考研必备数学公式大全（数学二）（基础回顾篇）

谁践踏了优雅 2022-09-08 11:55 1209阅读 0赞

> 由于公式太多，汇总成一篇容易打不开，所以分三篇。[整篇链接][Link 1]：https://blog.csdn.net/zhaohongfei\_358/article/details/106039576

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### 文章目录 ###

*  基础回顾
 *   *  面（体）积公式
     *  一元二次方程基础
     *  极坐标方程与直角坐标转换
     *  切线与法线方程
     *  因式分解公式
     *  阶乘与双阶乘
     *  函数的奇偶性
     *  排列组合
     *  等差数列
     *  等比数列
     *  常用数列前n项和
     *  不等式
     *  三角函数公式
     *   *  诱导公式
         *  平方关系
         *  两角和与差的三角函数
         *  积化和差公式
         *  和差化积公式
         *  倍角公式
         *  半角公式
         *  万能公式
         *  其他公式
     *  反三角函数恒等式

# 基础回顾 #

## 面（体）积公式 ##

球 表 面 积 公 式 ： S = 4 π R 2 球 体 积 公 式 ： V = 4 3 π R 3 圆 锥 体 积 公 式 ： V = 1 3 s h       ( s 为 圆 锥 底 面 积 ， h 为 圆 锥 的 高 ) 椭 圆 面 积 公 式 ： S = π a b 扇 形 面 积 公 式 ： S = 1 2 l r = 1 2 r 2 θ       （ 其 中 l 为 弧 长 ， r 为 半 径 ， θ 为 夹 角 ( 用 π 表 示 ) ） \\begin\{aligned\} & \\\\ & 球表面积公式：S= 4\\pi R^2 \\\\ \\\\ & 球体积公式：V = \\frac\{4\}\{3\}\\pi R^3 \\\\ \\\\ & 圆锥体积公式：V=\\frac\{1\}\{3\} sh ~~~~~(s为圆锥底面积，h为圆锥的高) \\\\\\\\ & 椭圆面积公式： S=\\pi ab \\\\ \\\\ & 扇形面积公式： S= \\frac\{1\}\{2\}l r = \\frac\{1\}\{2\}r^2\\theta ~~~~~（其中l为弧长，r为半径，\\theta为夹角(用\\pi表示)） \\end\{aligned\} 球表面积公式：S=4πR2球体积公式：V=34πR3圆锥体积公式：V=31sh     (s为圆锥底面积，h为圆锥的高)椭圆面积公式：S=πab扇形面积公式：S=21lr=21r2θ     （其中l为弧长，r为半径，θ为夹角(用π表示)）

## 一元二次方程基础 ##

一 元 二 次 方 程 ： a x 2 + b x + c = 0       ( a ≠ 0 ) 根 的 公 式      x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a 韦 达 定 理 ： x 1 + x 2 = − b a         x 1 x 2 = c a 判 别 式 ： Δ = b 2 − 4 a c    ⟹    \{ Δ > 0 ， 两 个 不 等 实 根 Δ = 0 ， 两 个 相 等 实 根 Δ < 0 ， 两 个 共 轭 的 复 根 （ 无 实 根 ） 抛 物 线   y = a x 2 + b x + c 的 顶 点 ： ( − b 2 a , c − b 2 4 a ) \\begin\{aligned\} & \\\\ & 一元二次方程：ax^2 + bx + c =0 ~~~~~(a \\ne 0) \\\\ \\\\ & 根的公式 ~~~~ x\_\{1,2\} = \\frac\{-b \\pm \\sqrt\{b^2-4ac\}\}\{2a\} \\\\ \\\\ & 韦达定理： x\_1 + x\_2 = -\\frac\{b\}\{a\} ~~~~~~~ x\_1 x\_2 = \\frac\{c\}\{a\} \\\\ \\\\ & 判别式： \\Delta=b^2 - 4ac \\implies \\begin\{cases\} \\Delta >0，两个不等实根 \\\\ \\Delta =0，两个相等实根 \\\\ \\Delta <0，两个共轭的复根（无实根） \\\\ \\end\{cases\} \\\\\\\\ & 抛物线~ y=ax^2 + bx + c 的顶点：(-\\frac\{b\}\{2a\}, c-\\frac\{b^2\}\{4a\}) \\end\{aligned\} 一元二次方程：ax2\+bx\+c=0     (a=0)根的公式    x1,2=2a−b±b2−4ac韦达定理：x1\+x2=−ab       x1x2=ac判别式：Δ=b2−4ac⟹⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，两个不等实根Δ=0，两个相等实根Δ<0，两个共轭的复根（无实根）抛物线 y=ax2\+bx\+c的顶点：(−2ab,c−4ab2)

