考研公式大全-提问版-数学二

逃离我推掉我的手 2022-12-12 15:29 1799阅读 0赞

# 完整版 #

[https://blog.csdn.net/zhaohongfei\_358/article/details/106039576][https_blog.csdn.net_zhaohongfei_358_article_details_106039576]

# 基础回顾 #

## 面（体）积公式 ##

球 表 面 积 公 式 ： S = 球 体 积 公 式 ： V = 圆 锥 体 积 公 式 ： V = 椭 圆 面 积 公 式 ： S = 扇 形 面 积 公 式 ： S =       （ 其 中 l 为 弧 长 ， r 为 半 径 ， θ 为 夹 角 ( 用 π 表 示 ) ） \\begin\{aligned\} & \\\\ & 球表面积公式：S= \\\\ \\\\ & 球体积公式：V = \\\\ \\\\ & 圆锥体积公式：V= \\\\\\\\ & 椭圆面积公式： S= \\\\ \\\\ & 扇形面积公式： S= ~~~~~（其中l为弧长，r为半径，\\theta为夹角(用\\pi表示)） \\end\{aligned\} 球表面积公式：S=球体积公式：V=圆锥体积公式：V=椭圆面积公式：S=扇形面积公式：S=     （其中l为弧长，r为半径，θ为夹角(用π表示)）

## 一元二次方程基础 ##

一 元 二 次 方 程 ： 根 的 公 式 ：      韦 达 定 理 ： x 1 + x 2 =         x 1 x 2 = 判 别 式 ： Δ = b 2 − 4 a c    ⟹    \{ Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 抛 物 线   y = a x 2 + b x + c 的 顶 点 ： ( ) \\begin\{aligned\} & \\\\ & 一元二次方程： \\\\ \\\\ & 根的公式： ~~~~ \\\\ \\\\ & 韦达定理： x\_1 + x\_2 = ~~~~~~~ x\_1 x\_2 = \\\\ \\\\ & 判别式： \\Delta=b^2 - 4ac \\implies \\begin\{cases\} \\Delta >0 \\\\ \\Delta =0 \\\\ \\Delta <0 \\\\ \\end\{cases\} \\\\\\\\ & 抛物线~ y=ax^2 + bx + c 的顶点：() \\end\{aligned\} 一元二次方程：根的公式：    韦达定理：x1\+x2=       x1x2=判别式：Δ=b2−4ac⟹⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0Δ=0Δ<0抛物线 y=ax2\+bx\+c的顶点：()

## 极坐标方程与直角坐标转换 ##

直 角 坐 标 化 极 坐 标 \{ x = y =    ⟹    x 2 + y 2 = 极 坐 标 化 直 角 坐 标 ： ρ 2 = x 2 + y 2    ⟹    tan ⁡ θ = \\begin\{aligned\} &直角坐标化极坐标 \\begin\{cases\} x = \\\\ y = \\end\{cases\} \\implies x^2+y^2= \\\\\\\\ &极坐标化直角坐标 ：\\rho ^2 = x^2+y^2 \\implies \\tan \\theta = \\\\\\\\ \\end\{aligned\} 直角坐标化极坐标\{ x=y=⟹x2\+y2=极坐标化直角坐标：ρ2=x2\+y2⟹tanθ=

## 切线与法线方程 ##

切 线 方 程 ： 法 线 方 程 ： \\begin\{aligned\} & 切线方程： \\\\ \\\\ & 法线方程： \\end\{aligned\} 切线方程：法线方程：

## 因式分解公式 ##

( a + b ) 2 = ( a − b ) 2 = ( a + b ) 3 = ( a − b ) 3 = ( a + b ) ( a − b ) = a 3 + b 3 = a 3 − b 3 = a n − b n = ( a + b ) n = \\begin\{aligned\} & \\\\ & (a+b)^2 = \\\\ \\\\ & (a-b)^2 = \\\\ \\\\ & (a+b)^3 = \\\\ \\\\ & (a-b)^3 = \\\\ \\\\ & (a+b)(a-b) = \\\\ \\\\ & a^3 + b^3 = \\\\ \\\\ & a^3-b^3 = \\\\ \\\\ & a^n-b^n = \\\\ \\\\ & (a+b)^n = \\end\{aligned\} (a\+b)2=(a−b)2=(a\+b)3=(a−b)3=(a\+b)(a−b)=a3\+b3=a3−b3=an−bn=(a\+b)n=

## 阶乘与双阶乘 ##

n ! =       ( 规 定 0 ! = ？ ) ( 2 n ) ! ! = ( 2 n − 1 ) ! ! = \\begin\{aligned\} & n! = ~~~~~(规定0!=？) \\\\ \\\\ & (2n)!! = \\\\ \\\\ & (2n-1)!! = \\end\{aligned\} n!=     (规定0!=？)(2n)!!=(2n−1)!!=

## 函数的奇偶性 ##

定 义 在 \[ − a , a \] 上 的 任 一 函 数 ， 可 以 表 示 为 一 个 奇 函 数 与 一 个 偶 函 数 之 和 ： f ( x ) = \\begin\{aligned\} & 定义在\[-a,a\]上的任一函数，可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和： \\\\ \\\\ & f(x) = \\end\{aligned\} 定义在\[−a,a\]上的任一函数，可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和：f(x)=

## 排列组合 ##

A n m = C n m = \\begin\{aligned\} A\_n^m & = \\\\\\\\ C\_n^m & = \\end\{aligned\} AnmCnm==

## 等差数列 ##

a n = S n = S n = \\begin\{aligned\} & a\_n = \\\\ \\\\ & S\_n = \\\\ \\\\ & S\_n = \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} an=Sn=Sn=

## 等比数列 ##

a n = S n = \\begin\{aligned\} & a\_n = \\\\ \\\\ & S\_n = \\end\{aligned\} an=Sn=

## 常用数列前n项和 ##

∑ k = 1 n k = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = ∑ k = 1 n ( 2 k − 1 ) = 1 + 3 + 5 + ⋯ + ( 2 n − 1 ) = ∑ k = 1 n k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + n 2 = ∑ k = 1 n k 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + n 3 = ∑ k = 1 n k ( k + 1 ) = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ⋯ + n ( n + 1 ) = ∑ k = 1 n 1 k ( k + 1 ) = 1 1 × 2 + 1 2 × 3 + 1 3 × 4 + ⋯ + 1 n ( n + 1 ) = \\begin\{aligned\} & \\\\ & \\sum\_\{k=1\}^n k = 1 + 2+3+\\cdots + n= \\\\ \\\\ & \\sum\_\{k=1\}^n (2k-1) = 1+ 3 + 5 + \\cdots + (2n-1) = \\\\ \\\\ & \\sum\_\{k=1\}^n k^2 = 1^2+2^2+3^2+\\cdots +n^2 = \\\\ \\\\ & \\sum\_\{k=1\}^n k^3 = 1^3 + 2^3 +3^3 +\\cdots + n^3 = \\\\ \\\\ & \\sum\_\{k=1\}^n k(k+1) = 1 \\times 2 + 2 \\times 3 + 3 \\times 4 + \\cdots + n(n+1) = \\\\\\\\ & \\sum\_\{k=1\}^n \\frac\{1\}\{k(k+1)\} = \\frac\{1\}\{1 \\times 2\} + \\frac\{1\}\{2 \\times 3\} + \\frac\{1\}\{3 \\times 4\} + \\cdots + \\frac\{1\}\{n(n+1)\} = \\end\{aligned\} k=1∑nk=1\+2\+3\+⋯\+n=k=1∑n(2k−1)=1\+3\+5\+⋯\+(2n−1)=k=1∑nk2=12\+22\+32\+⋯\+n2=k=1∑nk3=13\+23\+33\+⋯\+n3=k=1∑nk(k\+1)=1×2\+2×3\+3×4\+⋯\+n(n\+1)=k=1∑nk(k\+1)1=1×21\+2×31\+3×41\+⋯\+n(n\+1)1=

