考研必备数学公式大全（数学二）（线性代数篇）

短命女 2022-09-08 11:56 286阅读 0赞

> 由于公式太多，汇总成一篇容易打不开，所以分三篇。[整篇链接][Link 1]：https://blog.csdn.net/zhaohongfei\_358/article/details/106039576

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 <tbody> 
  <tr> 
   <td><a href="https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/119929920" rel="nofollow">基础回顾篇</a></td> 
   <td>https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/119929920</td> 
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   <td><a href="https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/119929988" rel="nofollow">高等数学篇</a></td> 
   <td>https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/119929988</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td><a href="https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/119930063" rel="nofollow">线性代数篇</a></td> 
   <td>https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/119930063</td> 
  </tr> 
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</table>

# 线性代数 #

## 行列式 ##

∣ A ∣ = ∣ A T ∣ ∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ A i j = ( − 1 ) i + j M i j \\begin\{aligned\} & |A| = |A^T| \\\\ \\\\ & |kA| = k^n|A| \\\\ \\\\ & |AB| = |A||B| \\\\ \\\\ & A\_\{ij\} = (-1)^\{i+j\}M\_\{ij\} \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} ∣A∣=∣AT∣∣kA∣=kn∣A∣∣AB∣=∣A∣∣B∣Aij=(−1)i\+jMij

## 几个重要的行列式 ##

∣ a 11 0 … 0 0 a 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … a n n ∣ = ∣ a 11 0 … 0 a 21 a 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ∣ = ∣ a 11 a 12 … a 1 n 0 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … a n n ∣ = ∏ i = 1 n a i i ∣ 0 … 0 a 1 n 0 … a 2 , n − 1 0 ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 … 0 0 ∣ = ∣ 0 … 0 a 1 n 0 … a 2 , n − 1 ⋮ a n 1 ∣ = ∣ a 1 n a 2 , n − 1 0 ⋮ ⋮ a n 1 … 0 0 ∣ = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 a 1 n a 2 , n − 1 … a n 1 ∣ 1 1 ⋯ 1 x 1 x 2 ⋯ x n x 1 2 x 2 2 ⋯ x n 2 ⋮ ⋮ ⋮ x 1 n − 1 x 2 n − 1 ⋯ x n n − 1 ∣ = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( x j − x i ) ∣ a b b ⋯ b b a b ⋯ b b b a ⋯ b ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b b b ⋯ a ∣ = \[ a + ( n − 1 ) b \] ( a − b ) n − 1 ∣ A O O B ∣ = ∣ A C O B ∣ = ∣ A O C B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ ∣ O A n × n B m × m O ∣ = ∣ O A B C ∣ = ∣ C A B O ∣ = ( − 1 ) m n ∣ A ∣ ∣ B ∣ \\begin\{aligned\} & \\begin\{vmatrix\} a\_\{11\} & 0 & \\dots & 0 \\\\ 0 & a\_\{22\} & \\dots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ 0 & 0 & \\dots & a\_\{nn\} \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} a\_\{11\} & 0 & \\dots & 0 \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\} & \\dots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a\_\{n1\} & a\_\{n2\} & \\dots & a\_\{nn\} \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} a\_\{11\} & a\_\{12\} & \\dots & a\_\{1n\} \\\\ 0 & a\_\{22\} & \\dots & a\_\{2n\} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ 0 & 0 & \\dots & a\_\{nn\} \\end\{vmatrix\} = \\prod\_\{i=1\}^na\_\{ii\} \\\\ \\\\ \\\\ & \\begin\{vmatrix\} 0 & \\dots & 0 & a\_\{1n\} \\\\ 0 & \\dots & a\_\{2,n-1\} & 0 \\\\ \\vdots & & \\vdots & \\vdots \\\\ a\_\{n1\} & \\dots & 0 & 0 \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} 0 & \\dots & 0 & a\_\{1n\} \\\\ 0 & \\dots & a\_\{2,n-1\} & \\\\ \\vdots & & & \\\\ a\_\{n1\} & & & \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} & & & a\_\{1n\} \\\\ & & a\_\{2,n-1\} & 0 \\\\ & & \\vdots & \\vdots \\\\ a\_\{n1\} & \\dots & 0 & 0 \\end\{vmatrix\} = (-1)^\{\\frac\{n(n-1)\}\{2\}\}a\_\{1n\}a\_\{2,n-1\}\\dots a\_\{n1\} \\\\ \\\\ \\\\ & \\begin\{vmatrix\} 1 & 1 & \\cdots & 1 \\\\ x\_1 & x\_2 & \\cdots & x\_n \\\\ x\_1^2 & x\_2^2 & \\cdots & x\_n^2 \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ x\_1^\{n-1\} & x\_2^\{n-1\} & \\cdots & x\_n^\{n-1\} \\\\ \\end\{vmatrix\} = \\prod\_\{1\\le i <j \\le n\}(x\_j-x\_i) \\\\ \\\\ \\\\ & \\begin\{vmatrix\} a & b & b & \\cdots & b \\\\ b & a & b & \\cdots & b \\\\ b & b & a & \\cdots & b \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ b & b & b & \\cdots & a \\\\ \\end\{vmatrix\} = \[a+(n-1)b\](a-b)^\{n-1\} \\\\ \\\\ \\\\ & \\begin\{vmatrix\} A & O \\\\ O & B \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} A & C \\\\ O & B \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} A & O \\\\ C & B \\end\{vmatrix\} = |A||B| \\\\ \\\\ \\\\ & \\begin\{vmatrix\} O & A\_\{n\\times n\} \\\\ B\_\{m\\times m\} & O \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} O & A \\\\ B & C \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} C & A \\\\ B & O \\end\{vmatrix\} = (-1)^\{mn\}|A||B| \\end\{aligned\} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣a110⋮00a22⋮0………00⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an10a22⋮an2………00⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a110⋮0a12a22⋮0………a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=i=1∏naii∣∣∣∣∣∣∣∣∣00⋮an1………0a2,n−1⋮0a1n0⋮0∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣00⋮an1……0a2,n−1a1n∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣an1…a2,n−1⋮0a1n0⋮0∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(−1)2n(n−1)a1na2,n−1…an1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1x12⋮x1n−11x2x22⋮x2n−1⋯⋯⋯⋯1xnxn2⋮xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=1≤i<j≤n∏(xj−xi)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣abb⋮bbab⋮bbba⋮b⋯⋯⋯⋯bbb⋮a∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=\[a\+(n−1)b\](a−b)n−1∣∣∣∣AOOB∣∣∣∣=∣∣∣∣AOCB∣∣∣∣=∣∣∣∣ACOB∣∣∣∣=∣A∣∣B∣∣∣∣∣OBm×mAn×nO∣∣∣∣=∣∣∣∣OBAC∣∣∣∣=∣∣∣∣CBAO∣∣∣∣=(−1)mn∣A∣∣B∣