## 极坐标方程与直角坐标转换 ##

直 角 坐 标 化 极 坐 标 \{ x = ρ cos ⁡ θ y = ρ sin ⁡ θ    ⟹    x 2 + y 2 = ρ 2 极 坐 标 化 直 角 坐 标 ： ρ 2 = x 2 + y 2    ⟹    tan ⁡ θ = y x \\begin\{aligned\} &直角坐标化极坐标 \\begin\{cases\} x = \\rho \\cos \\theta \\\\ y = \\rho \\sin \\theta \\end\{cases\} \\implies x^2+y^2=\\rho ^2 \\\\\\\\ &极坐标化直角坐标 ：\\rho ^2 = x^2+y^2 \\implies \\tan \\theta = \\frac\{y\}\{x\} \\\\\\\\ \\end\{aligned\} 直角坐标化极坐标\{ x=ρcosθy=ρsinθ⟹x2\+y2=ρ2极坐标化直角坐标：ρ2=x2\+y2⟹tanθ=xy

## 切线与法线方程 ##

切 线 方 程 ： y − y 0 x − x 0 = f ′ ( x 0 )      ， 即 y − y 0 = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 法 线 方 程 ： y − y 0 x − x 0 = − 1 f ′ ( x 0 )       , 即 y − y 0 = − 1 f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) \\begin\{aligned\} & 切线方程： \\frac\{y - y\_0\}\{x - x\_0\} = f'(x\_0) ~~~~，即 y-y\_0 = f'(x\_0)(x-x\_0) \\\\ \\\\ & 法线方程： \\frac\{y - y\_0\}\{x - x\_0\} = -\\frac\{1\}\{f'(x\_0)\}~~~~~,即y-y\_0 = -\\frac\{1\}\{f'(x\_0)\}(x-x\_0) \\end\{aligned\} 切线方程：x−x0y−y0=f′(x0)    ，即y−y0=f′(x0)(x−x0)法线方程：x−x0y−y0=−f′(x0)1     ,即y−y0=−f′(x0)1(x−x0)

## 因式分解公式 ##

( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) a n − b n = ( a − b ) ( a n − 1 + a n − 2 b + ⋯ + a b n − 2 + b n − 1 ) ( a + b ) n = ∑ k = 0 n C n k a k b n − k = a n + n a n − 1 b + n ( n − 1 ) 2 ! a n − 1 b 2 + ⋯ + n ( n − 1 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ! a n − k b k + ⋯ + n a b n − 1 + b n \\begin\{aligned\} & \\\\ & (a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2 \\\\ \\\\ & (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \\\\ \\\\ & (a+b+c)^2 =a^2+b^2+c^2 + 2ab+2ac+2bc \\\\\\\\ & (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\\\ \\\\ & (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b+3ab^2-b^3 \\\\ \\\\ & (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \\\\ \\\\ & a^3 + b^3 = (a+b) (a^2 -ab + b^2) \\\\ \\\\ & a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \\\\ \\\\ & a^n-b^n = (a-b)(a^\{n-1\} + a^\{n-2\}b + \\cdots + ab^\{n-2\} + b^\{n-1\}) \\\\ \\\\ & (a+b)^n = \\sum\_\{k=0\}^n C\_n^ka^kb^\{n-k\} = a^n + na^\{n-1\}b + \\frac\{n(n-1)\}\{2!\}a^\{n-1\}b^2 + \\cdots + \\frac\{n(n-1)\\cdots(n-k+1)\}\{k!\}a^\{n-k\}b^k + \\cdots + nab^\{n-1\} + b^n \\end\{aligned\} (a\+b)2=a2\+2ab\+b2(a−b)2=a2−2ab\+b2(a\+b\+c)2=a2\+b2\+c2\+2ab\+2ac\+2bc(a\+b)3=a3\+3a2b\+3ab2\+b3(a−b)3=a3−3a2b\+3ab2−b3(a\+b)(a−b)=a2−b2a3\+b3=(a\+b)(a2−ab\+b2)a3−b3=(a−b)(a2\+ab\+b2)an−bn=(a−b)(an−1\+an−2b\+⋯\+abn−2\+bn−1)(a\+b)n=k=0∑nCnkakbn−k=an\+nan−1b\+2!n(n−1)an−1b2\+⋯\+k!n(n−1)⋯(n−k\+1)an−kbk\+⋯\+nabn−1\+bn

## 阶乘与双阶乘 ##

n ! = 1 × 2 × 3 × . . . × n       ( 规 定 0 ! = 1 ) ( 2 n ) ! ! = 2 × 4 × 6 × . . . × ( 2 n ) = 2 n ⋅ n ! ( 2 n − 1 ) ! ! = 1 × 3 × 5... × ( 2 n − 1 ) \\begin\{aligned\} & n! = 1\\times2\\times3\\times ... \\times n ~~~~~(规定0!=1) \\\\ \\\\ & (2n)!! = 2\\times4\\times6\\times ... \\times (2n) = 2^n \\cdot n! \\\\ \\\\ & (2n-1)!! = 1\\times3\\times5...\\times(2n-1) \\end\{aligned\} n!=1×2×3×...×n     (规定0!=1)(2n)!!=2×4×6×...×(2n)=2n⋅n!(2n−1)!!=1×3×5...×(2n−1)