## 不等式 ##

? ≤ a 2 + b 2 ? ≤ ∣ a ∣ + ∣ b ∣ ? ≤ ∣ a − b ∣ ? ≤ ∣ a 1 ∣ + ∣ a 2 ∣ + ⋅ ⋅ ⋅ + ∣ a n ∣ ? ≤ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x       ( a < b ) a b     ?     a + b 2     ?     a 2 + b 2 2       ( a , b > 0 ) a b c 3     ?     a + b + c 3     ?     a 2 + b 2 + c 2 3       ( a , b , c > 0 )     ?     a 1 + a 2 + . . . + a n n     ?         ?     x p p + x q q ( a c + b d ) 2     ?     ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ) 2     ?     ( a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 ) \[ ∫ a b f ( x ) ⋅ g ( x ) d x \] 2 ≤ sin ⁡ x     ?     x     ?     tan ⁡ x       ( 0 < x < π 2 ) arctan ⁡ x     ?     x     ?     arcsin ⁡ x       ( 0 ≤ x ≤ 1 ) x + 1     ?     e x ln ⁡ x     ?     x − 1 ? < ln ⁡ ( 1 + 1 x ) < ?       ( x > 0 ) \\begin\{aligned\} & \\\\ & ? \\le a ^ 2 + b^2 \\\\ \\\\ & ? \\le |a| + |b| \\\\ \\\\ & ? \\le |a-b| \\\\ \\\\ & ? \\le |a\_1| + |a\_2| + \\cdot\\cdot\\cdot + |a\_n| \\\\ \\\\ & ? \\le \\int\_a^b |f(x)| dx ~~~~~(a<b) \\\\ \\\\ & \\sqrt\{ab\} ~~~?~~~ \\frac\{a+b\}\{2\} ~~~?~~~ \\sqrt\{\\frac\{a^2+b^2\}\{2\}\} ~~~~~(a,b>0) \\\\ \\\\ & \\sqrt\[3\]\{abc\} ~~~?~~~ \\frac\{a+b+c\}\{3\} ~~~?~~~ \\sqrt\{\\frac\{a^2+b^2+c^2\}\{3\}\} ~~~~~(a,b,c>0) \\\\ \\\\ & ~~~?~~~ \\frac\{a\_1+a\_2+...+a\_n\}\{n\} ~~~?~~~\\\\ \\\\ & ~~~?~~~ \\frac\{x^p\}\{p\} + \\frac\{x^q\}\{q\} \\\\ \\\\ & (ac+bd)^2 ~~~?~~~ (a^2+b^2)(c^2+d^2) \\\\ \\\\ & (a\_1 b\_1 + a\_2 b\_2 + a\_3 b\_3)^2 ~~~?~~~ (\{a\_1\}^2 + \{a\_2\}^2 + \{a\_3\}^2)(\{b\_1\}^2 + \{b\_2\}^2 + \{b\_3\}^2) \\\\ \\\\ & \[\\int\_a^b f(x)\\cdot g(x) dx\]^2 \\le \\\\ \\\\ & \\sin x ~~~?~~~x ~~~?~~~ \\tan x ~~~~~(0<x<\\frac\{\\pi\}\{2\}) \\\\ \\\\ & \\arctan x ~~~?~~~ x ~~~?~~~ \\arcsin x ~~~~~(0\\le x \\le 1) \\\\ \\\\ & x+1 ~~~?~~~ e^x \\\\ \\\\ & \\ln x ~~~?~~~ x-1 \\\\ \\\\ & ? < \\ln (1+\\frac\{1\}\{x\}) < ? ~~~~~(x>0) \\end\{aligned\} ?≤a2\+b2?≤∣a∣\+∣b∣?≤∣a−b∣?≤∣a1∣\+∣a2∣\+⋅⋅⋅\+∣an∣?≤∫ab∣f(x)∣dx     (a<b)ab   ?   2a\+b   ?   2a2\+b2     (a,b>0)3abc   ?   3a\+b\+c   ?   3a2\+b2\+c2     (a,b,c>0)   ?   na1\+a2\+...\+an   ?      ?   pxp\+qxq(ac\+bd)2   ?   (a2\+b2)(c2\+d2)(a1b1\+a2b2\+a3b3)2   ?   (a12\+a22\+a32)(b12\+b22\+b32)\[∫abf(x)⋅g(x)dx\]2≤sinx   ?   x   ?   tanx     (0<x<2π)arctanx   ?   x   ?   arcsinx     (0≤x≤1)x\+1   ?   exlnx   ?   x−1?<ln(1\+x1)<?     (x>0)

## 三角函数公式 ##

### 诱导公式 ###

sin ⁡ ( − α ) = cos ⁡ ( − α ) = sin ⁡ ( π 2 − α ) = cos ⁡ ( π 2 − α ) = sin ⁡ ( π 2 + α ) = cos ⁡ ( π 2 + α ) = sin ⁡ ( π − α ) = cos ⁡ ( π − α ) = sin ⁡ ( π + α ) = cos ⁡ ( π + α ) = \\begin\{aligned\} & \\sin (-\\alpha) = \\\\ \\\\ & \\cos (-\\alpha) = \\\\ \\\\ & \\sin (\\frac\{\\pi\}\{2\} - \\alpha) = \\\\ \\\\ & \\cos (\\frac\{\\pi\}\{2\} - \\alpha) = \\\\ \\\\ & \\sin (\\frac\{\\pi\}\{2\} + \\alpha) = \\\\ \\\\ & \\cos (\\frac\{\\pi\}\{2\} + \\alpha) = \\\\ \\\\ & \\sin (\\pi - \\alpha) = \\\\ \\\\ & \\cos (\\pi - \\alpha) = \\\\ \\\\ & \\sin (\\pi + \\alpha) = \\\\ \\\\ & \\cos (\\pi + \\alpha) = \\\\ \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} sin(−α)=cos(−α)=sin(2π−α)=cos(2π−α)=sin(2π\+α)=cos(2π\+α)=sin(π−α)=cos(π−α)=sin(π\+α)=cos(π\+α)=

### 平方关系 ###

1 + tan ⁡ 2 α = 1 + cot ⁡ 2 α = sin ⁡ 2 α + cos ⁡ 2 α = \\begin\{aligned\} & \\\\ & 1 + \\tan ^2 \\alpha = \\\\ \\\\ & 1 + \\cot^2 \\alpha = \\\\ \\\\ & \\sin^2 \\alpha + \\cos ^2 \\alpha = \\end\{aligned\} 1\+tan2α=1\+cot2α=sin2α\+cos2α=

### 两角和与差的三角函数 ###

sin ⁡ ( α + β ) = cos ⁡ ( α + β ) = sin ⁡ ( α − β ) = cos ⁡ ( α − β ) = tan ⁡ ( α + β ) = tan ⁡ ( α − β ) = \\begin\{aligned\} & \\sin (\\alpha + \\beta) = \\\\ \\\\ & \\cos (\\alpha + \\beta) = \\\\ \\\\ & \\sin (\\alpha - \\beta) = \\\\ \\\\ & \\cos (\\alpha - \\beta) = \\\\ \\\\ & \\tan (\\alpha + \\beta) = \\\\ \\\\ & \\tan (\\alpha - \\beta) = \\end\{aligned\} sin(α\+β)=cos(α\+β)=sin(α−β)=cos(α−β)=tan(α\+β)=tan(α−β)=

### 积化和差公式 ###

cos ⁡ α cos ⁡ β = cos ⁡ α sin ⁡ β = sin ⁡ α cos ⁡ β = sin ⁡ α sin ⁡ β = \\begin\{aligned\} & \\cos \\alpha \\cos \\beta = \\\\ \\\\ & \\cos \\alpha \\sin \\beta = \\\\ \\\\ & \\sin \\alpha \\cos \\beta = \\\\ \\\\ & \\sin \\alpha \\sin \\beta = \\end\{aligned\} cosαcosβ=cosαsinβ=sinαcosβ=sinαsinβ=

### 和差化积公式 ###

sin ⁡ α + sin ⁡ β = sin ⁡ α − sin ⁡ β = cos ⁡ α + cos ⁡ β = cos ⁡ α − cos ⁡ β = \\begin\{aligned\} & \\sin \\alpha + \\sin \\beta = \\\\ \\\\ & \\sin \\alpha - \\sin \\beta = \\\\ \\\\ & \\cos \\alpha + \\cos \\beta = \\\\ \\\\ & \\cos \\alpha - \\cos \\beta = \\end\{aligned\} sinα\+sinβ=sinα−sinβ=cosα\+cosβ=cosα−cosβ=

### 倍角公式 ###

sin ⁡ 2 α = cos ⁡ 2 α = sin ⁡ 3 α = cos ⁡ 3 α = sin ⁡ 2 α = cos ⁡ 2 α = tan ⁡ 2 α = cot ⁡ 2 α = \\begin\{aligned\} & \\sin 2\\alpha = \\\\ \\\\ & \\cos 2\\alpha = \\\\ \\\\ & \\sin 3\\alpha = \\\\ \\\\ & \\cos 3 \\alpha = \\\\ \\\\ & \\sin^2 \\alpha = \\\\ \\\\ & \\cos^2 \\alpha = \\\\ \\\\ & \\tan 2\\alpha = \\\\ \\\\ & \\cot 2\\alpha = \\end\{aligned\} sin2α=cos2α=sin3α=cos3α=sin2α=cos2α=tan2α=cot2α=

### 半角公式 ###

sin ⁡ 2 α 2 = cos ⁡ 2 α 2 = sin ⁡ α 2 = cos ⁡ α 2 = tan ⁡ α 2 = cot ⁡ α 2 = \\begin\{aligned\} & \\sin^2 \\frac\{\\alpha\}\{2\} = \\\\ \\\\ & \\cos^2 \\frac\{\\alpha\}\{2\} = \\\\ \\\\ & \\sin \\frac\{\\alpha\}\{2\} = \\\\ \\\\ & \\cos \\frac\{\\alpha\}\{2\} =\\\\ \\\\ & \\tan \\frac\{\\alpha\}\{2\} = \\\\ \\\\ & \\cot \\frac\{\\alpha\}\{2\} = \\end\{aligned\} sin22α=cos22α=sin2α=cos2α=tan2α=cot2α=

### 万能公式 ###

sin ⁡ α = cos ⁡ α = \\begin\{aligned\} & \\sin \\alpha = \\\\ \\\\ & \\cos \\alpha = \\end\{aligned\} sinα=cosα=

### 其他公式 ###

1 + sin ⁡ α = 1 − sin ⁡ α = \\begin\{aligned\} & 1 + \\sin \\alpha = \\\\ \\\\ & 1 - \\sin \\alpha = \\end\{aligned\} 1\+sinα=1−sinα=