## 矩阵 ##

( A T ) T = A ( k A ) T = k A T ( A + B ) T = A T + B T ( A B ) T = B T A T A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A = ∣ A ∣ ( A ∗ ) − 1 ( A − 1 ) − 1 = A ( k A ) − 1 = k − 1 A − 1 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T ( A T ) ∗ = ( A ∗ ) T ( A − 1 ) ∗ = ( A ∗ ) − 1 ( A B ) ∗ = B ∗ A ∗ ( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∣ n − 2 A ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 \[ A ∣ E \] → 初 等 行 变 换 \[ E ∣ A − 1 \] \[ A ∣ B \] → 初 等 行 变 换 \[ E ∣ A − 1 B \] \\begin\{aligned\} & (A^T)^T = A \\\\ \\\\ & (kA)^T = kA^T \\\\ \\\\ & (A+B)^T = A^T + B^T \\\\ \\\\ & (AB)^T = B^TA^T \\\\ \\\\ & AA^\* = A^\*A = |A|E \\\\ \\\\ & |A^\*|=|A|^\{n-1\} \\\\ \\\\ & A^\{-1\} = \\frac\{1\}\{|A|\}A^\* \\\\ \\\\ & A = |A|(A^\*)^\{-1\} \\\\ \\\\ & (A^\{-1\})^\{-1\} = A \\\\ \\\\ & (kA)^\{-1\} = k^\{-1\}A^\{-1\} \\\\ \\\\ & (AB)^\{-1\} =B^\{-1\}A^\{-1\} \\\\ \\\\ & (A^T)^\{-1\} = (A^\{-1\})^T \\\\ \\\\ & (A^T)^\* = (A^\*)^T \\\\ \\\\ & (A^\{-1\})^\* = (A^\*)^\{-1\} \\\\ \\\\ & (AB)^\* = B^\*A^\* \\\\ \\\\ & (A^\*)^\* = |A|^\{n-2\}A \\\\ \\\\ & |A^\{-1\}| = |A|^\{-1\} \\\\ \\\\ & \[A|E\] \\xrightarrow\{初等行变换\}\[E|A^\{-1\}\] \\\\\\\\ & \[A|B\] \\xrightarrow\{初等行变换\}\[E|A^\{-1\}B\] \\\\\\\\ \\end\{aligned\} (AT)T=A(kA)T=kAT(A\+B)T=AT\+BT(AB)T=BTATAA∗=A∗A=∣A∣E∣A∗∣=∣A∣n−1A−1=∣A∣1A∗A=∣A∣(A∗)−1(A−1)−1=A(kA)−1=k−1A−1(AB)−1=B−1A−1(AT)−1=(A−1)T(AT)∗=(A∗)T(A−1)∗=(A∗)−1(AB)∗=B∗A∗(A∗)∗=∣A∣n−2A∣A−1∣=∣A∣−1\[A∣E\]初等行变换\[E∣A−1\]\[A∣B\]初等行变换\[E∣A−1B\]

