概率论基础知识整理☯ | 随机变量

分手后的思念是犯贱 2022-10-27 01:56 219阅读 0赞

### 目录 ###

*  一、随机变量及分布函数
 *  二、离散型随机变量及其分布
 *  三、连续型随机变量及其分布
 *  四、随机变量函数的分布

# 一、随机变量及分布函数 #

* 随机变量：对于样本空间 Ω \\Omega Ω中的每一个元素 e e e，有一个实数 X ( e ) X(e) X(e)与之对应，函数 X = X ( e ) X=X(e) X=X(e)就称为随机变量。
 * 分布函数： X X X是随机变量， x x x是任意实数，函数 F ( x ) = P \{ X ≤ x \} F(x)=P\\\{X\\le x\\\} F(x)=P\{ X≤x\}称为 X X X的分布函数。
 * 对于任意实数 x 1 , x 2 , ( x 1 < x 2 ) x\_1,x\_2,(x\_1<x\_2) x1,x2,(x1<x2)，有 P \{ x 1 < X ≤ x 2 \} = P \{ X ≤ x 2 \} − P \{ X ≤ x 1 \} P\\\{x\_1<X\\le x\_2\\\}=P\\\{X\\le x\_2\\\}-P\\\{X\\le x\_1\\\} P\{ x1<X≤x2\}=P\{ X≤x2\}−P\{ X≤x1\} = F ( x 2 ) − F ( x 1 ) . =F(x\_2)-F(x\_1). =F(x2)−F(x1).
 * F ( x ) F(x) F(x)是单调不减的函数。
 * 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 0\\le f(x)\\le 1 0≤f(x)≤1，且 lim ⁡ x → + ∞ F ( x ) = 1 , 常 记 F ( + ∞ ) = 1 ; \\lim\\limits\_\{x\\to+\\infty\}F(x)=1,常记F(+\\infty)=1; x→\+∞limF(x)=1,常记F(\+∞)=1; lim ⁡ x → − ∞ F ( x ) = 0 , 常 记 F ( − ∞ ) = 0. \\lim\\limits\_\{x\\to-\\infty\}F(x)=0,常记F(-\\infty)=0. x→−∞limF(x)=0,常记F(−∞)=0.
 * F ( x + 0 ) = F ( x ) , 即 F ( x ) 右 连 续 F(x+0)=F(x),即F(x)右连续 F(x\+0)=F(x),即F(x)右连续。

# 二、离散型随机变量及其分布 #

* 分布律：两种表示形式
 
 1. P \{ X = x i \} = p i , i = 1 , 2 , 3 , … P\\\{X=x\_i\\\}=p\_i,i=1,2,3,\\dots P\{ X=xi\}=pi,i=1,2,3,…
 2. <table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th align="center"> X X X</th> 
 <th align="center"> x 1 x_1 x1</th> 
 <th align="center"> x 2 x_2 x2</th> 
 <th align="center"> … \dots …</th> 
 <th align="center"> x i x_i xi</th> 
 <th> … \dots …</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td align="center"> p i p_i pi</td> 
 <td align="center"> p 1 p_1 p1</td> 
 <td align="center"> p 2 p_2 p2</td> 
 <td align="center"> … \dots …</td> 
 <td align="center"> p i p_i pi</td> 
 <td> … \dots …</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
 </table>
 * 两点分布(二项分布的特殊情况)： X = x 1 , x 2 ， 分 布 律 为 X=x\_1,x\_2，分布律为 X=x1,x2，分布律为 P \{ X = x 1 \} = p , P \{ X = x 2 \} = 1 − p ; \[ 0 < p < 1 \] P\\\{X=x\_1\\\}=p,P\\\{X=x\_2\\\}=1-p;\[0<p<1\] P\{ X=x1\}=p,P\{ X=x2\}=1−p;\[0<p<1\]记作 X ∼ ( 0 − 1 ) 分 布 X\\sim(0-1)分布 X∼(0−1)分布。
 * 二项分布： P \{ X = k \} = C k n p k ( 1 − p ) n − k P\\\{X=k\\\}=C^n\_kp^k(1-p)^\{n-k\} P\{ X=k\}=Cknpk(1−p)n−k记作 X ∼ b ( n , p ) X\\sim b(n,p) X∼b(n,p)。\[联系n重伯努利试验\]
 * 泊松定理：设 n p n = λ ( λ > 0 是 一 常 数 ) ， 对 于 任 意 非 负 整 数 k 有 np\_n=\\lambda(\\lambda>0是一常数)，对于任意非负整数k有 npn=λ(λ>0是一常数)，对于任意非负整数k有 lim ⁡ n → ∞ C k n p n k ( 1 − p ) n n − k = λ k e − λ k ! ; \[ n 很 大 , p n 很 小 时 \] . \\lim\\limits\_\{n\\to\\infty\}C^n\_kp^k\_n(1-p)^\{n-k\}\_n=\\frac\{\\lambda^ke^\{-\\lambda\}\}\{k!\};\[n很大,p\_n很小时\]. n→∞limCknpnk(1−p)nn−k=k!λke−λ;\[n很大,pn很小时\].
 * 泊松分布： P ( X = k ) = λ k e − λ k ! , k = 0 , 1 , 2 , … P(X=k)=\\frac\{\\lambda^ke^\{-\\lambda\}\}\{k!\},k=0,1,2,\\dots P(X=k)=k!λke−λ,k=0,1,2,…记作 X ∼ P ( λ ) X\\sim P(\\lambda) X∼P(λ)。
 * 对于一般的离散型随机变量： F ( x ) = P \{ X ≤ x \} = ∑ x k ≤ x P \{ X ≤ x k \} = ∑ x k ≤ x p k . F(x)=P\\\{X\\le x\\\}=\\sum\_\{x\_k\\le x\}P\\\{X\\le x\_k\\\}=\\sum\_\{x\_k\\le x\}p\_k. F(x)=P\{ X≤x\}=xk≤x∑P\{ X≤xk\}=xk≤x∑pk.