## 反三角函数恒等式 ##

arcsin ⁡ x + arccos ⁡ x = arctan ⁡ x + a r c c o t   x = sin ⁡ ( arccos ⁡ x ) = cos ⁡ ( arcsin ⁡ x ) = sin ⁡ ( arcsin ⁡ x ) = arcsin ⁡ ( sin ⁡ x ) = cos ⁡ ( arccos ⁡ x ) = arccos ⁡ ( cos ⁡ x ) = arccos ⁡ ( − x ) = \\begin\{aligned\} & \\arcsin x + \\arccos x = \\\\ \\\\ & \\arctan x + arccot ~x= \\\\ \\\\ & \\sin(\\arccos x) = \\\\ \\\\ & \\cos(\\arcsin x) = \\\\ \\\\ & \\sin(\\arcsin x) = \\\\ \\\\ & \\arcsin (\\sin x) = \\\\ \\\\ & \\cos (\\arccos x) = \\\\ \\\\ & \\arccos (\\cos x) = \\\\ \\\\ & \\arccos (-x) = \\end\{aligned\} arcsinx\+arccosx=arctanx\+arccot x=sin(arccosx)=cos(arcsinx)=sin(arcsinx)=arcsin(sinx)=cos(arccosx)=arccos(cosx)=arccos(−x)=

# 极限相关公式 #

## 数列极限递推式 ##

a n + 1 = f ( a n ) 结 论 一 ： f ′ ( x ) > 0 ， \{ a 2 > a 1    ⟹    \{ a n \} 单 调 递 ？ a 2 < a 1    ⟹    \{ a n \} 单 调 递 ？ 结 论 二 （ 压 缩 映 像 原 理 ） ： ？ \\begin\{aligned\} & a\_\{n+1\} = f(a\_n) \\\\\\\\ 结论一： & f'(x) > 0 ， \\begin\{cases\} a\_2 > a\_1 \\implies \\\{ a\_n \\\} 单调递？ \\\\ a\_2 < a\_1 \\implies \\\{ a\_n \\\} 单调递？ \\end\{cases\} \\\\\\\\ 结论二（压缩映像原理）：？ \\end\{aligned\} 结论一：结论二（压缩映像原理）：？an\+1=f(an)f′(x)>0，\{ a2>a1⟹\{ an\}单调递？a2<a1⟹\{ an\}单调递？

## 重要极限公式 ##

lim ⁡ x → 0 + x α ln ⁡ x = lim ⁡ x → 0 + x α ( ln ⁡ x ) k = lim ⁡ x → + ∞ x α e − δ x = lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) 1 x = lim ⁡ n → ∞ n n = lim ⁡ n → ∞ a n = \\begin\{aligned\} & \\lim\_\{x \\to 0^+\} x^\\alpha \\ln x = \\\\\\\\ & \\lim\_\{x \\to 0^+\} x^\\alpha (\\ln x)^k = \\\\\\\\ & \\lim\_\{x \\to +\\infty\} x^\\alpha e^\{-\\delta x\} = \\\\\\\\ & \\lim\_\{x\\to 0\} \\frac\{\\sin x\}\{x\} = \\\\ \\\\ & \\lim\_\{x \\to 0\} (1+x)^\{\\frac\{1\}\{x\}\} = \\\\\\\\ & \\lim\_\{n \\to \\infty\} \\sqrt\[n\]\{n\} = \\\\\\\\ & \\lim\_\{n \\to \\infty\} \\sqrt\[n\]\{a\} = \\\\\\\\ \\end\{aligned\} x→0\+limxαlnx=x→0\+limxα(lnx)k=x→\+∞limxαe−δx=x→0limxsinx=x→0lim(1\+x)x1=n→∞limnn=n→∞limna=

## 常用等价无穷小 ##

x → 0 时 ， x ∼ ? ? ? ? ? ? ?    ,    1 − cos ⁡ x ∼ ?    , ( 1 + x ) a − 1 ∼ ?    ,    a x − 1 ∼ ? \\begin\{aligned\} & x \\to 0 时，\\\\\\\\ & x \\sim??????? ~~,~~ 1- \\cos x \\sim ? ~~, \\\\ \\\\ & (1+x)^a - 1 \\sim ? ~~,~~ a^x - 1 \\sim ? \\end\{aligned\} x→0时，x∼???????  ,  1−cosx∼?  ,(1\+x)a−1∼?  ,  ax−1∼?

## 1^∞ 型 ##

lim ⁡ u v = e ? \\lim u^v = e^? limuv=e?

# 导数相关公式 #

## 导数定义 ##

f ′ ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) = \\begin\{aligned\} & f'(x\_0) = \\\\\\\\ & f'(x\_0) = \\end\{aligned\} f′(x0)=f′(x0)=

## 微分定义 ##

Δ y = Δ y = A Δ x = \\begin\{aligned\} & \\Delta y = \\\\ \\\\ & \\Delta y = \\\\ \\\\ & A\\Delta x = \\end\{aligned\} Δy=Δy=AΔx=

## 连续，可导及可微关系 ##

### 一元函数 ###

可微

连续

可导

### 多元函数 ###

一阶偏导数连续

可微

连续

可导

## 导数四则运算 ##

\[ u ( x ) ± v ( x ) \] ′ = \[ u ( x ) v ( x ) \] ′ = \[ u ( x ) v ( x ) w ( x ) \] ′ = \[ u ( x ) v ( x ) \] ′ = \\begin\{aligned\} & \[u(x) \\pm v(x)\]' = \\\\ \\\\ & \[u(x)v(x)\]' = \\\\ \\\\ & \[u(x)v(x)w(x)\]' = \\\\ \\\\ & \\begin\{bmatrix\}\\frac\{u(x)\}\{v(x)\} \\end\{bmatrix\}' = \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} \[u(x)±v(x)\]′=\[u(x)v(x)\]′=\[u(x)v(x)w(x)\]′=\[v(x)u(x)\]′=

## 复合函数求导 ##

\{ f \[ g ( x ) \] \} ′ = \\\{ f\[g(x)\] \\\}' = \{ f\[g(x)\]\}′=

## 反函数求导 ##

y = f ( x ) , x = φ ( y )    ⟹    φ ′ ( y ) = y x ′ = y x x ′ ′ = \\begin\{aligned\} & y = f(x), x = \\varphi(y) \\implies \\varphi ' (y) = \\\\ \\\\ & y'\_x = \\\\ \\\\ & y^\{''\}\_\{xx\} = \\end\{aligned\} y=f(x),x=φ(y)⟹φ′(y)=yx′=yxx′′=

## 参数方程求导 ##

\{ x = φ ( t ) y = ψ ( t ) d y d x = d 2 y d x 2 = \\begin\{aligned\} & \\begin\{cases\} x = \\varphi (t) \\\\ y = \\psi (t) \\end\{cases\} \\\\\\\\ & \\frac\{dy\}\{dx\} = \\\\ \\\\ & \\frac\{d^2 y\}\{dx^2\} = \\end\{aligned\} \{ x=φ(t)y=ψ(t)dxdy=dx2d2y=

## 变限积分求导公式 ##

设 F ( x ) = ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( t ) d t , 则 F ′ ( x ) = \\begin\{aligned\} & 设 F(x) = \\int ^\{\\varphi\_2(x)\}\_\{\\varphi\_1(x)\} f(t) dt, 则 \\\\ \\\\ & F'(x) = \\end\{aligned\} 设F(x)=∫φ1(x)φ2(x)f(t)dt,则F′(x)=

## 基本初等函数的导数公式（❤❤❤） ##

( x a ) ′ = ( a x ) ′ = ( e x ) ′ = ( l o g a x ) ′ = ( ln ⁡ x ) ′ = ( sin ⁡ x ) ′ = ( cos ⁡ x ) ′ = ( arcsin ⁡ x ) ′ = ( arccos ⁡ x ) ′ = ( tan ⁡ x ) ′ = ( cot ⁡ x ) ′ = ( arctan ⁡ x ) ′ = ( a r c c o t   x ) ′ = ( sec ⁡ x ) ′ = ( csc ⁡ x ) ′ = \[ ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) \] ′ = \[ ln ⁡ ( x + x 2 − 1 ) \] ′ = \\begin\{aligned\} & (x^a)' = \\\\ \\\\ & (a^x)' = \\\\ \\\\ & (e^x)' = \\\\ \\\\ & (log\_a x)' = \\\\ \\\\ & (\\ln x)' = \\\\ \\\\ & (\\sin x)' = \\\\ \\\\ & (\\cos x)' = \\\\ \\\\ & (\\arcsin x)' = \\\\ \\\\ & (\\arccos x)' = \\\\ \\\\ & (\\tan x)' = \\\\ \\\\ & (\\cot x)' = \\\\ \\\\ & (\\arctan x)' = \\\\ \\\\ & (arccot ~ x)' = \\\\ \\\\ & (\\sec x)' = \\\\ \\\\ & (\\csc x)' = \\\\ \\\\ & \[\\ln (x+\\sqrt\{x^2+1\})\]' = \\\\ \\\\ & \[\\ln (x+\\sqrt\{x^2-1\})\]' = \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} (xa)′=(ax)′=(ex)′=(logax)′=(lnx)′=(sinx)′=(cosx)′=(arcsinx)′=(arccosx)′=(tanx)′=(cotx)′=(arctanx)′=(arccot x)′=(secx)′=(cscx)′=\[ln(x\+x2\+1)\]′=\[ln(x\+x2−1)\]′=