## 分块矩阵 ##

\[ A O O B \] n = \[ A n O O B n \] \\begin\{aligned\} \\begin\{bmatrix\} A & O \\\\ O & B \\end\{bmatrix\}^n = \\begin\{bmatrix\} A^n & O \\\\ O & B^n \\end\{bmatrix\} \\end\{aligned\} \[AOOB\]n=\[AnOOBn\]

## 正交矩阵 ##

A 是 正 交 矩 阵    ⟺    A T = A − 1    ⟺    A T A = A A T = E    ⟺    A 的 行 （ 列 ） 向 量 组 是 标 准 正 交 向 量 组    ⟹    ∣ A ∣ = ± 1    ⟹    λ = ± 1 \\begin\{aligned\} & A是正交矩阵 \\\\\\\\ \\iff & A^T =A^\{-1\} \\\\ \\\\ \\iff & A^T A = AA^T = E \\\\ \\\\ \\iff & A的行（列）向量组是标准正交向量组 \\\\ \\\\ \\implies & |A| = \\pm 1 \\\\ \\\\ \\implies & \\lambda = \\pm 1 \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} ⟺⟺⟺⟹⟹A是正交矩阵AT=A−1ATA=AAT=EA的行（列）向量组是标准正交向量组∣A∣=±1λ=±1

## 施密特正交化 ##

β 1 = α 1 β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 β 3 = α 3 − ( α 3 , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) β 2 − ( α 3 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 ⋯ ⋯ β n = α n − ( α n , β n − 1 ) ( β n − 1 , β n − 1 ) β n − 1 − ( α n , β n − 2 ) ( β n − 2 , β n − 2 ) β n − 2 − ⋯ − ( α n , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 η 1 = β 1 ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ , η 2 = β 2 ∣ ∣ β 2 ∣ ∣ , ⋯   , η n = β n ∣ ∣ β n ∣ ∣ 其 中 ： ( α , β ) = α T β = β T α = ∑ i = 1 n a i b i ( α , α ) = a 1 2 + a 2 2 + ⋯ + a n 2 = ∑ i = 1 n a i 2 ∣ ∣ β ∣ ∣ = ( β , β ) = b 1 2 + b 2 2 + ⋯ + b n 2 \\begin\{aligned\} & \\beta\_1 = \\alpha\_1 \\\\ \\\\ & \\beta\_2 = \\alpha\_2 - \\frac\{(\\alpha\_2,\\beta\_1)\}\{(\\beta\_1, \\beta\_1)\}\\beta\_1 \\\\ \\\\ & \\beta\_3 = \\alpha\_3 - \\frac\{(\\alpha\_3,\\beta\_2)\}\{(\\beta\_2,\\beta\_2)\}\\beta\_2 - \\frac\{(\\alpha\_3,\\beta\_1)\}\{(\\beta\_1,\\beta\_1)\}\\beta\_1 \\\\ \\\\ & \\cdots\\cdots \\\\\\\\ & \\beta\_n = \\alpha\_n - \\frac\{(\\alpha\_n,\\beta\_\{n-1\})\}\{(\\beta\_\{n-1\},\\beta\_\{n-1\})\}\\beta\_\{n-1\} - \\frac\{(\\alpha\_n,\\beta\_\{n-2\})\}\{(\\beta\_\{n-2\},\\beta\_\{n-2\})\}\\beta\_\{n-2\} - \\cdots - \\frac\{(\\alpha\_n,\\beta\_1)\}\{(\\beta\_1,\\beta\_1)\}\\beta\_1 \\\\ \\\\ \\\\ & \\eta\_1 = \\frac\{\\beta\_1\}\{||\\beta\_1||\}, \\eta\_2 = \\frac\{\\beta\_2\}\{||\\beta\_2||\}, \\cdots , \\eta\_n = \\frac\{\\beta\_n\}\{||\\beta\_n||\} \\\\\\\\\\\\ 其中：& (\\alpha, \\beta) = \\alpha^T\\beta = \\beta^T\\alpha=\\sum\_\{i=1\}^na\_ib\_i \\\\ \\\\ & (\\alpha,\\alpha) = a\_1^2 + a\_2^2 + \\cdots +a\_n^2 = \\sum\_\{i=1\}^n a\_i^2 \\\\ \\\\ & || \\beta || = \\sqrt\{(\\beta,\\beta)\} = \\sqrt\{b\_1^2+b\_2^2 + \\cdots + b\_n^2 \} \\end\{aligned\} 其中：β1=α1β2=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1β3=α3−(β2,β2)(α3,β2)β2−(β1,β1)(α3,β1)β1⋯⋯βn=αn−(βn−1,βn−1)(αn,βn−1)βn−1−(βn−2,βn−2)(αn,βn−2)βn−2−⋯−(β1,β1)(αn,β1)β1η1=∣∣β1∣∣β1,η2=∣∣β2∣∣β2,⋯,ηn=∣∣βn∣∣βn(α,β)=αTβ=βTα=i=1∑naibi(α,α)=a12\+a22\+⋯\+an2=i=1∑nai2∣∣β∣∣=(β,β)=b12\+b22\+⋯\+bn2

