概率论第5记：随机变量的独立性

「爱情、让人受尽委屈。」 2022-03-30 06:44 407阅读 0赞

设X，Y是两个随机变量，若对于任意实数a，b（a<b），c，d（c<d），事件\{a<X≤b\}和\{c<Y≤d\}相互独立，即P\{a<X≤b，c<Y≤d\}=P\{a<X≤b\}P\{c<Y≤d\}，则称随机变量X，Y相互独立.  
离散型随机变量X，Y相互独立的充分必要条件是对于（X，Y）所有可能取的数偶（xi，yj），有P\{X=xi，Y=yj\}=P\{X=xi\}P\{Y=yj\}；  
连续型随机变量X，Y相互独立的充分必要条件是f（x，y）=fX（x）fY（y），在平面上几乎处处\[3\]成立，其中f，fX，fY分别是（X，Y）的概率密度和边缘概率密度.  
**从上面的论述可以看出，X，Y相互独立，不仅概率密度具有如上公式特征，概率分布函数也具有这个特征。**

### 随机变量的函数分布 ###

这里研究的是已知随机变量X的概率密度函数，求以X为变量的Y=g(X)的分布。  
离散型的由于不涉及求导，比较简单，举例说明  
设随机变量X具有分布律如下：  
![在这里插入图片描述][20190105084340534.png]  
求Y=X2\+1的分布律.解　Y所有可能取的值为1，2，10，由P\{Y=1\}=P（X2\+1=1）=P\{X=0\}=3/10，P\{Y=2\}=P\{X2\+1=2\}=P\{（X=1)∪（X=-1）\}=P\{X=1\}+P\{X=-1\}=3/10，P\{Y=10\}=P\{X2\+1=10\}=P\{X=3\}=4/10，即得Y的分布律为  
![在这里插入图片描述][20190105084729962.png]  
连续型随机变量的求解方式一般是先构造Y的函数分布，然后对Y变换为X，得到X的概率分布函数，再对得到的X概率分布函数求导，即可得到Y的概率密度函数。  
举例如下：  
一食品工厂，一天的产量X（以吨计）具有概率密度  
![在这里插入图片描述][20190105085107635.png]  
一天的产值是U=3X+1（以千元计），求U的概率密度fU（u）.  
分别记X，U的分布函数为FX（x）和FU（u）.现在先来求FU（u）  
FU（u）=P\{U≤u\}=P\{3X+1≤u\}=P\{X≤（u-1）/3\}=FX（（u-1）/3），将FU（u）关于u求导数，由已知条件得U的概率密度：  
![在这里插入图片描述][20190105090111232.png]  
再举一个例子：  
设随机变量X具有概率密度fX（x）（-∞<x<∞），求Y=X2的概率密度fY（y）.解　分别记X和Y的分布函数为FX（x）和FY（y）.先来求FY（y）.由于Y=X2≥0，因此当y<0时，FY（y）=P\{Y≤y\}=0，而当y>0时，有  
![在这里插入图片描述][20190105092810372.png]  
将FY（y）关于y求导，得Y的概率密度  
![在这里插入图片描述][20190105092856923.png]  
这部分有疑惑的童鞋请复习高数。

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