## 高阶导数的运算 ##

\[ u ± v \] ( n ) = \[u \\pm v \]^\{(n)\} = \[u±v\](n)=  
 ( u v ) ( n ) = \\begin\{aligned\} (uv)^\{(n)\} & = \\\\ \\end\{aligned\} (uv)(n)=

## 常用初等函数的n阶导数公式 ##

( a x ) ( n ) = ( e x ) ( n ) = ( sin ⁡ k x ) ( n ) = ( cos ⁡ k x ) ( n ) = ( ln ⁡ x ) ( n ) = \[ ln ⁡ ( 1 + x ) \] ( n ) = \[ ( x + x 0 ) m \] ( n ) = ( 1 x + a ) ( n ) = \\begin\{aligned\} & (a^x)^\{(n)\} = \\\\ \\\\ & (e^x)^\{(n)\} = \\\\ \\\\ & (\\sin kx)^\{(n)\} = \\\\ \\\\ & (\\cos kx)^\{(n)\} = \\\\ \\\\ & (\\ln x) ^ \{(n)\} = \\\\ \\\\ & \[\\ln(1+x)\]^\{(n)\} = \\\\ \\\\ & \[(x+x\_0)^m\]^\{(n)\} = \\\\ \\\\ & (\\frac\{1\}\{x+a\})^\{(n)\} = \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} (ax)(n)=(ex)(n)=(sinkx)(n)=(coskx)(n)=(lnx)(n)=\[ln(1\+x)\](n)=\[(x\+x0)m\](n)=(x\+a1)(n)=

## 极值判别条件 ##

\{ 1.    f ′ ( x ) 左 右 异 号    ⟹    \{ 左 正 右 负    ⟹    极 ? 值 左 负 右 正    ⟹    极 ? 值 2.    f ′ ( x ) = 0 , f ′ ′ ( x ) ≠ 0    ⟹    \{ f ′ ′ ( x ) < 0    ⟹    极 ? 值 f ′ ′ ( x ) > 0    ⟹    极 ? 值 3.    f ′ ′ ( x ) 到 f ( n − 1 ) ( x ) = 0 ， f ( n ) ( x ) ≠ 0 ， n 为 ? 数    ⟹    \{ f ( n ) ( x ) < 0    ⟹    极 ? 值 f ( n ) ( x ) > 0    ⟹    极 ? 值 \\begin\{cases\} 1.~~f'(x)左右异号 \\implies \\begin\{cases\} 左正右负 \\implies 极?值 \\\\ 左负右正 \\implies 极?值 \\end\{cases\} \\\\ \\\\ 2.~~f'(x)=0, f''(x)\\ne 0 \\implies \\begin\{cases\} f''(x) < 0 \\implies 极?值 \\\\ f''(x)>0 \\implies 极?值 \\end\{cases\} \\\\ \\\\ 3. ~~f''(x) 到 f^\{(n-1)\}(x)=0 ，f^\{(n)\}(x) \\ne 0， n为?数 \\implies \\begin\{cases\} f^\{(n)\}(x) < 0 \\implies 极?值 \\\\ f^\{(n)\}(x) > 0 \\implies 极?值 \\end\{cases\} \\end\{cases\} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1.  f′(x)左右异号⟹\{ 左正右负⟹极?值左负右正⟹极?值2.  f′(x)=0,f′′(x)=0⟹\{ f′′(x)<0⟹极?值f′′(x)>0⟹极?值3.  f′′(x)到f(n−1)(x)=0，f(n)(x)=0，n为?数⟹\{ f(n)(x)<0⟹极?值f(n)(x)>0⟹极?值

## 凹凸性判定 ##

1. \{ f ( x 1 + x 2 2 ) < f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2    ⟹    ? f ( x 1 + x 2 2 ) > f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2    ⟹    ? 2. \{ f ′ ′ ( x ) > 0    ⟹    ? f ′ ′ ( x ) < 0    ⟹    ? \\begin\{aligned\} 1.&\\begin\{cases\} f(\\frac\{x\_1+x\_2\}\{2\}) < \\frac\{f(x\_1)+f(x\_2)\}\{2\} \\implies ? \\\\\\\\ f(\\frac\{x\_1+x\_2\}\{2\}) > \\frac\{f(x\_1)+f(x\_2)\}\{2\} \\implies ? \\end\{cases\} \\\\\\\\ 2.&\\begin\{cases\} f''(x) > 0 \\implies ? \\\\\\\\ f''(x) < 0 \\implies ? \\end\{cases\} \\end\{aligned\} 1.2.⎩⎪⎨⎪⎧f(2x1\+x2)<2f(x1)\+f(x2)⟹?f(2x1\+x2)>2f(x1)\+f(x2)⟹?⎩⎪⎨⎪⎧f′′(x)>0⟹?f′′(x)<0⟹?

## 拐点判别条件 ##

\{ 1.    f ′ ′ ( x ) 左 右 异 号    ⟹    \{ 左 负 右 正    ⟹    ? 左 正 右 负    ⟹    ? 2.    f ′ ′ ( x ) = 0 , f ′ ′ ′ ( x ) ≠ 0    ⟹    \{ f ′ ′ ′ ( x ) < 0    ⟹    ? f ′ ′ ′ ( x ) > 0    ⟹    ? 3.    f ′ ′ ( x ) 到 f ( n − 1 ) ( x ) = 0 ， f ( n ) ( x ) ≠ 0 ， n 为 ? 数    ⟹    \{ f ( n ) ( x ) < 0    ⟹    ? f ( n ) ( x ) > 0    ⟹    ? \\begin\{cases\} 1.~~f''(x)左右异号 \\implies \\begin\{cases\} 左负右正 \\implies ? \\\\ 左正右负 \\implies ? \\end\{cases\} \\\\ \\\\ 2.~~f''(x)=0, f'''(x)\\ne 0 \\implies \\begin\{cases\} f'''(x) < 0 \\implies ? \\\\ f'''(x)>0 \\implies ? \\end\{cases\} \\\\ \\\\ 3. ~~f''(x) 到 f^\{(n-1)\}(x)=0 ，f^\{(n)\}(x) \\ne 0， n为?数 \\implies \\begin\{cases\} f^\{(n)\}(x) < 0 \\implies ? \\\\ f^\{(n)\}(x) > 0 \\implies ? \\end\{cases\} \\end\{cases\} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1.  f′′(x)左右异号⟹\{ 左负右正⟹?左正右负⟹?2.  f′′(x)=0,f′′′(x)=0⟹\{ f′′′(x)<0⟹?f′′′(x)>0⟹?3.  f′′(x)到f(n−1)(x)=0，f(n)(x)=0，n为?数⟹\{ f(n)(x)<0⟹?f(n)(x)>0⟹?

## 斜渐近线 ##

lim ⁡ x → ? ? = a      lim ⁡ x → ? ( ? ) = b    ⟹    斜 渐 近 线 为 ： y = a x + b \\lim\_\{x \\to ?\} ? = a ~~~~\\lim\_\{x \\to ?\}(?) = b \\implies 斜渐近线为： y=ax+b x→?lim?=a    x→?lim(?)=b⟹斜渐近线为：y=ax\+b

## 曲率 ##

密 切 圆 半 径       r = ? 曲 率       K = ? 曲 率 圆       ? \\begin\{aligned\} 密切圆半径 ~~~~~ & r = ? \\\\ \\\\ 曲率 ~~~~~ &K = ? \\\\ \\\\ 曲率圆 ~~~~~& ? \\end\{aligned\} 密切圆半径     曲率     曲率圆     r=?K=??

# 积分相关公式 #

## 定积分的精确定义 ##

∫ a b f ( x ) d x = ? 常 用 ： ∫ 0 1 f ( x ) d x = ? ∫ 0 k f ( x ) d x = ? 二 重 定 积 分 精 确 定 义 ： ∬ D f ( x , y ) d σ = ? 常 用 ： ∫ 0 1 ∫ 0 1 f ( x , y ) d x d y = ? \\begin\{aligned\} & \\int\_a^b f(x) dx = ? \\\\ \\\\ \\\\ 常用：& \\int\_0^1 f(x) dx = ? \\\\ \\\\ & \\int\_0^k f(x) dx = ? \\\\ \\\\ \\\\ 二重定积分精确定义：& \\iint\\limits\_D f(x,y) d\\sigma = ? \\\\ \\\\ \\\\ 常用：&\\int\_0^1 \\int\_0^1 f(x,y) dxdy = ? \\end\{aligned\} 常用：二重定积分精确定义：常用：∫abf(x)dx=?∫01f(x)dx=?∫0kf(x)dx=?D∬f(x,y)dσ=?∫01∫01f(x,y)dxdy=?

## 分布积分公式 ##

∫ u d v = ? ∫ u v ( n + 1 ) d x = ? \\begin\{aligned\} & \\int u dv = ? \\\\ & \\int uv^\{(n+1)\}dx = ? \\end\{aligned\} ∫udv=?∫uv(n\+1)dx=?

## 分部积分表格法 ##

? ? ?

## 区间再现公式 ##

∫ a b f ( x ) d x = ? \\int\_a^b f(x) dx = ? ∫abf(x)dx=?

## 华里士公式 ##

？ ？ ？

## 敛散性判别公式 ##

∫ 1 + ∞ 1 x p d x    ⟹    ? ∫ 0 1 1 x p d x    ⟹    ? \\begin\{aligned\} & \\int\_1^\{+\\infty\} \\frac\{1\}\{x^p\} dx \\implies ? \\\\\\\\ & \\int\_0^1 \\frac\{1\}\{x^p\} dx \\implies & ? \\\\\\\\ \\end\{aligned\} ∫1\+∞xp1dx⟹?∫01xp1dx⟹?