## 可逆矩阵 ##

A 可 逆    ⟺    ∣ A ∣ ≠ 0    ⟺    A 的 行 （ 列 ） 向 量 组 线 性 无 关    ⟺    A x = 0 有 唯 一 零 解    ⟺    A x = b 有 唯 一 解    ⟺    r ( A ) = n    ⟺    特 征 值 λ i ≠ 0 \\begin\{aligned\} & A可逆 \\\\\\\\ \\iff & |A| \\ne 0 \\\\ \\\\ \\iff & A的行（列）向量组线性无关 \\\\\\\\ \\iff & Ax=0 有唯一零解 \\\\\\\\ \\iff & Ax=b 有唯一解 \\\\\\\\ \\iff & r(A)=n \\\\\\\\ \\iff & 特征值 \\lambda\_i \\ne 0 \\end\{aligned\} ⟺⟺⟺⟺⟺⟺A可逆∣A∣=0A的行（列）向量组线性无关Ax=0有唯一零解Ax=b有唯一解r(A)=n特征值λi=0

## 等价矩阵 ##

A , B 等 价    ⟺    A ≅ B    ⟺    P A Q = B ,       P , Q 可 逆    ⟺    r ( A ) = r ( B ) \{ α 1 , α 2 , ⋯   , α s \} ≅ \{ β 1 , β 2 , ⋯   , β t \}    ⟺    \{ α 1 , α 2 , ⋯   , α s \} 与 \{ β 1 , β 2 , ⋯   , β t \} 可 以 互 相 表 出    ⟺    r ( α 1 , α 2 , ⋯   , α s ) = r ( β 1 , β 2 , ⋯   , β t ) ， 且 可 单 方 向 表 出    ⟺    r ( α 1 , α 2 , ⋯   , α s ) = r ( β 1 , β 2 , ⋯   , β t ) = r ( α 1 , α 2 , ⋯   , α s , β 1 , β 2 , ⋯   , β t ) \\begin\{aligned\} & A, B等价 \\\\\\\\ \\iff & A \\cong B \\\\ \\\\ \\iff & PAQ = B , ~~~~~P,Q可逆 \\\\ \\\\ \\iff & r(A) = r(B) \\\\\\\\\\\\ & \\\{\\alpha\_1,\\alpha\_2, \\cdots, \\alpha\_s\\\} \\cong \\\{\\beta\_1,\\beta\_2, \\cdots, \\beta\_t \\\} \\\\ \\\\ \\iff & \\\{\\alpha\_1,\\alpha\_2, \\cdots, \\alpha\_s\\\} 与 \\\{\\beta\_1,\\beta\_2, \\cdots, \\beta\_t \\\} 可以互相表出 \\\\ \\\\ \\iff & r(\\alpha\_1,\\alpha\_2, \\cdots, \\alpha\_s) = r(\\beta\_1,\\beta\_2, \\cdots, \\beta\_t )，且可单方向表出 \\\\ \\\\ \\iff & r(\\alpha\_1,\\alpha\_2, \\cdots, \\alpha\_s) = r(\\beta\_1,\\beta\_2, \\cdots, \\beta\_t ) = r(\\alpha\_1,\\alpha\_2, \\cdots, \\alpha\_s, \\beta\_1,\\beta\_2, \\cdots, \\beta\_t) \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} ⟺⟺⟺⟺⟺⟺A,B等价A≅BPAQ=B,     P,Q可逆r(A)=r(B)\{ α1,α2,⋯,αs\}≅\{ β1,β2,⋯,βt\}\{ α1,α2,⋯,αs\}与\{ β1,β2,⋯,βt\}可以互相表出r(α1,α2,⋯,αs)=r(β1,β2,⋯,βt)，且可单方向表出r(α1,α2,⋯,αs)=r(β1,β2,⋯,βt)=r(α1,α2,⋯,αs,β1,β2,⋯,βt)

