.png][]

其中 f(x) 是自由粒子的初始波函数。从薛定鄂方程建立过程可知，一维自由粒子薛定鄂方程的解是

![90ba9455b642e89e56382a0b1539d659.png][]

它具有确定的能量 E，式中

![3a26ca318b685291b8365f22b7267825.png][]

是定态波函数(具有确定的动量 p)，A 是归一化常数。而

![6994998bb38bcc701247773c484cfd71.png][]

是自由粒子的能量—动量关系式。式(2.100)是方程(2.98)的本征解。对于自由粒子的情况，不存在任何束缚条件对动量 p 和能量 E 加以限制，因此它们的变化是连续的。由 |Ψp(x, t)|2 = |A|2(常数)，表示自由粒子在空间所有位置(包括无穷远点)以相同的概率密度出现，这不满足归一化条件，以后将讨论。不影响求解初值问题。方程是线性的，服从叠加原理。为了使初始条件得以满足，我们必须将本征解解加起来构成一般解。由于本征值 p 是连续变化的(称为连续谱)，“叠加”实际上变成了积分，所以一维自由粒子薛定鄂方程的一般解为

![fe218169a79b9dbcb6e41b49d154d081.png][]

这个解相当于分立谱情况下的式，展开系数 c(p) 与积分变量 p 有关。上式所表示的状态是将本征解 Ψp(x, t) 按动量 p 的变化积分起来形成的自由粒子态，在量子力学中称为自由粒子波包，而|Ψ(x, t)|2 表示波包的“强度”。

名词解释：

**势阱**：

粒子在某力场中运动，势能函数曲线在空间的某一有限范围内势能最小，形如陷阱，称为势阱。就是电子的势能图像类似一个波的形状，那么当电子处于波谷，就好像处在一口井里，比较稳定，很难跑出来。所以称为势阱。不单单是量子力学里有这个势阱，任何形式的势只要具有这种样子，我们都可以称它有势阱，比如重力势阱。量子力学与经典物理的在这里有一个小小的差别，就是量子力学里，电子具有某些概率穿过势阱跑出来，称之为隧道效应。隧道电子显微镜就是利用这个原理。

[b57809972a9f90c1e64639a92c2521d5.png]: /images/20221119/db52953b748c40ea8474d05578748902.png
[b03cc64238cfece117d67a628c917967.png]: /images/20221119/e06d132efdb0483281b720675b625270.png
[f2ccb6ce6da4757c1f7220bd95d3d231.png]: /images/20221119/101d8f77fb114841bf61a3f96879f1f4.png
[6da0b233d906c8f86bf7ccb2b5a9849d.png]: /images/20221119/05c51541b6884564a53cf0817df9ba97.png
[1636e7027659ef0877007547b438b20a.png]: /images/20221119/bf0a8defca354d8aab31e5854911126f.png
[66a0ab13b73e1c0c31074db807b71f86.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/66a0ab13b73e1c0c31074db807b71f86.png
[40fd56b02237643c6d18bba163e98c50.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/40fd56b02237643c6d18bba163e98c50.png
[838936e3fb6ec75a1d67fa8967642ff2.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/838936e3fb6ec75a1d67fa8967642ff2.png
[d67e58dfcc5cee5cc9844d8cac0ae7f2.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/d67e58dfcc5cee5cc9844d8cac0ae7f2.png
[a8e45302215e86e589216751e5e4f718.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/a8e45302215e86e589216751e5e4f718.png
[ecddabe36d027a7ed37c3f61f795a622.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/ecddabe36d027a7ed37c3f61f795a622.png
[4be3be8e1f70bcc1b3c502457d8c912a.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/4be3be8e1f70bcc1b3c502457d8c912a.png
[90ba9455b642e89e56382a0b1539d659.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/90ba9455b642e89e56382a0b1539d659.png
[3a26ca318b685291b8365f22b7267825.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/3a26ca318b685291b8365f22b7267825.png
[6994998bb38bcc701247773c484cfd71.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/6994998bb38bcc701247773c484cfd71.png
[fe218169a79b9dbcb6e41b49d154d081.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/fe218169a79b9dbcb6e41b49d154d081.png