浮点数的规格化表示 & 非规格化表示

绝地灬酷狼 2022-12-02 01:10 350阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  1 浮点数的一般表示
 *  2 IEEE 754标准的浮点数
 *   *  2.1 浮点数的格式
     *  2.2 浮点数的取值范围
     *  2.3 类型转换时的精度损失和溢出
     *  例: 将十进制小数转换成IEEE 754标准的浮点数

# 1 浮点数的一般表示 #

**阶码的位数决定了浮点数的表示范围的大小，尾数的位数决定了浮点数的表示精度**

*  阶符：阶码的符号位。1为负；0为正
 *  阶码：即幂的大小。设幂 e = ( J 1 J 2 … J m ) 2 e=(J\_1J\_2\\dots J\_m)\_2 e=(J1J2…Jm)2
 *  数符：尾数的符号位。1为负；0为正
 *  尾数：尾数的大小。设尾数 M = ( S 1 S 2 … S n ) 2 M=(S\_1S\_2\\dots S\_n)\_2 M=(S1S2…Sn)2

一般基数 r = 2 r=2 r=2，则浮点数真值 N = ( − 1 ) J f ∗ r e ∗ ( − 1 ) S f ∗ M N=(-1)^\{J\_f\}\*r^e\*(-1)^\{S\_f\}\*M N=(−1)Jf∗re∗(−1)Sf∗M

# 2 IEEE 754标准的浮点数 #

## 2.1 浮点数的格式 ##

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th> m s m_s ms</th> 
 <th> E E E</th> 
 <th> M M M</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>数符</td> 
 <td>阶码，用移码表示</td> 
 <td>尾数，用原码表示</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>类型</th> 
 <th>数符</th> 
 <th>阶码</th> 
 <th>尾数</th> 
 <th>总位数</th> 
 <th>阶码偏置值（十进制）</th> 
 <th>指数范围(真值表示)</th> 
 <th>指数范围(移码表示)</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>短浮点数</td> 
 <td>1</td> 
 <td>8</td> 
 <td>23</td> 
 <td>32</td> 
 <td>127</td> 
 <td>[-126，+127]</td> 
 <td>[+1，+254]</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>长浮点数</td> 
 <td>1</td> 
 <td>11</td> 
 <td>52</td> 
 <td>64</td> 
 <td>1023</td> 
 <td>[-1022，+1023]</td> 
 <td>[+1，+2046]</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>临时浮点数</td> 
 <td>1</td> 
 <td>15</td> 
 <td>64</td> 
 <td>80</td> 
 <td>16383</td> 
 <td>[-16382，+16383]</td> 
 <td>[+1，+32766]</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

从上表可以看出，IEEE 754标准的浮点数有短浮点数（单精度、float型）、长浮点数（双精度、double型）、临时浮点数三种，且数据由三部分组成：

*  数符：尾数的符号位。1表示负；0表示正
 *  阶码：表示数的幂，基为2，用移码表示
 *  尾数：表示数的小数部分，基为2，用原码表示。且隐藏了一位1，这样是为了多表示一位有效位（**临时浮点数无隐含的1**）

因此可知，一个IEEE 754标准的浮点数的值为 N = ( − 1 ) m s ∗ 2 E ∗ ( 1. M ) 2 N=(-1)^\{m\_s\}\*2^E\*(1.M)\_2 N=(−1)ms∗2E∗(1.M)2