## 秩相关公式 ##

A 是 m × n 矩 阵 ， 则 ： r ( A ) ≤ m i n \{ m , n \} r ( A ) = r ( A T ) r ( k A ) = r ( A )    ( k ≠ 0 ) r ( A + B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) r ( A B ) ≤ m i n \{ r ( A ) , r ( B ) \} r ( A ) + r ( B ) − n ≤ r ( A B ) r ( A ) + r ( B ) ≤ n      （ 其 中 ， A B = O , n 是 A 的 列 数 或 B 的 行 数 ） r ( A O O B ) = r ( A ) + r ( B ) r ( A ) + r ( B ) ≤ r ( A O C B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) + r ( C ) r ( A ) = r ( A T A ) r ( A ) = 1    ⟹    ∃ 非 零 α , β ， 使 得 A = α β T r ( α α T ) = 1 \{ r ( A ) = n               ⟹        r ( A ∗ ) = n r ( A ) = n − 1        ⟹        r ( A ∗ ) = 1 r ( A ) < n − 1        ⟹        r ( A ∗ ) = 0 \\begin\{aligned\} & A是m\\times n矩阵，则：\\\\\\\\ & r(A) \\le min\\\{m,n\\\} \\\\ \\\\ & r(A) = r(A^T) \\\\ \\\\ & r(kA) = r(A) ~~(k\\ne0)\\\\ \\\\ & r(A+B) \\le r(A) + r(B) \\\\ \\\\ & r(AB) \\le min\\\{r(A), r(B)\\\} \\\\ \\\\ & r(A) + r(B) -n \\le r(AB) \\\\ \\\\ & r(A) + r(B) \\le n ~~~~（其中，AB=O,n是A的列数或B的行数） \\\\\\\\ & r\\begin\{pmatrix\} A & O \\\\ O & B \\end\{pmatrix\} = r(A) + r(B) \\\\ \\\\ & r(A) + r(B) \\le r\\begin\{pmatrix\} A & O \\\\ C & B \\end\{pmatrix\} \\le r(A) + r(B) + r(C) \\\\\\\\ & r(A) = r(A^T A) \\\\ \\\\ & r(A) = 1 \\implies \\exists 非零 \\alpha, \\beta ，使得 A = \\alpha\\beta^T \\\\ \\\\ & r(\\alpha \\alpha^T) = 1 \\\\ \\\\ & \\begin\{cases\} r(A) = n ~~~~~~~~~~ \\implies ~~~ r(A^\*) = n \\\\ r(A) = n - 1 ~~~ \\implies ~~~ r(A^\*) = 1 \\\\ r(A) < n - 1 ~~~ \\implies ~~~ r(A^\*) = 0 \\\\ \\end\{cases\} \\\\\\\\ \\end\{aligned\} A是m×n矩阵，则：r(A)≤min\{ m,n\}r(A)=r(AT)r(kA)=r(A)  (k=0)r(A\+B)≤r(A)\+r(B)r(AB)≤min\{ r(A),r(B)\}r(A)\+r(B)−n≤r(AB)r(A)\+r(B)≤n    （其中，AB=O,n是A的列数或B的行数）r(AOOB)=r(A)\+r(B)r(A)\+r(B)≤r(ACOB)≤r(A)\+r(B)\+r(C)r(A)=r(ATA)r(A)=1⟹∃非零α,β，使得A=αβTr(ααT)=1⎩⎪⎨⎪⎧r(A)=n          ⟹   r(A∗)=nr(A)=n−1   ⟹   r(A∗)=1r(A)<n−1   ⟹   r(A∗)=0