## 函数的奇偶性 ##

定 义 在 \[ − a , a \] 上 的 任 一 函 数 ， 可 以 表 示 为 一 个 奇 函 数 与 一 个 偶 函 数 之 和 ： f ( x ) = 1 2 \[ f ( x ) − f ( − x ) \] + 1 2 \[ f ( x ) + f ( − x ) \] \\begin\{aligned\} & 定义在\[-a,a\]上的任一函数，可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和： \\\\ \\\\ & f(x) = \\frac\{1\}\{2\}\[f(x)-f(-x)\] + \\frac\{1\}\{2\}\[f(x) + f(-x)\] \\end\{aligned\} 定义在\[−a,a\]上的任一函数，可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和：f(x)=21\[f(x)−f(−x)\]\+21\[f(x)\+f(−x)\]

## 排列组合 ##

A n m = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − m + 1 ) = n ! ( n − m ) ! C n m = A n m m ! = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − m + 1 ) m ! = n ! m ! ( n − m ) ! \\begin\{aligned\} A\_n^m & = n(n-1)(n-2)\\cdots(n-m +1) \\\\\\\\ & = \\frac\{n!\}\{(n-m)!\} \\\\\\\\ \\\\ C\_n^m & = \\frac\{A\_n^m\}\{m!\} = \\frac\{n(n-1)\\cdots(n-m + 1)\}\{m!\} \\\\\\\\ & = \\frac\{n!\}\{m!(n-m)!\} \\end\{aligned\} AnmCnm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m\+1)=(n−m)!n!=m!Anm=m!n(n−1)⋯(n−m\+1)=m!(n−m)!n!

## 等差数列 ##

a n = a 1 + ( n − 1 ) d S n = n a 1 + n ( n − 1 ) 2 d          n ∈ N ∗ S n = n ( a 1 + a n ) 2 \\begin\{aligned\} & a\_n = a\_1 + (n-1)d \\\\ \\\\ & S\_n = na\_1 + \\frac\{n(n-1)\}\{2\}d ~~~~~~~~ n \\in N^\* \\\\ \\\\ & S\_n = \\frac\{n(a\_1+a\_n)\}\{2\} \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} an=a1\+(n−1)dSn=na1\+2n(n−1)d        n∈N∗Sn=2n(a1\+an)

## 等比数列 ##

a n = a 1 ⋅ q n − 1 S n = a 1 ( 1 − q n ) 1 − q        ( q ≠ 1 ) \\begin\{aligned\} & a\_n = a\_1 \\cdot q^\{n-1\} \\\\ \\\\ & S\_n = \\frac\{a\_1(1-q^n)\}\{1-q\} ~~~~~~(q\\neq 1) \\end\{aligned\} an=a1⋅qn−1Sn=1−qa1(1−qn)      (q=1)

## 常用数列前n项和 ##

∑ k = 1 n k = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 ∑ k = 1 n ( 2 k − 1 ) = 1 + 3 + 5 + ⋯ + ( 2 n − 1 ) = n 2 ∑ k = 1 n k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 ∑ k = 1 n k 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + n 3 = \[ n ( n + 1 ) 2 \] 2 = ( ∑ k = 1 n k ) 2 ∑ k = 1 n k ( k + 1 ) = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ⋯ + n ( n + 1 ) = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 3 ∑ k = 1 n 1 k ( k + 1 ) = 1 1 × 2 + 1 2 × 3 + 1 3 × 4 + ⋯ + 1 n ( n + 1 ) = n n + 1 \\begin\{aligned\} & \\\\ & \\sum\_\{k=1\}^n k = 1 + 2+3+\\cdots + n=\\frac\{n(n+1)\}\{2\} \\\\ \\\\ & \\sum\_\{k=1\}^n (2k-1) = 1+ 3 + 5 + \\cdots + (2n-1) = n^2 \\\\ \\\\ & \\sum\_\{k=1\}^n k^2 = 1^2+2^2+3^2+\\cdots +n^2 = \\frac\{n(n+1)(2n+1)\}\{6\} \\\\ \\\\ & \\sum\_\{k=1\}^n k^3 = 1^3 + 2^3 +3^3 +\\cdots + n^3 = \[\\frac\{n(n+1)\}\{2\}\]^2 = (\\sum\_\{k=1\}^n k)^2 \\\\ \\\\ & \\sum\_\{k=1\}^n k(k+1) = 1 \\times 2 + 2 \\times 3 + 3 \\times 4 + \\cdots + n(n+1) = \\frac\{n(n+1)(n+2)\}\{3\} \\\\\\\\ & \\sum\_\{k=1\}^n \\frac\{1\}\{k(k+1)\} = \\frac\{1\}\{1 \\times 2\} + \\frac\{1\}\{2 \\times 3\} + \\frac\{1\}\{3 \\times 4\} + \\cdots + \\frac\{1\}\{n(n+1)\} = \\frac\{n\}\{n+1\} \\end\{aligned\} k=1∑nk=1\+2\+3\+⋯\+n=2n(n\+1)k=1∑n(2k−1)=1\+3\+5\+⋯\+(2n−1)=n2k=1∑nk2=12\+22\+32\+⋯\+n2=6n(n\+1)(2n\+1)k=1∑nk3=13\+23\+33\+⋯\+n3=\[2n(n\+1)\]2=(k=1∑nk)2k=1∑nk(k\+1)=1×2\+2×3\+3×4\+⋯\+n(n\+1)=3n(n\+1)(n\+2)k=1∑nk(k\+1)1=1×21\+2×31\+3×41\+⋯\+n(n\+1)1=n\+1n

