线性代数 |矩阵【运算、逆、转置】

╰+哭是因爲堅強的太久メ 2023-01-20 09:33 208阅读 0赞

### 文章目录 ###

*   *  矩阵
     *   *  矩阵介绍
         *   *  矩阵相等
             *  数与矩阵相乘
             *  矩阵的运算规律
             *  矩阵的加法
             *  矩阵与矩阵相乘
         *  矩阵的转置
         *   *  对称矩阵
             *  反对称矩阵
             *  运算规则
             *  注意
         *  矩阵的逆
         *   *  逆矩阵的几种求法
             *  性质以及定理
             *  end

## 矩阵 ##

### 矩阵介绍 ###

> 一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号`[]`内排列成m行n列(横的称行，纵的称列)的一个数表，并称它为`m*n`矩阵。

#### 矩阵相等 ####

> 当俩个矩阵为`同型矩阵`时，且`对应元素相等`时。

#### 数与矩阵相乘 ####

**定义**：

> 数n与矩阵A相乘，则记作`nA`或者`An`；

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70]

> 例如：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
**注意**：

> 显然，对于0和1及任意矩阵A，有：`0A=0`、`1A=A`

#### 矩阵的运算规律 ####

> 设A为矩阵，x，y为数值
> 
>  *  `(xy)A = y(xA)`；
>  *  `(x+y)A = xA+yA`；

#### 矩阵的加法 ####

> **条件**：只有`同维`的矩阵才能进行相加。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
**满足的运算规律**

>  *  `A+B = B+A`；
>  *  `(A+B)+C = A+(B+C)`；
>  *  `x(A+B) = xA+xB`:

#### 矩阵与矩阵相乘 ####

> 公式：  
> ![在这里插入图片描述][20210512081359100.png]

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

> 运算过程：A的每一`行`分别于B中`列的每一个元素`相乘，并且A的每一`行`要和B中的每一`列`相乘。每一行乘每一列即可得出一个值。
> 
>  *  新的矩阵的行数为`A的行数`，列数为`B的列数`。
>  *  当第一个矩阵的`列数`等于第二个矩阵的`行数`时，俩个矩阵才能相乘。
>  *  BA与AB一般是不相同的，若相等则是可交换矩阵。且(A^k B^k) != (AB)^k。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
**运算规律**

>  *  `(AB)C = A(BC)`；
>  *  `A(B+C) = AB+AC`；
>  *  `x(AB) = A(xB)`；
>  *  `(A+B)^2` 当A、B可交换时才有 `A^2+2AB+B^2`；

### 矩阵的转置 ###

> 把矩阵A的`行`换成`同序数的列`得到的新矩阵。`A^T`

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]

#### 对称矩阵 ####

> 设A为n阶方阵，若满足`A^T = A`。  
> 对称阵的元素以`主对角线`为对称轴。

> 例如：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]

#### 反对称矩阵 ####

> 设A为n阶方阵，若满足`A^T =- A`。  
> 反对称的主对角元都是`0`.

> 例如

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]

#### 运算规则 ####

>  *  (AT)T = A；
>  *  (A+B)T = AT \+ BT；
>  *  (xA)T = xAT；
>  *  (AB)T = BTAT；

#### 注意 ####

>  *  A+AT 是对称矩阵，A-AT 是反对称矩阵；
>  *  A可表示为对称矩阵与反对称矩阵之和 ；
>  *  对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]

### 矩阵的逆 ###

> 在数的运算中，当(a != 0)有：a*a\-1 = 1，则a\-1为a的倒数(逆).  
> 在矩阵运算中，单位矩阵为1。若存在一个矩阵A\-1使得A*A\-1 = E，则A\-1为A逆矩阵  
> **条件**：`矩阵非奇异`=`矩阵对应的行列式不为0`=`满秩`=`行列向量线性无关`

#### 逆矩阵的几种求法 ####

**待定系数法**

> 待定系数法顾名思义是一种求`未知数`的方法。将一个多项式表示成另一种含有`待定系数`的新的形式，这样就得到一个恒等式。  
> 然后根据恒等式的性质得出`系数`应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可`求出待定的系数`，或找出某些系数所满足的关系式，

**伴随矩阵法**

> `代数余子式`求逆矩阵：如果矩阵A可逆，则

![在这里插入图片描述][20210512092255908.png]

> （|A|≠0，|A|为该矩阵对应的行列式的值）

**初等变换法**

> 方法是一般从左到右，一列一列处理先把第一个比较简单的(或小)的非零数交换到左上角(其实最后变换也行)，用这个数把第一列其余的数消成零处理完第一列后，第一行与第一列就不用管，再用同样的方法处理第二列(不含第一行的数)

#### 性质以及定理 ####

>  *  可逆矩阵一定是`方阵`。
>  *  如果矩阵A是可逆的，其`逆矩阵是唯一`的。
>  *  A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作`（A-1）-1=A`。
>  *  可逆矩阵A的转置矩阵`A^T^也可逆`，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）
>  *  若矩阵A可逆，则矩阵A`满足消去律`。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。
>  *  两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
>  *  矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

#### end ####

> 线性代数是上半学期学的，但由于课上不认真听，导致很多内容都不熟悉，期末只是简单过一遍。现在学机器学习就得重新在翻书复习，顺便通过博客，将复习的内容记录下来。所以，有考虑算法这些方向的同学们，在课上一定要把基础打好，在以后进一步学习过程中可以节省很多时间。

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