## 特征值与特征向量 ##

∑ i = 1 n λ i = ∑ i = 1 n a i i ∏ i = 1 n λ i = ∣ A ∣ \\begin\{aligned\} & \\sum\_\{i=1\}^n \\lambda\_i = \\sum\_\{i=1\}^n a\_\{ii\} \\\\ \\\\ & \\prod\_\{i=1\}^n \\lambda\_i = |A| \\\\\\\\ \\end\{aligned\} i=1∑nλi=i=1∑naiii=1∏nλi=∣A∣

矩 阵 A k A A k f ( A ) A − 1 A ∗ A − 1 + f ( A ) 特 征 值 λ k λ λ k f ( λ ) λ − 1 ∣ A ∣ λ 1 λ + f ( λ ) 对 应 的 特 征 向 量 ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ \\def\\arraystretch\{2\} \\begin\{array\}\{c:c:c:c:c:c:c:c\} 矩阵 & A & kA & A^k & f(A) & A^\{-1\} & A^\* & A^\{-1\} + f(A) \\\\ \\hline 特征值 & \\lambda & k\\lambda & \\lambda^k & f(\\lambda) & \\lambda^\{-1\} & \\frac\{|A|\}\{\\lambda\} & \\frac\{1\}\{\\lambda\} + f(\\lambda) \\\\ \\hline 对应的特征向量 & \\xi & \\xi&\\xi&\\xi&\\xi&\\xi&\\xi \\end\{array\} 矩阵特征值对应的特征向量AλξkAkλξAkλkξf(A)f(λ)ξA−1λ−1ξA∗λ∣A∣ξA−1\+f(A)λ1\+f(λ)ξ

## 相似矩阵 ##

A ∼ B    ⟺    P − 1 A P = B    ⟺    λ E − A ∼ λ E − B    ⟺    μ E − A ≅ μ E − B （ 其 中 μ 为 任 意 实 数 ， 即 r ( μ E − A ) = r ( μ E − B ) ）    ⟹    r ( A ) = r ( B )    ⟹    ∣ A ∣ = ∣ B ∣    ⟹    ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ E − B ∣    ⟹    r ( λ E − A ) = r ( λ E − B )    ⟹    A , B 特 征 值 相 同 ， 且 相 同 特 征 值 对 应 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 个 数 相 同    ⟹    ∑ a i i = ∑ b i i    ⟹    A 与 B 均 可 对 角 化 ， 或 均 不 可 对 角 化    ⟹    A ⋍ B     （ A , B 合 同 ）    ⟹    A m ∼ B m    ⟹    A T ∼ B T    ⟹    f ( A ) ∼ f ( B )    ⟹    A − 1 ∼ B − 1    ⟹    f ( A − 1 ) ∼ f ( B − 1 ) \\begin\{aligned\} & A \\sim B \\\\ \\\\ \\iff & P^\{-1\}AP = B \\\\\\\\ \\iff & \\lambda E-A \\sim \\lambda E-B \\\\\\\\ \\iff & \\mu E-A \\cong \\mu E-B （其中\\mu 为任意实数，即 r(\\mu E-A) = r(\\mu E-B)） \\\\\\\\\\\\ \\implies & r(A) = r(B) \\\\ \\\\ \\implies & |A| = |B| \\\\ \\\\ \\implies & |\\lambda E-A| = |\\lambda E-B| \\\\ \\\\ \\implies & r(\\lambda E-A) = r(\\lambda E-B) \\\\ \\\\ \\implies & A,B特征值相同，且相同特征值对应的线性无关的特征向量个数相同 \\\\ \\\\ \\implies & \\sum a\_\{ii\} = \\sum b\_\{ii\} \\\\ \\\\ \\implies & A与B均可对角化，或均不可对角化 \\\\ \\\\ \\implies & A\\backsimeq B ~~~（A,B合同） \\\\\\\\ \\implies & A^m \\sim B^m \\\\ \\\\ \\implies & A^T \\sim B^T \\\\ \\\\ \\implies & f(A) \\sim f(B) \\\\ \\\\ \\implies & A^\{-1\} \\sim B^\{-1\} \\\\ \\\\ \\implies & f(A^\{-1\}) \\sim f(B^\{-1\}) \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} ⟺⟺⟺⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹A∼BP−1AP=BλE−A∼λE−BμE−A≅μE−B（其中μ为任意实数，即r(μE−A)=r(μE−B)）r(A)=r(B)∣A∣=∣B∣∣λE−A∣=∣λE−B∣r(λE−A)=r(λE−B)A,B特征值相同，且相同特征值对应的线性无关的特征向量个数相同∑aii=∑biiA与B均可对角化，或均不可对角化A⋍B   （A,B合同）Am∼BmAT∼BTf(A)∼f(B)A−1∼B−1f(A−1)∼f(B−1)