## 不等式 ##

2 ∣ a b ∣ ≤ a 2 + b 2 ∣ a ± b ∣ ≤ ∣ a ∣ + ∣ b ∣ ∣ ∣ a ∣ − ∣ b ∣ ∣ ≤ ∣ a − b ∣ ∣ a 1 ± a 2 ± ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ± a n ∣ ≤ ∣ a 1 ∣ + ∣ a 2 ∣ + ⋅ ⋅ ⋅ + ∣ a n ∣ ∣ ∫ a b f ( x ) d x ∣ ≤ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x       ( a < b ) a b ≤ a + b 2 ≤ a 2 + b 2 2       ( a , b > 0 ) a b c 3 ≤ a + b + c 3 ≤ a 2 + b 2 + c 2 3       ( a , b , c > 0 ) a 1 a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n n ≤ a 1 + a 2 + . . . + a n n ≤ a 1 2 + a 2 2 + . . . + a n 2 n      （ a 1 , a 2 , . . . a n > 0 ， 等 号 当 且 仅 当 a 1 = a 2 = . . . = a n 时 成 立 ） x y ≤ x p p + x q q       ( x , y , p , q > 0 , 1 p + 1 q = 1 ) ( a c + b d ) 2 ≤ ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ) 2 ≤ ( a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 ) \[ ∫ a b f ( x ) ⋅ g ( x ) d x \] 2 ≤ ∫ a b f 2 ( x ) d x ⋅ ∫ a b g 2 ( x ) d x sin ⁡ x < x < tan ⁡ x       ( 0 < x < π 2 ) arctan ⁡ x ≤ x ≤ arcsin ⁡ x       ( 0 ≤ x ≤ 1 ) x + 1 ≤ e x ln ⁡ x ≤ x − 1 1 1 + x < ln ⁡ ( 1 + 1 x ) < 1 x       ( x > 0 ) \\begin\{aligned\} & \\\\ & 2 |ab| \\le a ^ 2 + b^2 \\\\ \\\\ & |a \\pm b| \\le |a| + |b| \\\\ \\\\ & | |a| - |b| | \\le |a-b| \\\\ \\\\ & |a\_1 \\pm a\_2 \\pm \\cdot\\cdot\\cdot\\cdot \\pm a\_n| \\le |a\_1| + |a\_2| + \\cdot\\cdot\\cdot + |a\_n| \\\\ \\\\ & |\\int\_a^b f(x) dx| \\le \\int\_a^b |f(x)| dx ~~~~~(a<b) \\\\ \\\\ & \\sqrt\{ab\} \\le \\frac\{a+b\}\{2\} \\le \\sqrt\{\\frac\{a^2+b^2\}\{2\}\} ~~~~~(a,b>0) \\\\ \\\\ & \\sqrt\[3\]\{abc\} \\le \\frac\{a+b+c\}\{3\} \\le \\sqrt\{\\frac\{a^2+b^2+c^2\}\{3\}\} ~~~~~(a,b,c>0) \\\\ \\\\ & \\sqrt\[n\]\{a\_1a\_2\\cdot\\cdot\\cdot a\_n\} \\le \\frac\{a\_1+a\_2+...+a\_n\}\{n\} \\le \\sqrt\{\\frac\{ \{a\_1\}^2+\{a\_2\}^2 + ... + \{a\_n\}^2\}\{n\}\} ~~~~（a\_1,a\_2,...a\_n > 0，等号当且仅当 a\_1 = a\_2 = ... = a\_n时成立） \\\\ \\\\ & xy \\le \\frac\{x^p\}\{p\} + \\frac\{x^q\}\{q\} ~~~~~(x,y,p,q>0, \\frac\{1\}\{p\}+\\frac\{1\}\{q\}=1) \\\\ \\\\ & (ac+bd)^2 \\le (a^2+b^2)(c^2+d^2) \\\\ \\\\ & (a\_1 b\_1 + a\_2 b\_2 + a\_3 b\_3)^2 \\le (\{a\_1\}^2 + \{a\_2\}^2 + \{a\_3\}^2)(\{b\_1\}^2 + \{b\_2\}^2 + \{b\_3\}^2) \\\\ \\\\ & \[\\int\_a^b f(x)\\cdot g(x) dx\]^2 \\le \\int\_a^bf^2(x)dx \\cdot\\int\_a^bg^2(x)dx \\\\ \\\\ & \\sin x < x < \\tan x ~~~~~(0<x<\\frac\{\\pi\}\{2\}) \\\\ \\\\ & \\arctan x \\le x \\le \\arcsin x ~~~~~(0\\le x \\le 1) \\\\ \\\\ & x+1 \\le e^x \\\\ \\\\ & \\ln x \\le x-1 \\\\ \\\\ & \\frac\{1\}\{1+x\} < \\ln (1+\\frac\{1\}\{x\}) < \\frac\{1\}\{x\} ~~~~~(x>0) \\end\{aligned\} 2∣ab∣≤a2\+b2∣a±b∣≤∣a∣\+∣b∣∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a−b∣∣a1±a2±⋅⋅⋅⋅±an∣≤∣a1∣\+∣a2∣\+⋅⋅⋅\+∣an∣∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx     (a<b)ab≤2a\+b≤2a2\+b2     (a,b>0)3abc≤3a\+b\+c≤3a2\+b2\+c2     (a,b,c>0)na1a2⋅⋅⋅an≤na1\+a2\+...\+an≤na12\+a22\+...\+an2    （a1,a2,...an>0，等号当且仅当a1=a2=...=an时成立）xy≤pxp\+qxq     (x,y,p,q>0,p1\+q1=1)(ac\+bd)2≤(a2\+b2)(c2\+d2)(a1b1\+a2b2\+a3b3)2≤(a12\+a22\+a32)(b12\+b22\+b32)\[∫abf(x)⋅g(x)dx\]2≤∫abf2(x)dx⋅∫abg2(x)dxsinx<x<tanx     (0<x<2π)arctanx≤x≤arcsinx     (0≤x≤1)x\+1≤exlnx≤x−11\+x1<ln(1\+x1)<x1     (x>0)