## 基本积分公式 ##

以 下 公 式 中 ， α 与 a 均 为 常 数 ， 除 声 明 者 外 ， a > 0 ∫ x α d x = ? ∫ 1 x d x = ? ∫ a x d x = ? ∫ e x d x = ? ∫ sin ⁡ x d x = ? ∫ cos ⁡ x d x = ? ∫ tan ⁡ x d x = ? ∫ cot ⁡ x d x = ? ∫ sec ⁡ x d x = ? ∫ csc ⁡ x d x = ? ∫ sec ⁡ 2 x d x = ? ∫ csc ⁡ 2 x d x = ? ∫ 1 a 2 + x 2 d x = ? ∫ 1 a 2 − x 2 d x = ? ∫ 1 a 2 − x 2 d x = ？ ∫ 1 x 2 ± a 2 d x = ？ \\begin\{aligned\} & 以下公式中，\\alpha 与 a 均为常数，除声明者外，a>0 \\\\ \\\\ & \\int x^\\alpha dx = ? \\\\ \\\\ & \\int \\frac\{1\}\{x\} dx =?\\\\ \\\\ & \\int a^x dx =? \\\\ \\\\ & \\int e^x dx = ? \\\\ \\\\ & \\int \\sin x dx =? \\\\ \\\\ & \\int \\cos x dx =? \\\\ \\\\ & \\int \\tan x dx = ? \\\\ \\\\ & \\int \\cot xdx =? \\\\ \\\\ & \\int \\sec x dx =? \\\\ \\\\ & \\int \\csc x dx =? \\\\ \\\\ & \\int \\sec ^2 x dx = ? \\\\ \\\\ & \\int \\csc^2x dx = ? \\\\ \\\\ & \\int \\frac\{1\}\{a^2 + x^2\} dx = ? \\\\ \\\\ & \\int \\frac\{1\}\{a^2-x^2\} dx =? \\\\ \\\\ & \\int \\frac\{1\}\{\\sqrt\{a^2-x^2\}\} dx =？ \\\\ \\\\ & \\int \\frac\{1\}\{\\sqrt\{x^2 \\pm a^2\}\} dx = ？ \\end\{aligned\} 以下公式中，α与a均为常数，除声明者外，a>0∫xαdx=?∫x1dx=?∫axdx=?∫exdx=?∫sinxdx=?∫cosxdx=?∫tanxdx=?∫cotxdx=?∫secxdx=?∫cscxdx=?∫sec2xdx=?∫csc2xdx=?∫a2\+x21dx=?∫a2−x21dx=?∫a2−x21dx=？∫x2±a21dx=？

## 重要积分公式 ##

∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = ？ = ？ ∫ 0 + ∞ x n e − x d x = ？ ∫ − a a f ( x ) d x = ∫ 0 a ？ d x ∫ 0 π x f ( sin ⁡ x ) d x = ？ = ？ ∫ a b f ( x ) d x = ？ ∫ 0 1 ？ d x \\begin\{aligned\} & \\int\_\{-\\infty\}^\{+\\infty\} e^\{-x^2\} dx = ？ = ？ \\\\ \\\\ & \\int\_\{0\}^\{+\\infty\} x^n e^\{-x\} dx = ？ \\\\ \\\\ & \\int\_\{-a\}^\{a\} f(x) dx = \\int\_0^a ？dx \\\\ \\\\ & \\int\_0^\\pi xf(\\sin x) dx = ？=？ \\\\ \\\\ & \\int\_a^b f(x) dx = ？ \\int\_0^1 ？ dx \\end\{aligned\} ∫−∞\+∞e−x2dx=？=？∫0\+∞xne−xdx=？∫−aaf(x)dx=∫0a？dx∫0πxf(sinx)dx=？=？∫abf(x)dx=？∫01？dx

## 积分求平均值 ##

f ( x ) 在 \[ a , b \] 上 的 平 均 值 为 ： ？ f(x) 在\[a,b\]上的平均值为： ？ f(x)在\[a,b\]上的平均值为：？

## 定积分应用 ##

### 定积分求平面图形面积 ###

y = y 1 ( x ) 与 y = y 2 ( x ) ， 及 x = a ， x = b （ a < b ） 所 围 成 的 平 面 图 形 面 积 ： S = ？ 曲 线 r = r 1 ( θ ) 与 r = r 2 ( θ ) 与 两 射 线 θ = α 与 θ = β （ 0 < β − α ≤ 2 π ） 所 围 成 的 曲 边 扇 形 的 面 积 ： S = ？ \\begin\{aligned\} & y=y\_1(x) 与 y=y\_2(x)，及x=a，x=b（a<b）所围成的平面图形面积：\\\\ \\\\ & S= ？ \\\\ \\\\ \\\\ & 曲线 r=r\_1(\\theta) 与 r=r\_2(\\theta) 与 两射线 \\theta = \\alpha 与 \\theta = \\beta （0<\\beta - \\alpha \\le 2\\pi）所围成的曲边扇形的面积：\\\\ \\\\ & S = ？ \\end\{aligned\} y=y1(x)与y=y2(x)，及x=a，x=b（a<b）所围成的平面图形面积：S=？曲线r=r1(θ)与r=r2(θ)与两射线θ=α与θ=β（0<β−α≤2π）所围成的曲边扇形的面积：S=？

### 定积分求旋转体的体积 ###

曲 线 y = y ( x ) 与 x = a ， x = b ( a < b ) 及 x 轴 围 成 的 曲 边 梯 形 绕 x 轴 旋 转 一 周 所 得 到 的 旋 转 体 的 体 积 V = ？ 曲 线 y = y 1 ( x ) ≥ 0 与 y = y 2 ( x ) ≥ 0 及 x = a ， x = b （ a < b ） 所 围 成 的 平 面 图 形 绕 x 轴 旋 转 一 周 所 的 到 的 旋 转 体 的 体 积 V = ？ 曲 线 y = y ( x ) 与 x = a , x = b （ 0 ≤ a < b ） 及 x 轴 围 成 的 曲 边 梯 形 绕 y 轴 旋 转 一 周 所 得 到 的 的 旋 转 体 的 体 积 V y = ？ 曲 线 y = y 1 ( x ) 与 y = y 2 ( x ) 及 x = a ， x = b （ 0 ≤ a ≤ b ） 所 围 成 的 圆 形 绕 y 轴 旋 转 一 周 所 成 的 旋 转 体 的 体 积 V = ？ \\begin\{aligned\} & 曲线 y=y(x)与x=a，x=b(a<b)及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积 \\\\ \\\\ & V = ？ \\\\ \\\\ \\\\ & 曲线y=y\_1(x) \\ge 0 与 y = y\_2(x) \\ge 0 及 x=a，x=b（a<b）所围成的平面图形绕x轴旋转一周所的到的旋转体的体积 \\\\ \\\\ & V = ？ \\\\ \\\\ \\\\ & 曲线 y=y(x) 与 x=a,x=b（0\\le a < b） 及x轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的的旋转体的体积 \\\\ \\\\ & V\_y = ？\\\\ \\\\ \\\\ & 曲线y=y\_1(x)与y=y\_2(x)及x=a，x=b（0\\le a \\le b）所围成的圆形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积 \\\\\\\\ & V= ？ \\end\{aligned\} 曲线y=y(x)与x=a，x=b(a<b)及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积V=？曲线y=y1(x)≥0与y=y2(x)≥0及x=a，x=b（a<b）所围成的平面图形绕x轴旋转一周所的到的旋转体的体积V=？曲线y=y(x)与x=a,x=b（0≤a<b）及x轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的的旋转体的体积Vy=？曲线y=y1(x)与y=y2(x)及x=a，x=b（0≤a≤b）所围成的圆形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V=？

### 平面曲线的弧长 ###

L = ∫ a b ？ d x L = ∫ α β ？ d t L = ∫ α β ？ d θ \\begin\{aligned\} & L = \\int\_a^b ？dx \\\\ \\\\ & L = \\int\_\\alpha^\\beta ？dt \\\\ \\\\ & L = \\int\_\\alpha^\\beta ？d\\theta \\end\{aligned\} L=∫ab？dxL=∫αβ？dtL=∫αβ？dθ

### 旋转曲面的面积 ###

曲 线 y = y ( x ) 在 区 间 \[ a , b \] 上 的 曲 线 弧 段 绕 x 轴 旋 转 一 周 所 得 到 的 旋 转 曲 面 的 “ 面 积 ” S = ？ d x S = ？ d t \\begin\{aligned\} & 曲线y=y(x)在区间\[a,b\]上的曲线弧段绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的“面积” \\\\\\\\ & S = ？dx \\\\ \\\\ & S = ？dt \\end\{aligned\} 曲线y=y(x)在区间\[a,b\]上的曲线弧段绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的“面积”S=？dxS=？dt

### 平面截面面积为已知的立体体积 ###

在 区 间 \[ a , b \] 上 ， 垂 直 于 x 轴 的 平 面 截 立 体 Ω 所 得 到 截 面 面 积 为 x 的 连 续 函 数 A ( x ) ， 则 Ω 的 体 积 为 V = ？ \\begin\{aligned\} & 在区间\[a,b\]上，垂直于x轴的平面截立体\\Omega所得到截面面积为x的连续函数A(x)，则\\Omega的体积为 \\\\ \\\\ & V = ？ \\end\{aligned\} 在区间\[a,b\]上，垂直于x轴的平面截立体Ω所得到截面面积为x的连续函数A(x)，则Ω的体积为V=？

### 变力沿直线做功 ###

设 力 函 数 为 F ( x ) （ a ≤ x ≤ b ） ， 则 物 体 沿 x 轴 从 点 a 移 动 到 点 b 时 ， 变 力 F ( x ) 所 做 的 功 为 W = ？ \\begin\{aligned\} & 设力函数为F(x) （a\\le x \\le b），则物体沿x轴从点a移动到点b时，变力F(x)所做的功为 \\\\\\\\ & W = ？ \\end\{aligned\} 设力函数为F(x)（a≤x≤b），则物体沿x轴从点a移动到点b时，变力F(x)所做的功为W=？

### 抽水做功 ###

W = ？       \\begin\{aligned\} & W = ？ ~~~~~\\\\\\\\ \\end\{aligned\} W=？

### 水压力 ###

P = ?       \\begin\{aligned\} & P = ? ~~~~~\\\\\\\\ \\end\{aligned\} P=?