## 相似对角化 ##

A ∼ Λ    ⟺    A 有 n 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量    ⟺    A 的 r i 重 特 征 值 有 r i 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 A = A T       （ A 是 实 对 称 矩 阵 ）    ⟹    A 的 特 征 值 为 实 数 ， 特 征 向 量 为 实 向 量    ⟹    A ∼ Λ    ⟹    A 的 属 于 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 相 互 正 交 \\begin\{aligned\} & A \\sim \\Lambda \\\\ \\\\ \\iff & A有n个线性无关的特征向量 \\\\\\\\ \\iff & A的r\_i重特征值有r\_i个线性无关的特征向量 \\\\ \\\\ \\\\ \\\\ & A = A^T ~~~~~（A是实对称矩阵） \\\\ \\\\ \\implies & A的特征值为实数，特征向量为实向量 \\\\ \\\\ \\implies & A \\sim \\Lambda \\\\\\\\ \\implies & A的属于不同特征值的特征向量相互正交 \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} ⟺⟺⟹⟹⟹A∼ΛA有n个线性无关的特征向量A的ri重特征值有ri个线性无关的特征向量A=AT     （A是实对称矩阵）A的特征值为实数，特征向量为实向量A∼ΛA的属于不同特征值的特征向量相互正交

# 矩阵合同 #

A ， B 合 同    ⟺    A ⋍ B    ⟺    ∃ 可 逆 矩 阵 C ， 使 得 C T A C = B    ⟺    A ， B 正 负 惯 性 指 数 相 同    ⟹    r ( A ) = r ( B ) = 不 能 推 出 ⇏ A ， B 相 似 合 同 判 别 法 ： A , B 均 为 实 对 称 矩 阵 ， A , B 合 同 的 充 分 必 要 条 件 是 A , B 的 正 负 惯 性 指 数 相 同 \\begin\{aligned\} & A，B合同 \\\\\\\\ \\iff & A \\backsimeq B \\\\\\\\ \\iff & \\exist 可逆矩阵 C，使得 C^TAC=B \\\\\\\\ \\iff & A，B正负惯性指数相同 \\\\\\\\\\\\ \\implies & r(A) = r(B) \\\\\\\\ \\xlongequal\{不能推出\}\\nRightarrow & A，B相似 \\\\\\\\\\\\ 合同判别法：& A,B均为实对称矩阵，A,B合同的充分必要条件是A,B的正负惯性指数相同 \\end\{aligned\} ⟺⟺⟺⟹不能推出⇏合同判别法：A，B合同A⋍B∃可逆矩阵C，使得CTAC=BA，B正负惯性指数相同r(A)=r(B)A，B相似A,B均为实对称矩阵，A,B合同的充分必要条件是A,B的正负惯性指数相同

## 正定二次型 ##

f = x T A x 正 定    ⟺    对 任 意 x ≠ 0 , x T A x > 0    ⟺    f 的 正 惯 性 指 数 p = n    ⟺    ∃ 可 逆 阵 D ， 使 A = D T D    ⟺    A ⋍ E    ⟺    A 与 一 正 定 矩 阵 合 同    ⟺    ∃ 可 逆 矩 阵 P ， 使 P T A P = E    ⟺    A 的 所 有 特 征 值 λ i > 0    ⟺    A 的 全 部 顺 序 主 子 式 > 0    ⟹    a i i > 0    ⟹    ∣ A ∣ > 0    ⟹    k A , A T , A k , A − 1 , A ∗ , f ( A ) 正 定 ( A O O B ) 正 定    ⟺    A ， B 正 定 \\begin\{aligned\} & f=x^TAx正定 \\\\\\\\ \\iff & 对任意x \\ne 0, x^TAx>0 \\\\ \\\\ \\iff & f的正惯性指数 p = n \\\\ \\\\ \\iff & \\exists 可逆阵D，使 A = D^TD \\\\ \\\\ \\iff & A \\backsimeq E \\\\ \\\\ \\iff & A与一正定矩阵合同 \\\\ \\\\ \\iff & \\exists 可逆矩阵P，使 P^TAP = E \\\\\\\\ \\iff & A的所有特征值 \\lambda\_i>0 \\\\ \\\\ \\iff & A的全部顺序主子式 > 0 \\\\ \\\\ \\implies & a\_\{ii\} >0 \\\\ \\\\ \\implies & |A| > 0 \\\\ \\\\ \\implies & kA, A^T,A^k, A^\{-1\}, A^\*, f(A)正定 \\\\ \\\\ \\\\ & \\begin\{pmatrix\} A & O \\\\ O & B \\end\{pmatrix\} 正定 \\iff A，B正定 \\end\{aligned\} ⟺⟺⟺⟺⟺⟺⟺⟺⟹⟹⟹f=xTAx正定对任意x=0,xTAx>0f的正惯性指数p=n∃可逆阵D，使A=DTDA⋍EA与一正定矩阵合同∃可逆矩阵P，使PTAP=EA的所有特征值λi>0A的全部顺序主子式>0aii>0∣A∣>0kA,AT,Ak,A−1,A∗,f(A)正定(AOOB)正定⟺A，B正定