## 三角函数公式 ##

### 诱导公式 ###

sin ⁡ ( − α ) = − sin ⁡ α cos ⁡ ( − α ) = cos ⁡ α sin ⁡ ( π 2 − α ) = cos ⁡ α cos ⁡ ( π 2 − α ) = sin ⁡ α sin ⁡ ( π 2 + α ) = cos ⁡ α cos ⁡ ( π 2 + α ) = − sin ⁡ α sin ⁡ ( π − α ) = sin ⁡ α cos ⁡ ( π − α ) = − cos ⁡ α sin ⁡ ( π + α ) = − sin ⁡ α cos ⁡ ( π + α ) = − cos ⁡ α 奇 变 偶 不 变 ， 符 号 看 象 限 奇 指    k ⋅ π 2    中 k 看 象 限 是 指 ： 将 α 看 成 锐 角 ， 然 后 看 sin ⁡ ( 变 之 前 的 ， 或 c o s ) ( k ⋅ π 2 ± α ) 的 符 号 \\begin\{aligned\} & \\sin (-\\alpha) = -\\sin \\alpha \\\\ \\\\ & \\cos (-\\alpha) = \\cos \\alpha \\\\ \\\\ & \\sin (\\frac\{\\pi\}\{2\} - \\alpha) = \\cos \\alpha \\\\ \\\\ & \\cos (\\frac\{\\pi\}\{2\} - \\alpha) = \\sin \\alpha \\\\ \\\\ & \\sin (\\frac\{\\pi\}\{2\} + \\alpha) = \\cos \\alpha \\\\ \\\\ & \\cos (\\frac\{\\pi\}\{2\} + \\alpha) = - \\sin \\alpha \\\\ \\\\ & \\sin (\\pi - \\alpha) = \\sin \\alpha \\\\ \\\\ & \\cos (\\pi - \\alpha) = - \\cos \\alpha \\\\ \\\\ & \\sin (\\pi + \\alpha) = - \\sin \\alpha \\\\ \\\\ & \\cos (\\pi + \\alpha) = - \\cos \\alpha \\\\ \\\\ \\\\ & 奇变偶不变，符号看象限 \\\\ & 奇指 ~~ k\\cdot\\frac\{\\pi\}\{2\} ~~ 中 k \\\\ & 看象限是指：将 \\alpha 看成锐角，然后看 \\sin\_\{\_\{(变之前的，或cos)\}\}(k\\cdot\\frac\{\\pi\}\{2\} \\pm \\alpha) 的符号 \\end\{aligned\} sin(−α)=−sinαcos(−α)=cosαsin(2π−α)=cosαcos(2π−α)=sinαsin(2π\+α)=cosαcos(2π\+α)=−sinαsin(π−α)=sinαcos(π−α)=−cosαsin(π\+α)=−sinαcos(π\+α)=−cosα奇变偶不变，符号看象限奇指  k⋅2π  中k看象限是指：将α看成锐角，然后看sin(变之前的，或cos)(k⋅2π±α)的符号

