椭圆一般式方程面积求解

分手后的思念是犯贱 2022-06-09 13:49 229阅读 0赞

对于一般式的椭圆方程来说，例如![Center][]，来说是比较难以配凑的，最主要的是找到a跟b。

![Center 1][]

在这里介绍两种方法，

（1）条件极值法

（2）线性代数法

**第一种方法：条件极值法**

椭圆上的点到椭圆的距离是：

![Center 2][]

只需要构建在椭圆方程条件下的d的极值，求出min与max，就是ab的长度。

![Center 3][]

![Center 4][]

这样求出距离的最大值与最小值，即可求解方程面积。

**第一种方法：线性代数法**

本思路利用了二次型标准型的思想，将原方程转化为二次型的模式，求出两个特征值，这个两个特征值乘积就是ab的乘积。

以上一题为例：

本题的系数矩阵是：设A=![Center 5][]

求出其特征值，设![Center 6][]

求解最后特征值方程为：![Center 7][]

下面来求解面积方程：![Center 8][]

[Center]: /images/20220609/56454f9f6b1545a5a65beff078642a19.png
[Center 1]: /images/20220609/2195c7746bf6494e85bf4866afa52de4.png
[Center 2]: /images/20220609/b52cce1e6a8e4845b989eed991361b9a.png
[Center 3]: /images/20220609/397640851e4d419882208c68451dca08.png
[Center 4]: /images/20220609/e4c3f5a46596414b9dbfa7677d130659.png
[Center 5]: /images/20220609/81ca49e2241446f2b2aecfbde0070221.png
[Center 6]: /images/20220609/0277ff4e35dd48f5ac368ec1ef6ad794.png
[Center 7]: /images/20220609/5e3f7116cfa34855b5d35eaf03296999.png
[Center 8]: /images/20220609/5e1fa75daf2c452a99470eef11d5b214.png

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