### 质心 ###

#### 直线段的质心（一维） ####

x ˉ = \\begin\{aligned\} & \\bar\{x\} = \\end\{aligned\} xˉ=

#### 不均匀薄片质心（二维） ####

x ˉ = y ˉ = \\begin\{aligned\} & \\bar\{x\} = \\\\\\\\ & \\bar\{y\} = \\\\\\\\ \\end\{aligned\} xˉ=yˉ=

### 形心 ###

x ˉ = y ˉ = \\begin\{aligned\} & \\bar\{x\} = \\\\\\\\ & \\bar\{y\} = \\\\\\\\ \\end\{aligned\} xˉ=yˉ=

### 质量 ###

m = ∬ D ? d x d y m = \\iint\\limits\_D ?dxdy m=D∬?dxdy

### 转动惯量 ###

I x = I y = \\begin\{aligned\} & I\_x = & I\_y = \\end\{aligned\} Ix=Iy=

### 物理公式 ###

浮 力 公 式 ：     F 浮 = 压 强 ：     P = 压 强 与 气 体 体 积 成 反 比 ：     水 深 h 处 的 压 强 ：     P =   在 水 中 的 压 力 ：     F 压 = 力 ：     F = 做 功 ：     W 功 = 引 力 ：     F = \\begin\{aligned\} 浮力公式：~~~ & F\_\{浮\} = \\\\\\\\ 压强：~~~& P = \\\\\\\\ 压强与气体体积成反比：~~~& \\\\\\\\ 水深h处的压强：~~~& P=\\ \\\\\\\\ 在水中的压力：~~~& F\_\{\_压\} = \\\\ \\\\ 力：~~~& F = \\\\ \\\\ 做功：~~~& W\_功 = \\\\\\\\ 引力：~~~ & F = \\end\{aligned\} 浮力公式：   压强：   压强与气体体积成反比：   水深h处的压强：   在水中的压力：   力：   做功：   引力：   F浮=P=P= F压=F=W功=F=

# 泰勒公式 #

f ( x ) = \\begin\{aligned\} f(x) & = \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} f(x)=

## 拉格朗日余项的泰勒公式 ##

f ( x ) = f(x) = f(x)=

## 佩亚诺余项的泰勒公式 ##

f ( x ) = f(x) = f(x)=

## 常用的泰勒展开式 ##

sin ⁡ x = cos ⁡ x = arcsin ⁡ x = ( 1 + x ) α = 1 1 − x = 1 1 + x = ln ⁡ ( 1 + x ) = 1 1 + x 2 = arctan ⁡ x = tan ⁡ x = e x = \\begin\{aligned\} & \\sin x = \\\\ \\\\ & \\cos x = \\\\ \\\\ & \\arcsin x = \\\\ \\\\ \\\\ & (1+x)^\\alpha =\\\\ \\\\ & \\frac\{1\}\{1-x\} = \\\\ \\\\ & \\frac\{1\}\{1+x\} = \\\\ \\\\ & \\ln (1+x) = \\\\ \\\\ & \\frac\{1\}\{1+x^2\} = \\\\ \\\\ & \\arctan x = \\\\ \\\\ & \\tan x = \\\\ \\\\ \\\\ & e^x = \\end\{aligned\} sinx=cosx=arcsinx=(1\+x)α=1−x1=1\+x1=ln(1\+x)=1\+x21=arctanx=tanx=ex=

# 中值定理 #

## 罗尔定理 ##

## 罗尔定理推论 ##

若 ? 至 多 ? 个 根    ⟹    至 多 ? 个 根 若?至多?个根 \\implies 至多?个根 若?至多?个根⟹至多?个根

## 罗尔定理证明题辅助函数构造 ##

f ′ ′ ( x ) + g ( x ) f ′ ( x ) = 0    ⟹    F ( x ) = f ( x ) + g ( x ) ∫ 0 x f ( t ) d t = 0    ⟹    F ( x ) = f ′ ( x ) + g ( x ) \[ f ( x ) − 1 \] = 0    ⟹    F ( x ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ \\begin\{aligned\} & f''(x) + g(x)f'(x) = 0 \\implies F(x) = \\\\ \\\\ & f(x) + g(x)\\int\_0^x f(t)dt = 0 \\implies F(x) = \\\\ \\\\ & f'(x) + g(x)\[f(x)-1\] =0 \\implies F(x) = \\\\ \\\\ & \\cdot\\cdot\\cdot\\cdot\\cdot\\cdot\\cdot\\cdot \\end\{aligned\} f′′(x)\+g(x)f′(x)=0⟹F(x)=f(x)\+g(x)∫0xf(t)dt=0⟹F(x)=f′(x)\+g(x)\[f(x)−1\]=0⟹F(x)=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

## 拉格朗日中值定理 ##

## 柯西中值定理 ##

## 积分中值定理 ##

f ( x ) 在 \[ a , b \] 上 连 续    ⟹    存 在 η ∈ \[ a , b \] , 使 得 ∫ a b f ( x ) d x = f ( x ) ， g ( x ) 在 \[ a , b \] 上 连 续 ， 且 g ( x ) 不 变 号    ⟹    ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = 二 重 积 分 中 值 定 理 ， D 上 连 续 ， A 为 D 的 面 积    ⟹    ∬ D f ( x , y ) d x d y = \\begin\{aligned\} & f(x)在\[a,b\]上连续 \\implies 存在 \\eta \\in \[a,b\], 使得 \\\\ & \\int\_a^b f(x) dx = \\\\ \\\\ \\\\ & f(x)，g(x)在\[a,b\]上连续，且g(x)不变号 \\implies \\\\ & \\int\_a^b f(x)g(x)dx = \\\\\\\\\\\\ & 二重积分中值定理，D上连续，A为D的面积 \\implies \\\\ & \\iint\\limits\_D f(x,y) dxdy = \\end\{aligned\} f(x)在\[a,b\]上连续⟹存在η∈\[a,b\],使得∫abf(x)dx=f(x)，g(x)在\[a,b\]上连续，且g(x)不变号⟹∫abf(x)g(x)dx=二重积分中值定理，D上连续，A为D的面积⟹D∬f(x,y)dxdy=

# 多元微积分相关公式 #

## 多元微分定义 ##

定 义 ： Δ z = 全 增 量 ： Δ z = 线 性 增 量 ： 可 微 判 定 ： \\begin\{aligned\} 定义：& \\Delta z = \\\\ \\\\ 全增量：& \\Delta z = \\\\ \\\\ 线性增量：& \\\\ \\\\ 可微判定：& \\end\{aligned\} 定义：全增量：线性增量：可微判定：Δz=Δz=

## 多元隐函数求导 ##

∂ z ∂ x = ∂ z ∂ y = \\begin\{aligned\} & \\frac\{\\partial z\}\{\\partial x\} = \\\\ \\\\ & \\frac\{\\partial z\}\{\\partial y\} = \\\\ \\end\{aligned\} ∂x∂z=∂y∂z=

## 极坐标下二重积分计算法 ##

∬ D f ( x , y ) d σ = \\underset\{D\}\{\\iint\} f(x,y)d\\sigma = D∬f(x,y)dσ=

## 隐函数存在定理 ##

## 多元函数极值判定 ##

## 拉格朗日数乘法求最值 ##

## 多重积分的应用 ##

### 空间曲面的面积 ###

A = ? \\begin\{aligned\} & \\\\ & A = ? \\end\{aligned\} A=?

# 微分方程 #

## 一阶线性微分方程 ##

y ′ + p ( x ) y = q ( x )       其 中 p ( x ) , q ( x ) 为 连 续 函 数    ⟹    \\begin\{aligned\} & y' + p(x)y = q(x) ~~~~~其中p(x),q(x)为连续函数 \\implies \\\\\\\\ \\end\{aligned\} y′\+p(x)y=q(x)     其中p(x),q(x)为连续函数⟹

## 二阶常系数齐次线性微分方程的通解 ##

y ′ ′ + p y ′ + q y = 0          p , q 为 常 数 ⇒ 特 征 方 程 为    λ 2 + p λ + q = 0    ⟹    ? \\begin\{aligned\} & y'' + py' + qy =0 ~~~~~~~~p,q为常数 \\\\ \\\\ \\xRightarrow\{特征方程为\} & ~~ \\lambda^2 + p\\lambda + q = 0 \\implies ? \\end\{aligned\} 特征方程为y′′\+py′\+qy=0        p,q为常数  λ2\+pλ\+q=0⟹?