--------------------

**两点说明**

1、关于阶码

*  为什么用移码表示。补码不能直观的表示数据的大小，比如一个8位的数据：用补码表示 ( − 1 ) 10 = ( 11111111 ) 2 = F F H ， ( 8 ) 10 = ( 00001000 ) 2 = 08 H (-1)\_\{10\}=(11111111)\_2=FFH，(8)\_\{10\}=(00001000)\_2=08H (−1)10=(11111111)2=FFH，(8)10=(00001000)2=08H，8是大于-1的，但是补码的话 FFH > 08H，这与实际结果正好相反；而移码通过加上一个偏置值（若数据为 n 位，则通常取偏置值为 2 n − 1 2^\{n-1\} 2n−1，将符号位取反即可），能够反映数据之间的实际大小关系，移码表示 ( − 1 ) 10 = ( 01111111 ) 2 = 7 F H ， ( 8 ) 10 = ( 10001000 ) 2 = 88 H (-1)\_\{10\}=(01111111)\_2=7FH，(8)\_\{10\}=(10001000)\_2=88H (−1)10=(01111111)2=7FH，(8)10=(10001000)2=88H，88H > 7FH，这与预期结果相符合
 *  阶码的偏置值。阶码部分用移码表示，**假设阶码为 n 位，则规定阶码偏置值取  2 n − 1 − 1 2^\{n-1\}-1 2n−1−1**，因此短浮点数、长浮点数、临时浮点数阶码偏置值为 2 8 − 1 − 1 = 127 、 2 11 − 1 − 1 = 1023 、 2 15 − 1 − 1 = 16383 2^\{8-1\}-1=127、2^\{11-1\}-1=1023、2^\{15-1\}-1=16383 28−1−1=127、211−1−1=1023、215−1−1=16383。移码偏置值不是 2 n − 1 2^\{n-1\} 2n−1吗，这里为什么取  2 n − 1 − 1 2^\{n-1\}-1 2n−1−1，这是规定，记住即可
 *  阶码的取值范围。假设阶码为 n 位，则可表示的范围为  0 到 2 n − 1 0到2^\{n\}-1 0到2n−1，，因此短浮点数、长浮点数的阶码取值范围为 0到255、0到2047。又规定当**阶码全0时用来表示非规格化数，阶码全1时用来表示无穷大**，所以阶码E的实际取值范围为 1到254、1到2046、1到32766（去掉阶码全0和全1）
 *  阶码的实际大小。阶码采用移码的形式表示，阶码的实际大小需要减去对应的偏置值，通过这种方式来表示阶码的正负值。所以短浮点数、长浮点数的阶码实际大小为  E − 偏 置 值 E-偏置值 E−偏置值，即  1 − 127 = − 126 到 254 − 127 = 127 、 1 − 1023 = − 1022 到 2046 − 1023 = 1023 1-127=-126到254-127=127、1-1023=-1022到2046-1023=1023 1−127=−126到254−127=127、1−1023=−1022到2046−1023=1023

2、关于尾数

假设尾数位数为 m 位，因为尾数部分隐含了一位整数1，所以尾数的实际位数为 m+1 位，因此短浮点数、长浮点数尾数实际有效位数为24、53，真值为  1. M 1.M 1.M，故：

短浮点数的真值为  
 ( − 1 ) m s ∗ ( 1. M ) ∗ 2 E − 127 (-1)^\{m\_s\}\*(1.M)\*2^\{E-127\} (−1)ms∗(1.M)∗2E−127  
长浮点数的真值为  
 ( − 1 ) m s ∗ ( 1. M ) ∗ 2 E − 1023 (-1)^\{m\_s\}\*(1.M)\*2^\{E-1023\} (−1)ms∗(1.M)∗2E−1023

## 2.2 浮点数的取值范围 ##

以短浮点**正数**为例：

当阶码和尾数都取最小时（E=1，M=0），表示的数值最小，阶码部分为  1 − 127 = − 126 1-127=-126 1−127=−126，尾数部分为 隐含的1加上其余的23位0；

当阶码和尾数都取最大时（E全1，M全1），表示的数值最大，阶码部分为  254 − 127 = 127 254-127=127 254−127=127，尾数部分为 隐含的1加上其余的23位1；

所以取值范围为  1.0 × 2 − 126 1.0\\times 2^\{-126\} 1.0×2−126到 24 个 1 1.11 … 1 ⏞ × 2 127 \\begin\{matrix\} 24个1 \\\\ \\overbrace\{ 1.11\\dots 1 \} \\times 2^\{127\}\\end\{matrix\} 24个11.11…1×2127，即

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>格式</th> 
 <th>正数</th> 
 <th>负数</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>单精度</td> 
 <td> 2 − 126 到 ( 2 − 2 − 23 ) × 2 127 2^{-126}到(2-2^{-23})\times 2^{127} 2−126到(2−2−23)×2127</td> 
 <td> − 2 − 126 到 − ( 2 − 2 − 23 ) × 2 127 -2^{-126}到-(2-2^{-23})\times 2^{127} −2−126到−(2−2−23)×2127</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>双精度</td> 
 <td> 2 − 1022 到 ( 2 − 2 − 52 ) × 2 1023 2^{-1022}到(2-2^{-52})\times 2^{1023} 2−1022到(2−2−52)×21023</td> 
 <td> − 2 − 1022 到 − ( 2 − 2 − 52 ) × 2 1023 -2^{-1022}到-(2-2^{-52})\times 2^{1023} −2−1022到−(2−2−52)×21023</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

