浮点加减运算中关于结果规格化的思考

客官°小女子只卖身不卖艺 2022-12-29 12:59 205阅读 0赞

对于两个浮点数x和y满足：  
![在这里插入图片描述][20201222201609765.gif_pic_center]  
完成x与y的加减法有四个步骤：

1.  0操作数检查。即检查是否有一个操作数为0，是的话直接得到结果，**一般在计算机中不进行这一步。**
2.  比较阶码大小并完成对阶。要让两个浮点数的尾数能够直接相加减，它们的阶码也就是 M x 和 M y M\_\{x\}和M\_\{y\} Mx和My必须相同，因此必须完成对阶，一般是让小阶向大阶看齐。
3.  尾数进行加减运算。方法与定点加减运算完全一致，没有什么好说的。
4.  结果规格化。这一步是重点，也是难点。  
    要想知道怎么规格化，肯定得知道什么才是规范的表达方式。浮点数都是近似表示的，精度由尾数决定，数的表示范围大小由R、E决定。为了提高精度需要使尾数的有效位数尽可能占满可用的位数。这种措施称为浮点数的规格化。规格化要求尾数：  
              **1/R<=|M|<1**。  
    计算机中R = 2，因此实际上**我们计算出来得到的尾数必须属于\[0.5, 1)。**

在浮点数加减运算时，我们采用双符号位，因此，当计算结果为01.XXXX或者10.XXXX时，表示结果溢出，已经大于1了，因此需要规格化。  
下面举个具体的例子：  
 m = 2 2 X 0.11011011 ， n = 2 4 X ( − 0.10101100 ) m = 2^\{2\}X0.11011011，n = 2^\{4\}X(-0.10101100) m=22X0.11011011，n=24X(−0.10101100)，求m+n。  
逐步分析：

*  0操作数检查。m和n都不为0。
 *  对阶。小阶2向大阶4对齐，所以m的阶数加2，相应地，m的尾数右移（小数点左移，尾数变小）两位： m = 2 4 X 0.00110110 ( 11 ) m = 2^\{4\}X0.00110110(11) m=24X0.00110110(11)，而n保持不变。
 *  由于要进行补码运算，所以将m和n的尾数变成补码表示(双符号位)：  
     m = 2 4 X 00.00110110 ( 11 ) ， n = 2 4 X 11.01010100 m = 2^\{4\}X00.00110110(11)，n = 2^\{4\}X11.01010100 m=24X00.00110110(11)，n=24X11.01010100，其中11.01010100=11.01010011+1（取反再加1）。接下来将尾数相加：  
    ![在这里插入图片描述][20201222205353820.gif_pic_center]  
    **可以看到并未溢出，但是并不一定满足大于0.5，** 我们将其转成原码很容易发现第一位为0，也就是说是小于0.5的，必须规格化，由此我们总结出要规格化的几种情形：
 *  若尾数为00.0XXX或者11.1XXX，虽然并未溢出，但是并不满足大于0.5，因此也必须要规格化，由于尾数要变大，阶码变小，即尾数左移（小数点右移），称之为向左规格化，使之最终变成00.1XXXX或者11.0XXXX。
 *  若尾数为10.XXXX或者01.XXXX表明运算结果溢出，必须使尾数变小，阶码变大，尾数右移（小数点左移），称之为向右规格化。
 *  针对例子中的情况，需要进行向左规格化，最终变成：  
         m + n = 11.00010101 ( 10 ) X 2 3 m + n = 11.00010101(10)X2^\{3\} m\+n=11.00010101(10)X23
 *  将尾数进行舍入处理，最后为10直接加1，变成11.00010110，所以换成原码的尾数为00.11101010，即最终有：  
         m + n = 0.11101010 X 2 011 m + n = 0.11101010X2^\{011\} m\+n=0.11101010X2011。

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