## 三阶常系数齐次线性微分方程的通解 ##

y ′ ′ ′ + p y ′ ′ + q y ′ + r y = 0          p , q , r 为 常 数 ⇒ 特 征 方 程 为    λ 3 + p λ 2 + q λ + r = 0    ⟹    ? \\begin\{aligned\} & y''' + py'' + qy' +ry =0 ~~~~~~~~p,q,r为常数 \\\\ \\\\ \\xRightarrow\{特征方程为\} & ~~ \\lambda^3 + p\\lambda^2 + q\\lambda + r = 0 \\implies ? \\end\{aligned\} 特征方程为y′′′\+py′′\+qy′\+ry=0        p,q,r为常数  λ3\+pλ2\+qλ\+r=0⟹?

## 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 ##

y ′ ′ + p y ′ + q y = f ( x ) （ 1 ） 自 由 项 f ( x ) = P n ( x ) e a x   时 ， 特 解 为   y ∗ = ? ( 2 ) 自 由 项   f ( x ) = e a x \[ P m ( x ) cos ⁡ β x + P n ( x ) sin ⁡ β x \]   时 ， y ∗ = ? \\begin\{aligned\} & y'' + py'+qy = f(x) \\\\ \\\\ （1）& 自由项f(x)=P\_n(x)e^\{ax\} ~时，特解为 ~ y^\*= ? \\\\ \\\\ \\\\ \\\\ \\\\ (2) & 自由项~ f(x) = e^\{ax\}\[P\_m(x) \\cos \\beta x + P\_n(x) \\sin \\beta x\] ~时， \\\\ \\\\ & y^\* = ? \\end\{aligned\} （1）(2)y′′\+py′\+qy=f(x)自由项f(x)=Pn(x)eax 时，特解为 y∗=?自由项 f(x)=eax\[Pm(x)cosβx\+Pn(x)sinβx\] 时，y∗=?

## “算子法”求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 ##

# 线性代数 #

## 行列式 ##

∣ A ∣ = ∣ A T ∣ ∣ k A ∣ = ? ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ A i j = ? M i j \\begin\{aligned\} & |A| = |A^T| \\\\ \\\\ & |kA| = ? \\\\ \\\\ & |AB| = |A||B| \\\\ \\\\ & A\_\{ij\} = ?M\_\{ij\} \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} ∣A∣=∣AT∣∣kA∣=?∣AB∣=∣A∣∣B∣Aij=?Mij

## 几个重要的行列式 ##

∣ a 11 0 … 0 0 a 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … a n n ∣ = ∣ a 11 0 … 0 a 21 a 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ∣ = ∣ a 11 a 12 … a 1 n 0 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … a n n ∣ = ? ∣ 0 … 0 a 1 n 0 … a 2 , n − 1 0 ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 … 0 0 ∣ = ∣ 0 … 0 a 1 n 0 … a 2 , n − 1 ⋮ a n 1 ∣ = ∣ a 1 n a 2 , n − 1 0 ⋮ ⋮ a n 1 … 0 0 ∣ = ? ∣ 1 1 ⋯ 1 x 1 x 2 ⋯ x n x 1 2 x 2 2 ⋯ x n 2 ⋮ ⋮ ⋮ x 1 n − 1 x 2 n − 1 ⋯ x n n − 1 ∣ = ? ∣ a b b ⋯ b b a b ⋯ b b b a ⋯ b ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b b b ⋯ a ∣ = ? ∣ A O O B ∣ = ∣ A C O B ∣ = ∣ A O C B ∣ = ∣ O A n × n B m × m O ∣ = ∣ O A B C ∣ = ∣ C A B O ∣ = \\begin\{aligned\} & \\begin\{vmatrix\} a\_\{11\} & 0 & \\dots & 0 \\\\ 0 & a\_\{22\} & \\dots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ 0 & 0 & \\dots & a\_\{nn\} \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} a\_\{11\} & 0 & \\dots & 0 \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\} & \\dots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a\_\{n1\} & a\_\{n2\} & \\dots & a\_\{nn\} \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} a\_\{11\} & a\_\{12\} & \\dots & a\_\{1n\} \\\\ 0 & a\_\{22\} & \\dots & a\_\{2n\} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ 0 & 0 & \\dots & a\_\{nn\} \\end\{vmatrix\} = ? \\\\ \\\\ \\\\ & \\begin\{vmatrix\} 0 & \\dots & 0 & a\_\{1n\} \\\\ 0 & \\dots & a\_\{2,n-1\} & 0 \\\\ \\vdots & & \\vdots & \\vdots \\\\ a\_\{n1\} & \\dots & 0 & 0 \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} 0 & \\dots & 0 & a\_\{1n\} \\\\ 0 & \\dots & a\_\{2,n-1\} & \\\\ \\vdots & & & \\\\ a\_\{n1\} & & & \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} & & & a\_\{1n\} \\\\ & & a\_\{2,n-1\} & 0 \\\\ & & \\vdots & \\vdots \\\\ a\_\{n1\} & \\dots & 0 & 0 \\end\{vmatrix\} = ? \\\\ \\\\ \\\\ & \\begin\{vmatrix\} 1 & 1 & \\cdots & 1 \\\\ x\_1 & x\_2 & \\cdots & x\_n \\\\ x\_1^2 & x\_2^2 & \\cdots & x\_n^2 \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ x\_1^\{n-1\} & x\_2^\{n-1\} & \\cdots & x\_n^\{n-1\} \\\\ \\end\{vmatrix\} = ? \\\\ \\\\ \\\\ & \\begin\{vmatrix\} a & b & b & \\cdots & b \\\\ b & a & b & \\cdots & b \\\\ b & b & a & \\cdots & b \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ b & b & b & \\cdots & a \\\\ \\end\{vmatrix\} = ? \\\\ \\\\ \\\\ & \\begin\{vmatrix\} A & O \\\\ O & B \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} A & C \\\\ O & B \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} A & O \\\\ C & B \\end\{vmatrix\} = \\\\ \\\\ \\\\ & \\begin\{vmatrix\} O & A\_\{n\\times n\} \\\\ B\_\{m\\times m\} & O \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} O & A \\\\ B & C \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} C & A \\\\ B & O \\end\{vmatrix\} = \\end\{aligned\} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣a110⋮00a22⋮0………00⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an10a22⋮an2………00⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a110⋮0a12a22⋮0………a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=?∣∣∣∣∣∣∣∣∣00⋮an1………0a2,n−1⋮0a1n0⋮0∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣00⋮an1……0a2,n−1a1n∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣an1…a2,n−1⋮0a1n0⋮0∣∣∣∣∣∣∣∣∣=?∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1x12⋮x1n−11x2x22⋮x2n−1⋯⋯⋯⋯1xnxn2⋮xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=?∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣abb⋮bbab⋮bbba⋮b⋯⋯⋯⋯bbb⋮a∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=?∣∣∣∣AOOB∣∣∣∣=∣∣∣∣AOCB∣∣∣∣=∣∣∣∣ACOB∣∣∣∣=∣∣∣∣OBm×mAn×nO∣∣∣∣=∣∣∣∣OBAC∣∣∣∣=∣∣∣∣CBAO∣∣∣∣=

## 矩阵 ##

( A T ) T = ( k A ) T = ( A + B ) T = ( A B ) T = A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∗ ∣ = A − 1 = = ∣ A ∣ ( A ∗ ) − 1 ( A − 1 ) − 1 = ( k A ) − 1 = ( A B ) − 1 = ( A T ) − 1 = ( A T ) ∗ = ( A − 1 ) ∗ = ( A B ) ∗ = ( A ∗ ) ∗ = ∣ A − 1 ∣ = \[ A ∣ E \] → 初 等 行 变 换 \[ E ∣ A − 1 \] \[ A ∣ B \] → 初 等 行 变 换 \[ E ∣ ? \] \\begin\{aligned\} & (A^T)^T = \\\\ \\\\ & (kA)^T = \\\\ \\\\ & (A+B)^T = \\\\ \\\\ & (AB)^T = \\\\ \\\\ & AA^\* = A^\*A = \\\\ \\\\ & |A^\*|= \\\\ \\\\ & A^\{-1\} = \\\\ \\\\ & = |A|(A^\*)^\{-1\} \\\\ \\\\ & (A^\{-1\})^\{-1\} = \\\\ \\\\ & (kA)^\{-1\} = \\\\ \\\\ & (AB)^\{-1\} = \\\\ \\\\ & (A^T)^\{-1\} = \\\\ \\\\ & (A^T)^\* = \\\\ \\\\ & (A^\{-1\})^\* = \\\\ \\\\ & (AB)^\* = \\\\ \\\\ & (A^\*)^\* = \\\\ \\\\ & |A^\{-1\}| = \\\\ \\\\ & \[A|E\] \\xrightarrow\{初等行变换\}\[E|A^\{-1\}\] \\\\\\\\ & \[A|B\] \\xrightarrow\{初等行变换\}\[E|?\] \\\\\\\\ \\end\{aligned\} (AT)T=(kA)T=(A\+B)T=(AB)T=AA∗=A∗A=∣A∗∣=A−1==∣A∣(A∗)−1(A−1)−1=(kA)−1=(AB)−1=(AT)−1=(AT)∗=(A−1)∗=(AB)∗=(A∗)∗=∣A−1∣=\[A∣E\]初等行变换\[E∣A−1\]\[A∣B\]初等行变换\[E∣?\]