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## 2.3 类型转换时的精度损失和溢出 ##

这里以C语言为例。C语言中的float、double型分别对应IEEE 754标准的单精度和双精度浮点数，一个int型数据占4个字节、float占4字节、double占8字节。

1 溢出

*  当float、double向int转换时可能会发生溢出，比如有符号int型表示的数据范围为  2 − 31 到 2 31 − 1 2^\{-31\}到2^\{31\}-1 2−31到231−1，而float、double类型的数据的表示范围超过了int类型
 *  当double向float、int转换时可能会发生溢出、float向int转换时也可能会溢出

2.精度损失

*  当int向float转换时可能会产生精度损失，因为int类型共四字节32位，而float尾数的有效位数为24位（包括隐含的1），**当int型数据的有效位数超过24的话就会发生精度损失**。比如  
     u n s i g n e d i n t m = F F F F F F F F H 即 （ 2 − 2 − 31 ) × 2 31 unsigned \\quad int\\quad m = FFFF \\quad FFFFH\\\\ 即（2-2^\{-31\})\\times 2^\{31\} unsignedintm=FFFFFFFFH即（2−2−31)×231  
    因为 m 的二进制表示为32位1，超过了float的24位，超出的1会被舍掉，所以就会产生精度损失。
 *  当double向float、int转换时可能会有精度损失，因为double类型尾数的有效位数位53，超过了float的24；而且浮点数向整数转换时，若是小数部分不为0，一定会有精度损失，因为整数没有小数部分

## 例: 将十进制小数转换成IEEE 754标准的浮点数 ##

例：现有一个十进制小数43.875，请将其转换成IEEE 754类型的短浮点数（即float类型），并将最终结果用二进制或十六进制表示。

分析：  
IEEE 754标准的**短浮点数**要符合如下几个标准

1.  阶码用移码表示，占8位。其值为阶码真值加偏置值127
2.  尾数用原码表示，占23位。另有一位隐含的整数1
3.  最高位为数符，占1位。0表示正数、1表示负数

解答：  
**第一步** 将十进制小数转换成二进制表示  
一定要转换成 **1.M** 的形式，其中 M 为尾数， ( 43.875 ) 10 = ( 101011.111 ) 2 = ( 1.01011111 ) × 2 5 (43.875)\_\{10\}=(101011.111)\_\{2\}=(1.01011111)\\times 2^5 (43.875)10=(101011.111)2=(1.01011111)×25

**第二步** 求出数符、阶码、尾数的二进制表示  
由题意知：数符  m s = 0 m\_s=0 ms=0  
由第一步知：阶码  E = 5 = ( 101 ) 2 E=5=(101)\_\{2\} E=5=(101)2，尾数 M = ( 01011111 ) 2 M=(01011111)\_2 M=(01011111)2  
因此：

*  1位数符为 0
 *  8位阶码为（移码表示） 5 + 127 = 132 = ( 1000 0100 ) 2 5+127=132=(1000\\quad 0100)\_2 5\+127=132=(10000100)2
 *  23位尾数为（原码表示） ( 010 1111 1000 0000 0000 0000 ) 2 (010\\quad 1111\\quad 1000\\quad 0000\\quad 0000\\quad 0000)\_2 (01011111000000000000000)2

**第三步** 整理结果

即  43.875 = 0100 0010 0010 1111 1000 0000 0000 0000 = 422 F 8000 H 43.875=0100\\quad 0010\\quad 0010\\quad 1111\\quad 1000\\quad 0000\\quad 0000\\quad 0000=422F\\quad 8000H 43.875=01000010001011111000000000000000=422F8000H

public class Main { 
    
        public static void main(String[] args) { 
            float f = 43.875f;
            // 输出浮点数的 二进制表示
            System.out.println(Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(f)));
            // 输出浮点数的 十六进制表示
            System.out.println(Integer.toHexString(Float.floatToIntBits(f)));
        }
    }

![在这里插入图片描述][20201006202703120.png_pic_center]

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