### 平方关系 ###

1 + tan ⁡ 2 α = sec ⁡ 2 α 1 + cot ⁡ 2 α = csc ⁡ 2 α sin ⁡ 2 α + cos ⁡ 2 α = 1 \\begin\{aligned\} & \\\\ & 1 + \\tan ^2 \\alpha = \\sec^2 \\alpha \\\\ \\\\ & 1 + \\cot^2 \\alpha = \\csc ^2 \\alpha \\\\ \\\\ & \\sin^2 \\alpha + \\cos ^2 \\alpha = 1 \\end\{aligned\} 1\+tan2α=sec2α1\+cot2α=csc2αsin2α\+cos2α=1

### 两角和与差的三角函数 ###

sin ⁡ ( α + β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β + cos ⁡ α sin ⁡ β cos ⁡ ( α + β ) = cos ⁡ α cos ⁡ β − sin ⁡ α sin ⁡ β sin ⁡ ( α − β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β − cos ⁡ α sin ⁡ β cos ⁡ ( α − β ) = cos ⁡ α cos ⁡ β + sin ⁡ α cos ⁡ β tan ⁡ ( α + β ) = tan ⁡ α + tan ⁡ β 1 − tan ⁡ α tan ⁡ β tan ⁡ ( α − β ) = tan ⁡ α − tan ⁡ β 1 + tan ⁡ α tan ⁡ β \\begin\{aligned\} & \\sin (\\alpha + \\beta) = \\sin \\alpha \\cos \\beta + \\cos \\alpha \\sin \\beta \\\\ \\\\ & \\cos (\\alpha + \\beta) = \\cos \\alpha \\cos \\beta - \\sin \\alpha \\sin \\beta \\\\ \\\\ & \\sin (\\alpha - \\beta) = \\sin \\alpha \\cos \\beta - \\cos \\alpha \\sin \\beta \\\\ \\\\ & \\cos (\\alpha - \\beta) = \\cos \\alpha \\cos \\beta + \\sin \\alpha \\cos \\beta \\\\ \\\\ & \\tan (\\alpha + \\beta) = \\frac\{\\tan \\alpha + \\tan \\beta\}\{ 1- \\tan \\alpha \\tan \\beta\} \\\\ \\\\ & \\tan (\\alpha - \\beta) = \\frac\{\\tan \\alpha - \\tan \\beta\}\{1+ \\tan \\alpha \\tan \\beta\} \\end\{aligned\} sin(α\+β)=sinαcosβ\+cosαsinβcos(α\+β)=cosαcosβ−sinαsinβsin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβcos(α−β)=cosαcosβ\+sinαcosβtan(α\+β)=1−tanαtanβtanα\+tanβtan(α−β)=1\+tanαtanβtanα−tanβ

### 积化和差公式 ###

cos ⁡ α cos ⁡ β = 1 2 \[ cos ⁡ ( α + β ) + c o s ( α − β ) \] cos ⁡ α sin ⁡ β = 1 2 \[ sin ⁡ ( α + β ) − sin ⁡ ( α − β ) \] sin ⁡ α cos ⁡ β = 1 2 \[ sin ⁡ ( α + β ) + sin ⁡ ( α − β ) \] sin ⁡ α sin ⁡ β = − 1 2 \[ cos ⁡ ( α + β ) − cos ⁡ ( α − β ) \] \\begin\{aligned\} & \\cos \\alpha \\cos \\beta = \\frac\{1\}\{2\} \[\\cos (\\alpha + \\beta) + cos (\\alpha - \\beta)\] \\\\ \\\\ & \\cos \\alpha \\sin \\beta = \\frac\{1\}\{2\} \[\\sin(\\alpha + \\beta) - \\sin (\\alpha - \\beta)\] \\\\ \\\\ & \\sin \\alpha \\cos \\beta = \\frac \{1\}\{2\} \[\\sin (\\alpha + \\beta) + \\sin (\\alpha - \\beta)\] \\\\ \\\\ & \\sin \\alpha \\sin \\beta = - \\frac\{1\}\{2\} \[\\cos (\\alpha + \\beta) - \\cos (\\alpha - \\beta)\] \\end\{aligned\} cosαcosβ=21\[cos(α\+β)\+cos(α−β)\]cosαsinβ=21\[sin(α\+β)−sin(α−β)\]sinαcosβ=21\[sin(α\+β)\+sin(α−β)\]sinαsinβ=−21\[cos(α\+β)−cos(α−β)\]  
记忆口诀：  
积化和差得和差，余弦在后要想加。异名函数取正弦，正弦相乘取负号。