## 分块矩阵 ##

\[ A O O B \] n = \\begin\{aligned\} \\begin\{bmatrix\} A & O \\\\ O & B \\end\{bmatrix\}^n = \\end\{aligned\} \[AOOB\]n=

## 正交矩阵 ##

A 是 正 交 矩 阵    ⟺       ⟺       ⟺       ⟹    ∣ A ∣ =    ⟹    λ = \\begin\{aligned\} & A是正交矩阵 \\\\\\\\ \\iff & \\\\ \\\\ \\iff &\\\\ \\\\ \\iff & \\\\ \\\\ \\implies & |A| = \\\\ \\\\ \\implies & \\lambda = \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} ⟺⟺⟺⟹⟹A是正交矩阵∣A∣=λ=

## 施密特正交化 ##

β 1 = β 2 = β 3 = ⋯ ⋯ β n = \\begin\{aligned\} & \\beta\_1 = \\\\ \\\\ & \\beta\_2 = \\\\ \\\\ & \\beta\_3 =\\\\ \\\\ & \\cdots\\cdots \\\\\\\\ & \\beta\_n = \\\\ \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} β1=β2=β3=⋯⋯βn=

## 可逆矩阵 ##

A 可 逆    ⟺       ⟺       ⟺    A x = 0    ⟺    A x = b    ⟺    r ( A ) =    ⟺    特 征 值 \\begin\{aligned\} & A可逆 \\\\\\\\ \\iff & \\\\ \\\\ \\iff & \\\\\\\\ \\iff & Ax=0 \\\\\\\\ \\iff & Ax=b \\\\\\\\ \\iff & r(A)= \\\\\\\\ \\iff & 特征值 \\end\{aligned\} ⟺⟺⟺⟺⟺⟺A可逆Ax=0Ax=br(A)=特征值

## 等价矩阵 ##

A , B 等 价    ⟺    A ≅ B    ⟺       ⟺    \{ α 1 , α 2 , ⋯   , α s \} ≅ \{ β 1 , β 2 , ⋯   , β t \}    ⟺       ⟺       ⟺    \\begin\{aligned\} & A, B等价 \\\\\\\\ \\iff & A \\cong B \\\\ \\\\ \\iff & \\\\ \\\\ \\iff & \\\\\\\\\\\\ & \\\{\\alpha\_1,\\alpha\_2, \\cdots, \\alpha\_s\\\} \\cong \\\{\\beta\_1,\\beta\_2, \\cdots, \\beta\_t \\\} \\\\ \\\\ \\iff & \\\\ \\\\ \\iff & \\\\ \\\\ \\iff & \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} ⟺⟺⟺⟺⟺⟺A,B等价A≅B\{ α1,α2,⋯,αs\}≅\{ β1,β2,⋯,βt\}

## 秩相关公式 ##

A 是 m × n 矩 阵 ， 则 ： r ( A ) ≤ m i n \{ m , n \} r ( A T ) = r ( k A ) = r ( A + B ) ≤ r ( A B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) − ? ≤ r ( A ) + r ( B ) ≤ ？      （ 其 中 ， A B = O , n 是 A 的 列 数 或 B 的 行 数 ） r ( A O O B ) = ？ ≤ r ( A O C B ) ≤ ？ ？ = r ( A T A ) r ( A ) = 1    ⟹    ∃ 非 零 α , β ， 使 得 A = ？ r ( α α T ) = ？ \{ r ( A ) = ？        ⟹        r ( A ∗ ) = ？ r ( A ) = ？        ⟹        r ( A ∗ ) = ？ r ( A ) < ？        ⟹        r ( A ∗ ) = ？ \\begin\{aligned\} & A是m\\times n矩阵，则：\\\\\\\\ & r(A) \\le min\\\{m,n\\\} \\\\ \\\\ & r(A^T) = \\\\ \\\\ & r(kA) = \\\\ \\\\ & r(A+B) \\le \\\\ \\\\ & r(AB) \\le \\\\ \\\\ & r(A) + r(B) -? \\le \\\\ \\\\ & r(A) + r(B) \\le ？ ~~~~（其中，AB=O,n是A的列数或B的行数） \\\\\\\\ & r\\begin\{pmatrix\} A & O \\\\ O & B \\end\{pmatrix\} =\\\\ \\\\ & ？\\le r\\begin\{pmatrix\} A & O \\\\ C & B \\end\{pmatrix\} \\le ？ \\\\\\\\ & ？= r(A^T A) \\\\ \\\\ & r(A) = 1 \\implies \\exists 非零 \\alpha, \\beta ，使得 A = ？ \\\\ \\\\ & r(\\alpha \\alpha^T) = ？ \\\\ \\\\ & \\begin\{cases\} r(A) = ？ ~~~ \\implies ~~~ r(A^\*) = ？ \\\\ r(A) = ？ ~~~ \\implies ~~~ r(A^\*) = ？ \\\\ r(A) < ？ ~~~ \\implies ~~~ r(A^\*) = ？ \\\\ \\end\{cases\} \\\\\\\\ \\end\{aligned\} A是m×n矩阵，则：r(A)≤min\{ m,n\}r(AT)=r(kA)=r(A\+B)≤r(AB)≤r(A)\+r(B)−?≤r(A)\+r(B)≤？    （其中，AB=O,n是A的列数或B的行数）r(AOOB)=？≤r(ACOB)≤？？=r(ATA)r(A)=1⟹∃非零α,β，使得A=？r(ααT)=？⎩⎪⎨⎪⎧r(A)=？   ⟹   r(A∗)=？r(A)=？   ⟹   r(A∗)=？r(A)<？   ⟹   r(A∗)=？

## 特征值与特征向量 ##

∑ i = 1 n λ i = ∏ i = 1 n λ i = \\begin\{aligned\} & \\sum\_\{i=1\}^n \\lambda\_i =\\\\ \\\\ & \\prod\_\{i=1\}^n \\lambda\_i = \\\\\\\\ \\end\{aligned\} i=1∑nλi=i=1∏nλi=

矩 阵 A k A A k f ( A ) A − 1 A ∗ A − 1 + f ( A ) 特 征 值 对 应 的 特 征 向 量 \\def\\arraystretch\{2\} \\begin\{array\}\{c:c:c:c:c:c:c:c\} 矩阵 & A & kA & A^k & f(A) & A^\{-1\} & A^\* & A^\{-1\} + f(A) \\\\ \\hline 特征值 & & & & & & & \\\\ \\hline 对应的特征向量 & & &&&&& \\end\{array\} 矩阵特征值对应的特征向量AkAAkf(A)A−1A∗A−1\+f(A)

## 相似矩阵 ##

A ∼ B    ⟺       ⟺    ？ （ 判 断 两 矩 阵 是 否 相 似 ）    ⟹       ⟹       ⟹       ⟹       ⟹       ⟹       ⟹       ⟹       ⟹       ⟹       ⟹    \\begin\{aligned\} & A \\sim B \\\\ \\\\ \\iff & \\\\\\\\ \\iff & ？（判断两矩阵是否相似）\\\\\\\\\\\\ \\implies & \\\\ \\\\ \\implies & \\\\ \\\\ \\implies & \\\\ \\\\ \\implies & \\\\ \\\\ \\implies & \\\\ \\\\ \\implies & \\\\ \\\\ \\implies & \\\\ \\\\ \\implies & \\\\ \\\\ \\implies & \\\\ \\\\ \\implies & \\\\ \\\\ \\implies & \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} ⟺⟺⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹A∼B？（判断两矩阵是否相似）

## 相似对角化 ##

A ∼ Λ    ⟺       ⟺    A = A T       （ A 是 实 对 称 矩 阵 ）    ⟹       ⟹       ⟹    \\begin\{aligned\} & A \\sim \\Lambda \\\\ \\\\ \\iff & \\\\\\\\ \\iff & \\\\ \\\\ \\\\ \\\\ & A = A^T ~~~~~（A是实对称矩阵） \\\\ \\\\ \\implies & \\\\ \\\\ \\implies & \\\\\\\\ \\implies & \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} ⟺⟺⟹⟹⟹A∼ΛA=AT     （A是实对称矩阵）

## 正定二次型 ##

f = x T A x 正 定    ⟺       ⟺       ⟺       ⟺       ⟺       ⟺       ⟹       ⟹       ⟹    ？ 正 定 ( A O O B ) 正 定    ⟺    \\begin\{aligned\} & f=x^TAx正定 \\\\\\\\ \\iff & \\\\ \\\\ \\iff &\\\\ \\\\ \\iff & \\\\ \\\\ \\iff & \\\\ \\\\ \\iff & \\\\ \\\\ \\iff & \\\\ \\\\ \\implies & \\\\ \\\\ \\implies & \\\\ \\\\ \\implies & ？正定 \\\\ \\\\ \\\\ & \\begin\{pmatrix\} A & O \\\\ O & B \\end\{pmatrix\} 正定 \\iff \\end\{aligned\} ⟺⟺⟺⟺⟺⟺⟹⟹⟹f=xTAx正定？正定(AOOB)正定⟺

[https_blog.csdn.net_zhaohongfei_358_article_details_106039576]: https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/106039576