MIT 线性代数导论第三讲：矩阵乘法与逆矩阵

╰半夏微凉° 2022-05-09 05:16 418阅读 0赞

为了以后自己看的明白(●’◡’●)，我决定对复杂的计算过程不再用Latex插入数学公式了（记得不熟的实在是太费劲了，还是手写好~）

第三讲的主要内容有两个：

*  四种矩阵乘法的方式
 *  逆矩阵的概念以及计算方式

### 矩阵乘法（Matrix multiplication） ###

矩阵相乘例子：  
 ( A ( m , n ) ) ( B ( n , p ) ) = ( C ( m , p ) ) \\begin\{pmatrix\} A\\\\ (m,n) \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} B\\\\ (n,p) \\end\{pmatrix\} = \\begin\{pmatrix\} C\\\\ (m,p) \\end\{pmatrix\} (A(m,n))(B(n,p))=(C(m,p))

#### 1、具体到元素的乘法方式 ####

结果矩阵  C C C 的某一个元素  C i j C\_\{ij\} Cij 是由  A A A 矩阵的第  i i i 行元素与  B B B 矩阵的第  j j j 列相乘得到的，使用公式表示如下  
 C i j = ∑ k = 1 n A i , k B k , j C\_\{ij\}=\\sum\_\{k=1\}^\{n\}A\_\{i,k\}B\_\{k,j\} Cij=k=1∑nAi,kBk,j

这是我们理解矩阵乘法一般的思想，但是在线性代数中，更好的方式是**整体**，也就是之前所提到的用向量乘的方式理解矩阵相乘，所以就有了接下来的方式

#### 2.行方法 ####

之前我们提到过行向量乘矩阵，可以理解为矩阵中行向量的线性组合，其实矩阵乘法也是如此，将左侧矩阵  A A A 看作是多个行向量， 那么矩阵乘法就可以看作是多个行向量乘矩阵  B B B ，将结果行向量（行向量乘以矩阵结果仍仍然是行向量）拼在一起就是结果矩阵  C C C。  
简单来说就是**把  B B B 中的行向量作为基准，用  A A A 中的行向量对其进行线性组合**  
例如：  
![70][]  
其实就是将矩阵  A A A ，也就是将左侧矩阵的每一个行向量去乘右侧的矩阵，那么每一个  A A A 的行向量乘矩阵  B B B 的结果作为结果矩阵的一个行向量，最后所有的向量乘矩阵计算完成之后就组成结果矩阵了。

#### 3.列方法 ####

同理，如果我们用左侧矩阵  A A A 乘右侧矩阵  B B B 的每一个列向量，其结果就是结果矩阵  C C C 中的对应位置的列向量：  
![70 1][]

#### 4.行列向量相乘 ####

结合上面的两种方式，我们可以考虑对于结果矩阵  C C C 中的位置为  ( i , j ) (i,j) (i,j) 的元素是如何得到的，在第一种方式我们知道是矩阵  A A A 的第  i i i 行的每一个元素乘以矩阵  B B B 的第  j j j 列的每一个元素的和，其实从整体行列响亮的角度来看，其实就是  A A A 第  i i i 个行向量乘以  B B B 的第  j j j 个列向量（行向量乘以列向量结果是一个元素）

#### 矩阵分块乘法 ####

简单的提了一下分块乘法：  
 ( A 1 A 2 A 3 A 4 ) ( B 1 B 2 B 3 B 4 ) = ( A 1 B 1 + A 2 B 3 A 1 B 2 + A 2 B 4 A 3 B 1 + A 4 B 3 A 3 B 2 + A 4 B 4 ) \\begin\{pmatrix\} A\_\{1\} &A\_\{2\} \\\\ A\_\{3\} &A\_\{4\} \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} B\_\{1\} &B\_\{2\} \\\\ B\_\{3\} &B\_\{4\} \\end\{pmatrix\} = \\begin\{pmatrix\} A\_\{1\}B\_\{1\}+A\_\{2\}B\_\{3\} &A\_\{1\}B\_\{2\}+A\_\{2\}B\_\{4\} \\\\ A\_\{3\}B\_\{1\}+A\_\{4\}B\_\{3\} &A\_\{3\}B\_\{2\}+A\_\{4\}B\_\{4\} \\end\{pmatrix\} (A1A3A2A4)(B1B3B2B4)=(A1B1\+A2B3A3B1\+A4B3A1B2\+A2B4A3B2\+A4B4)  
其中  A A A ， B B B 均代表矩阵