### 和差化积公式 ###

sin ⁡ α + sin ⁡ β = 2 sin ⁡ α + β 2 cos ⁡ α − β 2 sin ⁡ α − sin ⁡ β = 2 cos ⁡ α + β 2 sin ⁡ α − β 2 cos ⁡ α + cos ⁡ β = 2 cos ⁡ α + β 2 cos ⁡ α − β 2 cos ⁡ α − cos ⁡ β = − 2 sin ⁡ α + β 2 sin ⁡ α − β 2 \\begin\{aligned\} & \\sin \\alpha + \\sin \\beta = 2 \\sin \\frac\{\\alpha + \\beta\}\{2\}\\cos \\frac\{\\alpha - \\beta\}\{2\} \\\\ \\\\ & \\sin \\alpha - \\sin \\beta = 2 \\cos \\frac\{\\alpha + \\beta\}\{2\}\\sin \\frac\{\\alpha - \\beta\}\{2\} \\\\ \\\\ & \\cos \\alpha + \\cos \\beta = 2 \\cos \\frac\{\\alpha + \\beta\}\{2\} \\cos \\frac\{\\alpha - \\beta\}\{2\} \\\\ \\\\ & \\cos \\alpha - \\cos \\beta = -2 \\sin \\frac\{\\alpha + \\beta\}\{2\} \\sin \\frac\{\\alpha - \\beta\}\{2\} \\end\{aligned\} sinα\+sinβ=2sin2α\+βcos2α−βsinα−sinβ=2cos2α\+βsin2α−βcosα\+cosβ=2cos2α\+βcos2α−βcosα−cosβ=−2sin2α\+βsin2α−β  
记忆口诀：  
正加正，正在前，正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦

### 倍角公式 ###

sin ⁡ 2 α = 2 sin ⁡ α cos ⁡ α cos ⁡ 2 α = cos ⁡ 2 α − sin ⁡ 2 α = 1 − 2 sin ⁡ 2 α = 2 cos ⁡ 2 α − 1 sin ⁡ 3 α = − 4 sin ⁡ 3 α + 3 sin ⁡ α cos ⁡ 3 α = 4 cos ⁡ 3 α − 3 cos ⁡ α sin ⁡ 2 α = 1 − cos ⁡ 2 α 2 cos ⁡ 2 α = 1 + cos ⁡ 2 α 2 tan ⁡ 2 α = 2 tan ⁡ α 1 − tan ⁡ 2 α cot ⁡ 2 α = cot ⁡ 2 α − 1 2 cot ⁡ α \\begin\{aligned\} & \\sin 2\\alpha = 2\\sin \\alpha \\cos \\alpha \\\\ \\\\ & \\cos 2\\alpha = \\cos ^2 \\alpha - \\sin ^2 \\alpha = 1- 2\\sin^2 \\alpha = 2 \\cos^2\\alpha -1 \\\\ \\\\ & \\sin 3\\alpha = -4 \\sin^3 \\alpha + 3\\sin \\alpha \\\\ \\\\ & \\cos 3 \\alpha = 4\\cos^3\\alpha -3 \\cos \\alpha \\\\ \\\\ & \\sin^2 \\alpha = \\frac\{1-\\cos 2\\alpha\}\{2\} \\\\ \\\\ & \\cos^2 \\alpha = \\frac\{1+\\cos 2\\alpha\}\{2\} \\\\ \\\\ & \\tan 2\\alpha = \\frac\{2\\tan \\alpha\}\{1-\\tan ^2\\alpha\} \\\\ \\\\ & \\cot 2\\alpha = \\frac\{\\cot ^2 \\alpha -1\}\{2\\cot \\alpha\} \\end\{aligned\} sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α−sin2α=1−2sin2α=2cos2α−1sin3α=−4sin3α\+3sinαcos3α=4cos3α−3cosαsin2α=21−cos2αcos2α=21\+cos2αtan2α=1−tan2α2tanαcot2α=2cotαcot2α−1