# 三、连续型随机变量及其分布 #

* 存在非负函数 f ( x ) f(x) f(x)，对于任意实数 x x x，有 F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x)=\\int^x\_\{-\\infty\}f(t)dt F(x)=∫−∞xf(t)dt其中 f ( x ) f(x) f(x)为概率密度函数，简称概率密度或密度函数。
 * 部分性质： 1 。 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 ; 1^。\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f(x)dx=1; 1。∫−∞\+∞f(x)dx=1; 2 。 P \{ x 1 < X ≤ x 2 \} = ∫ x 2 x 2 f ( x ) d x , ( x 1 ≤ x 2 ) ; 2^。P\\\{x\_1<X\\le x\_2\\\}=\\int^\{x\_2\}\_\{x\_2\}f(x)dx,(x\_1\\le x\_2); 2。P\{ x1<X≤x2\}=∫x2x2f(x)dx,(x1≤x2); 3 。 若 f ( x ) 在 x 处 连 续 ， 则 有 F ′ ( x ) = f ( x ) . 3^。若f(x)在x处连续，则有F^\{'\}(x)=f(x). 3。若f(x)在x处连续，则有F′(x)=f(x).
 * 连续型随机变量的概率与边界点无关：比如 P \{ X = a \} P\\\{X=a\\\} P\{ X=a\}的概率为0， \{ X = a \} \\\{X=a\\\} \{ X=a\}是几乎不可能发生的事件，但并不保证一定不会发生，它是“零概率事件”而不是“不可能事件”。
 * 均匀分布： f ( x ) = \{ 1 b − a , a < x < b 0 , 其他 f(x)=\\begin\{cases\} \\frac\{1\}\{b-a\}, &\\text\{$a<x<b$\}\\\\\\\\\\ 0, &\\text\{其他\} \\end\{cases\} f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧b−a1,0,a<x<b其他记作 X ∼ U ( a , b ) \[ a < X b \} = 0 或 P \{ a < X b\\\}=0或P\\\{a<X<b\\\}=1; 1。P\{ X<a\}=P\{ X>b\}=0或P\{ a<X<b\}=1; 2 。 P \{ c < X < d \} = ∫ c d 1 b − a d x = d − c b − a , ( a ≤ c < d ≤ b ) . 2^。P\\\{c<X<d\\\}=\\int^d\_c\\frac\{1\}\{b-a\}dx=\\frac\{d-c\}\{b-a\},(a\\le c<d\\le b). 2。P\{ c<X<d\}=∫cdb−a1dx=b−ad−c,(a≤c<d≤b).
 * 指数分布： f ( x ) = \{ λ e − λ x , x > 0 0 , x ≤ 0 f(x)=\\begin\{cases\} \\lambda e^\{-\\lambda x\}, &\\text\{$x>0$\} \\\\\\\\ 0, &\\text\{$x\\le 0$\} \\end\{cases\} f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧λe−λx,0,x>0x≤0记作 X ∼ E ( λ ) X\\sim E(\\lambda) X∼E(λ)。
 * 指数分布具有“无记忆性”： P \{ X > s + t ∣ X > s \} = P \{ X > t \} . P\\\{X>s+t|X>s\\\}=P\\\{X>t\\\}. P\{ X>s\+t∣X>s\}=P\{ X>t\}.
 * 正态分布： f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 , − ∞ < x < + ∞ f(x)=\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\\pi\}\\sigma\}e^\{-\\frac\{(x-\\mu)^2\}\{2\\sigma^2\}\},-\\infty<x<+\\infty f(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2,−∞<x<\+∞记作 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\\sim N(\\mu,\\sigma^2) X∼N(μ,σ2)。
 * 标准正态分布：当 μ = 0 , σ = 1 \\mu=0,\\sigma=1 μ=0,σ=1时， X X X服从标准正态分布，记作 X ∼ N ( 0 , 1 ) X\\sim N(0,1) X∼N(0,1)，密度函数为 φ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 . \\varphi(x)=\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\\pi\}\}e^\{-\\frac\{x^2\}\{2\}\}. φ(x)=2π1e−2x2.
 * 若 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\\sim N(\\mu,\\sigma^2) X∼N(μ,σ2)，则有 X − μ σ ∼ N ( 0 , 1 ) \\frac\{X-\\mu\}\{\\sigma\}\\sim N(0,1) σX−μ∼N(0,1)。
 * α \\alpha α分位点：若有 P \{ X > z α \} = α , 0 < α < 1 P\\\{X>z\_\\alpha\\\}=\\alpha,0<\\alpha<1 P\{ X>zα\}=α,0<α<1其中 X ∼ N ( 0 , 1 ) X\\sim N(0,1) X∼N(0,1)，则称 z α z\_\\alpha zα为标准正态分布上的 α \\alpha α分位点。