### 逆矩阵（Inverse matrix） ###

矩阵的逆（称为逆矩阵），也就是求解下式：  
 A − 1 A = I A^\{-1\}A=I A−1A=I  
 I I I 是单位矩阵（identity matrix），首先明确一点，上式是左乘了一个矩阵使之称为单位阵，那么右乘一个矩阵使得结果矩阵成为单位阵那又如何呢？直接给出结果：  
 A − 1 A = A A − 1 = I A^\{-1\}A=AA^\{-1\}=I A−1A=AA−1=I  
也就是说矩阵的**逆唯一**，当然这里有前提：**这是对方阵而言**，如果只是普通的矩阵，那显然左逆与右逆 的维数不一样，也就不会相等了。  
接下来考虑的问题是对于一个方阵，是否一定存在逆矩阵？  
举一个例子：  
 ( 1 3 2 6 ) X = I \\begin\{pmatrix\} 1 & 3\\\\ 2 & 6 \\end\{pmatrix\}X=I (1236)X=I  
是否存在逆矩阵？结果是找不到的，可以这样理解：  
首先我们可以发现这个矩阵的列向量是存在倍数关系的，第二列是第一列的2倍。  
如果我们用上面列方法来考虑，也就是说矩阵  I I I 的列向量都是左侧矩阵的列向量的线性组合，也就是说，矩阵  I I I 的某一列是  k ( 1 2 ) + p ( 3 6 ) k\\begin\{pmatrix\} 1 \\\\ 2 \\end\{pmatrix\} +p\\begin\{pmatrix\} 3 \\\\ 6 \\end\{pmatrix\} k(12)\+p(36) 这样的结果可以合并为  m ( 1 2 ) m\\begin\{pmatrix\} 1 \\\\ 2 \\end\{pmatrix\} m(12) 显然这个结果肯定不会是单位阵中的某一列（因为特点是一列中只有一个1，其余的元素都是0）

接下来讨论如何求解一个方阵的逆：  
一般的方法，就是假设出  A − 1 A^\{-1\} A−1 中的元素，然后就是一个解线性方程组的过程了，更好的方式是将矩阵放在一起考虑，这个方法叫做**高斯-若尔当方法（Guass-Jordan）**，方法如下：  
求解 方阵  A A A 的逆  
首先构造这样的矩阵：  
 ( A , I ) (A,I) (A,I)  
就像增广矩阵一样，在右侧添加一个单位阵，接下来，如果我们对整个矩阵进行一系列行变换使得矩阵中  A A A 变为单位阵：  
 ( I , ? ) (I,?) (I,?)  
那么此时原来的单位阵变成了什么？首先用消元法的思想表示上面的过程：  
 E ( A , I ) = ( E A , E I ) ， E A = I E(A,I)=(EA, EI)，EA=I E(A,I)=(EA,EI)，EA=I  
这里将E乘到里面是为了更方便理解（可以想一下，左乘矩阵  E E E ，是对整个矩阵进行行变换，所以列都是同步变化的）  
因为  E A = I EA=I EA=I成立，逆是唯一的，所以  E I EI EI 就应该是  A A A 的逆矩阵了。  
同时对两个矩阵进行行变换求逆矩阵，就是高斯-若尔当方法的思想  
例子：  
 ( 1 3 ⋮ 1 0 2 7 ⋮ 0 1 ) ⇒ ( 1 3 ⋮ 1 0 0 1 ⋮ − 2 1 ) ⇒ ( 1 0 ⋮ 7 − 3 0 1 ⋮ − 2 1 ) ⇔ ( I A − 1 ) \\begin\{pmatrix\} 1 &3 & \\vdots &1 &0 \\\\ 2& 7 & \\vdots &0 &1 \\end\{pmatrix\}\\Rightarrow \\begin\{pmatrix\} 1 &3 & \\vdots &1 &0 \\\\ 0& 1 & \\vdots &-2 &1 \\end\{pmatrix\} \\Rightarrow \\begin\{pmatrix\} 1 &0 & \\vdots &7 &-3 \\\\ 0& 1 & \\vdots &-2 &1 \\end\{pmatrix\}\\Leftrightarrow \\begin\{pmatrix\} I & A^\{-1\} \\end\{pmatrix\} ⎝⎛1237⋮⋮1001⎠⎞⇒⎝⎛1031⋮⋮1−201⎠⎞⇒⎝⎛1001⋮⋮7−2−31⎠⎞⇔(IA−1)  
以上~

[70]: /images/20220509/2056169108f54d8a9d5d3f5c443d5572.png
[70 1]: /images/20220509/fa9c0ae9f4cf45da85ef965868448a7b.png