### 半角公式 ###

sin ⁡ 2 α 2 = 1 − cos ⁡ α 2 cos ⁡ 2 α 2 = 1 + cos ⁡ α 2 sin ⁡ α 2 = ± 1 − cos ⁡ α 2 cos ⁡ α 2 = ± 1 + cos ⁡ α 2 tan ⁡ α 2 = 1 − cos ⁡ α sin ⁡ α = sin ⁡ α 1 + cos ⁡ α = ± 1 − cos ⁡ α 1 + cos ⁡ α cot ⁡ α 2 = sin ⁡ α 1 − cos ⁡ α = 1 + cos ⁡ α sin ⁡ α = ± 1 + cos ⁡ α 1 − cos ⁡ α \\begin\{aligned\} & \\sin^2 \\frac\{\\alpha\}\{2\} = \\frac\{1- \\cos \\alpha\}\{2\} \\\\ \\\\ & \\cos^2 \\frac\{\\alpha\}\{2\} = \\frac\{1+\\cos \\alpha\}\{2\} \\\\ \\\\ & \\sin \\frac\{\\alpha\}\{2\} = \\pm \\sqrt\{\\frac\{1- \\cos \\alpha\}\{2\}\} \\\\ \\\\ & \\cos \\frac\{\\alpha\}\{2\} = \\pm \\sqrt\{\\frac\{1+ \\cos \\alpha\}\{2\}\} \\\\ \\\\ & \\tan \\frac\{\\alpha\}\{2\} = \\frac\{1- \\cos \\alpha\}\{\\sin \\alpha\} = \\frac\{\\sin \\alpha\}\{1+\\cos \\alpha\} = \\pm \\sqrt\{\\frac\{1-\\cos \\alpha\}\{1+\\cos \\alpha\}\} \\\\ \\\\ & \\cot \\frac\{\\alpha\}\{2\} = \\frac\{\\sin \\alpha\}\{1- \\cos \\alpha\} = \\frac\{1+\\cos \\alpha\}\{\\sin \\alpha\} = \\pm \\sqrt\{\\frac\{1+\\cos \\alpha\}\{1-\\cos \\alpha\}\} \\end\{aligned\} sin22α=21−cosαcos22α=21\+cosαsin2α=±21−cosαcos2α=±21\+cosαtan2α=sinα1−cosα=1\+cosαsinα=±1\+cosα1−cosαcot2α=1−cosαsinα=sinα1\+cosα=±1−cosα1\+cosα

### 万能公式 ###

sin ⁡ α = 2 tan ⁡ α 2 1 + tan ⁡ 2 α 2 cos ⁡ α = 1 − tan ⁡ 2 α 2 1 + tan ⁡ 2 α 2 \\begin\{aligned\} & \\sin \\alpha = \\frac\{2 \\tan \\frac\{\\alpha\}\{2\}\}\{1+\\tan^2 \\frac\{\\alpha\}\{2\}\} \\\\ \\\\ & \\cos \\alpha = \\frac\{1- \\tan^2 \\frac\{\\alpha\}\{2\}\}\{1+ \\tan^2 \\frac\{\\alpha\}\{2\}\} \\end\{aligned\} sinα=1\+tan22α2tan2αcosα=1\+tan22α1−tan22α

### 其他公式 ###

1 + sin ⁡ α = ( sin ⁡ α 2 + cos ⁡ α 2 ) 2 1 − sin ⁡ α = ( sin ⁡ α 2 − cos ⁡ α 2 ) 2 \\begin\{aligned\} & 1 + \\sin \\alpha = (\\sin \\frac\{\\alpha\}\{2\} + \\cos \\frac\{\\alpha\}\{2\}) ^2 \\\\ \\\\ & 1 - \\sin \\alpha = (\\sin \\frac\{\\alpha\}\{2\} - \\cos \\frac\{\\alpha\}\{2\}) ^2 \\end\{aligned\} 1\+sinα=(sin2α\+cos2α)21−sinα=(sin2α−cos2α)2

## 反三角函数恒等式 ##

arcsin ⁡ x + arccos ⁡ x = π 2 arctan ⁡ x + a r c c o t   x = π 2 sin ⁡ ( arccos ⁡ x ) = 1 − x 2 cos ⁡ ( arcsin ⁡ x ) = 1 − x 2 sin ⁡ ( arcsin ⁡ x ) = x arcsin ⁡ ( sin ⁡ x ) = x cos ⁡ ( arccos ⁡ x ) = x arccos ⁡ ( cos ⁡ x ) = x arccos ⁡ ( − x ) = π − arccos ⁡ x \\begin\{aligned\} & \\arcsin x + \\arccos x = \\frac\{\\pi\}\{2\} \\\\ \\\\ & \\arctan x + arccot ~x= \\frac\{\\pi\}\{2\} \\\\ \\\\ & \\sin(\\arccos x) = \\sqrt\{1-x^2\} \\\\ \\\\ & \\cos(\\arcsin x) = \\sqrt\{1- x^2\} \\\\ \\\\ & \\sin(\\arcsin x) = x \\\\ \\\\ & \\arcsin (\\sin x) = x \\\\ \\\\ & \\cos (\\arccos x) = x \\\\ \\\\ & \\arccos (\\cos x) =x \\\\ \\\\ & \\arccos (-x) = \\pi - \\arccos x \\end\{aligned\} arcsinx\+arccosx=2πarctanx\+arccot x=2πsin(arccosx)=1−x2cos(arcsinx)=1−x2sin(arcsinx)=xarcsin(sinx)=xcos(arccosx)=xarccos(cosx)=xarccos(−x)=π−arccosx

[Link 1]: https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/106039576