## 二次型配方法（通法） ##

[参考资料][Link 2]：https://www.bilibili.com/video/BV15f4y1d7Ws

情 形 1 ： 二 次 型 含 有 平 方 项 ， 即 ∃ a i i ≠ 0 ， 不 妨 设 a 11 ≠ 0 1. 记 f 1 = 1 2 ∂ f ∂ x 1 2. 令 f ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . ) = 1 a 11 ( f 1 ) 2 + g ， 此 时 g 中 不 含 x 1 3. 对 g 继 续 对 x 2 进 行 上 述 操 作 情 形 2 ： 二 次 型 不 含 平 方 项 ， 即 任 意 a i i = 0 ， 但 至 少 存 在 一 个 a 1 j ≠ 0 ， 不 妨 设 a 12 ≠ 0 1. 记 f 1 = 1 2 ∂ f ∂ x 1 ,    f 2 = 1 2 ∂ f ∂ x 2 2. 令 f ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . ) = 1 a 12 \[ ( f 1 + f 2 ) 2 − ( f 1 − f 2 ) 2 \] + ϕ ， 此 时 ， ϕ 不 含 x 1 , x 2 根 据 当 前 未 配 出 的 多 项 式 ， 根 据 情 况 进 行 相 应 处 理 \\begin\{aligned\} 情形1：& 二次型含有平方项，即\\exist a\_\{ii\} \\neq 0，不妨设a\_\{11\}\\neq 0 \\\\\\\\ & 1. 记 f\_1 = \\frac\{1\}\{2\} \\frac\{\\partial f\}\{\\partial x\_1\} \\\\\\\\ & 2. 令 f(x\_1, x\_2, x\_3, ...) = \\frac\{1\}\{a\_\{11\}\} (f\_1)^2 +g，此时g中不含x1 \\\\\\\\ & 3. 对g继续对x\_2进行上述操作 \\\\\\\\ 情形2：&二次型不含平方项，即任意 a\_\{ii\} = 0，但至少存在一个 a\_\{1j\} \\neq 0，不妨设 a\_\{12\} \\neq 0 \\\\ \\\\ & 1. 记 f\_1 = \\frac\{1\}\{2\} \\frac\{\\partial f\}\{\\partial x\_1\},~~f\_2 = \\frac\{1\}\{2\} \\frac\{\\partial f\}\{\\partial x\_2\} \\\\ \\\\ & 2. 令 f(x\_1,x\_2,x\_3,...) = \\frac\{1\}\{a\_\{12\}\} \[(f\_1+f\_2)^2 - (f\_1-f\_2)^2\] + \\phi， 此时，\\phi不含x\_1,x\_2 \\\\ \\\\ \\\\ & 根据当前未配出的多项式，根据情况进行相应处理 \\end\{aligned\} 情形1：情形2：二次型含有平方项，即∃aii=0，不妨设a11=01.记f1=21∂x1∂f2.令f(x1,x2,x3,...)=a111(f1)2\+g，此时g中不含x13.对g继续对x2进行上述操作二次型不含平方项，即任意aii=0，但至少存在一个a1j=0，不妨设a12=01.记f1=21∂x1∂f,  f2=21∂x2∂f2.令f(x1,x2,x3,...)=a121\[(f1\+f2)2−(f1−f2)2\]\+ϕ，此时，ϕ不含x1,x2根据当前未配出的多项式，根据情况进行相应处理

[Link 1]: https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/106039576
[Link 2]: https://www.bilibili.com/video/BV15f4y1d7Ws