# 四、随机变量函数的分布 #

* 当 X ∼ N ( 0 , 1 ) X\\sim N(0,1) X∼N(0,1)，则 Y = X 2 Y=X^2 Y=X2的概率密度为： f Y ( y ) = \{ 1 2 π y − 1 2 e − y 2 , y > 0 0 , y ≤ 0 f\_Y(y)=\\begin\{cases\} \\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\\pi\}\}y^\{-\\frac\{1\}\{2\}\}e^\{-\\frac\{y\}\{2\}\}, &\\text\{$y>0$\} \\\\\\\\ 0, &\\text\{$y\\le 0$\} \\end\{cases\} fY(y)=⎩⎪⎨⎪⎧2π1y−21e−2y,0,y>0y≤0则称 Y Y Y服从自由度为1的 χ 2 \\chi^2 χ2分布（卡方分布）。
 * 一般结论：设随机变量 X X X的概率密度为 f X ( x ) , − ∞ < x < + ∞ f\_X(x),-\\infty<x<+\\infty fX(x),−∞<x<\+∞，又设 g ( x ) g(x) g(x)处处可导且 g ′ ( x ) > 0 或 g ′ ( x ) < 0 g^\{'\}(x)>0或g^\{'\}(x)<0 g′(x)>0或g′(x)<0，则 Y = g ( X ) Y=g(X) Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为： f Y ( y ) = \{ f X ( h ( y ) ) ∣ h ′ ( y ) ∣ , α < y < β 0 , 其他 f\_Y(y)=\\begin\{cases\} f\_X(h(y))|h^\{'\}(y)|, &\\text\{$\\alpha<y<\\beta$\} \\\\\\\\ 0, &\\text\{其他\} \\end\{cases\} fY(y)=⎩⎪⎨⎪⎧fX(h(y))∣h′(y)∣,0,α<y<β其他其中 α = m i n \{ g ( − ∞ ) , g ( + ∞ ) \} , β = m a x \{ g ( − ∞ ) , g ( + ∞ ) \} \\alpha=min\\\{g(-\\infty),g(+\\infty)\\\},\\beta=max\\\{g(-\\infty),g(+\\infty)\\\} α=min\{ g(−∞),g(\+∞)\},β=max\{ g(−∞),g(\+∞)\}, h ( y ) h(y) h(y)是 g ( x ) g(x) g(x)的反函数。