傅里叶级数FS, 离散傅里叶变换DFT

蔚落 2022-04-24 03:32 417阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  FS
 *   *  FS理论
     *  奇谐对称偶函数的傅里叶级数FS
     *  奇谐对称奇函数的傅里叶级数FS
     *  非奇谐非偶谐的偶函数的傅里叶级数FS
     *  傅里叶有限级数（以奇谐对称偶函数的方波为例）
 *  DFT
 *   *  MATLAB程序

# FS #

## FS理论 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0hlYXJ0X1NlYQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0hlYXJ0X1NlYQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0hlYXJ0X1NlYQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

## 奇谐对称偶函数的傅里叶级数FS ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0hlYXJ0X1NlYQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

## 奇谐对称奇函数的傅里叶级数FS ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0hlYXJ0X1NlYQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

## 非奇谐非偶谐的偶函数的傅里叶级数FS ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0hlYXJ0X1NlYQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]  
结论：

1.  偶函数的FS没有sin项，只可能含有直流项和cos项；
2.  奇函数的FS没有cos项，只可能含有直流项和sin项；
3.  奇谐对称函数（f(t) = - f(t±T/2)）和偶谐对称函数（f(t) = f(t±T/2)）不存在直流分量；
4.  奇谐对称函数的FS是奇数谐波分量的叠加；
5.  偶谐对称函数的FS是偶数谐波分量的叠加；

## 傅里叶有限级数（以奇谐对称偶函数的方波为例） ##

% 功能：以奇谐对称偶函数方波函数为例，计算傅里叶有限级数
    % y= 4*A/pi.*(cos(w.*t)-cos(3*w.*t)./3+cos(5*w.*t)./5-cos(7*w.*t)./7+...)
    
    % 编辑者：lily
    % 日期：2019,4,30
    clear;
    clc;
    close all;
     % ======================= preferences set ========================== 
    A = 1;%矩形波的幅度（最大值）
    f = 20;
    w = 2*pi*f;
    Fs = 2^10;
    T = 1/30;
    t = -T:1/Fs:T;
    n_start = 1; % 第一个谐波
    n_end = 100;   %  第n_end个谐波
    y = zeros(n_end,length(t));
    x = zeros(size(t));
    m = 1;
    for n = n_start:n_end  %第n_start个到第n_end个的有限级数
        x = x + (-1).^(n+1)./(2*n-1).*cos((2*n-1)*w*t);
        y(n,:) = 4*A/pi*x;
        plot(t,y);
        grid on;
        note(:,m) = {
        ['第' num2str(n) '个谐波']};
        m = m+1;
        legend(note)
    end
     % ========= 三维曲面图，该曲面图表示正弦波到方波的逐变过程===========   
    figure;
    surf(y);
    shading interp
    axis off ij

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0hlYXJ0X1NlYQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]

# DFT #

## MATLAB程序 ##

% 功能：DFT
    
    % 编辑者：lily
    % 日期：2019,4,14
    
    clear;
    clc;
    close all;
    % ======================= input signal ==========================
    % 功能：DFT
    
    % 编辑者：lily
    % 日期：2019,4,14
    
    clear;
    clc;
    close all;
    % ======================= input signal ==========================
    f1=300;
    f2=400;
    fai1=pi/3;fai2=pi/4;
    dFs=2^10;
    T=1.7;%
    t=0:1/dFs:T;
    N=length(t);
    x=3*cos(2*pi*f1*t+fai1)+2*sin(2*pi*f2*t+fai2)+5*randn(1,N);%两个谐波加上一个幅值为10高斯白噪声
    % ======================= DFT===================================
    vecN=0:1:N-1;
    vecK=vecN';
    tic;
    matixexp=exp(-(2*pi/N)*1i*vecK*vecN);
    xk=(matixexp*x')/N;%归一化
    toc;%tic和toc表示中间两步计算的时间
    deltaF=1/T;
    vecf=(0:N-1)*deltaF;%使频率与幅值一一对应
    % ======================= figure=================================
    subplot(3,1,1);plot(t,x);title('信号')
    subplot(3,1,2);plot(vecf,2*abs(xk));title('离散傅里叶变换')%观察到abs(xk)是x幅值的一半,乘2才是真正的幅值。
    subplot(3,1,3);plot(vecf,angle(xk));title('相位图')%显示相位；

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0hlYXJ0X1NlYQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0hlYXJ0X1NlYQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20220220/03b36f9b6b434888b957a6ed8fa5567a.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0hlYXJ0X1NlYQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20220220/d0e09b87f4e940778e3874aa3cb27990.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0hlYXJ0X1NlYQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: /images/20220220/3e36fe7b9ade4fe1af736b7a694934d5.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0hlYXJ0X1NlYQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: /images/20220220/d64bd6e1bd7c4eae9d201e8ac207cab3.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0hlYXJ0X1NlYQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]: /images/20220220/c7563d97bfaf41759071bb9ba0b4f325.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0hlYXJ0X1NlYQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]: /images/20220220/8e19fa2f5a9a49d8b916271c272f7303.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0hlYXJ0X1NlYQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]: /images/20220220/2bb19c28dea54dd4901150d896456cf8.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0hlYXJ0X1NlYQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]: /images/20220220/deba74a3e1564c6cb7d7d47aa8b9823a.png