概率论基础 —— 6.连续型二维随机变量

朴灿烈づ我的快乐病毒、 2022-08-30 11:48 256阅读 0赞

> 在上一章节聊完离散型二维随机变量，这一章节我们来到连续型随机变量。由于连续型随机变量的计算过程经常涉及积分运算，而连续型二维随机变量必然涉及到二重积分的运算。所以对于定积分不是很了解的朋友，建议先回去看看线性代数里相关章节的内容。

### 文章目录 ###

*  关于连续型二维随机变量
 *   *  概率密度函数
     *  边缘概率密度
     *  条件概率密度
     *  独立性
 *  来做点练习题吧！

# 关于连续型二维随机变量 #

## 概率密度函数 ##

如果说对于定积分  ∫ f ( x ) d x \\int f(x) dx ∫f(x)dx ，它所表示的含义如果说是求函数面积的话。  
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那么对于二重积分  ∫ f ( x , y ) d x d y \\int f(x, y) dx dy ∫f(x,y)dxdy，它所表达的更多接近于求体积这样一个概念。  
![在这里插入图片描述][20210720150119207.gif_pic_center]  
对于概率论来说，一维连续型随机变量的基本概念，与二维连续型随机变量的概念，很多是一样或者相似的。所以我在这里不做过多的说明，只是这里涉及到了二重积分，所以对于不明白二重积分怎么使用和运算的朋友，请参考教材或者其他有关线性代数的说明。

**概率求和**

至于说基本性质有几点是需要记住的，其中之一就是对于所有的概率事件，求和后不能大于1.

∫ ∫ f ( x , y ) d x d y = 1 \\int \\int f(x,y) dx dy = 1 ∫∫f(x,y)dxdy=1

**样本概率  P \{ ( X , Y ) ∈ D \} P \\\{ (X, Y) \\in D \\\} P\{ (X,Y)∈D\}**  
对于样本(X, Y) 只要它属于样本集合D，那么样本的概率  P \{ ( X , Y ) \} P \\\{ (X, Y)\\\} P\{ (X,Y)\} 等于：

P \{ ( X , Y ) ∈ D \} = ∬ D f ( x , y ) d x d y P \\\{ (X, Y) \\in D \\\} = \\iint\_\{D\} f(x,y) dx dy P\{ (X,Y)∈D\}=∬Df(x,y)dxdy

也就是，对点(X,Y)的积分。

## 边缘概率密度 ##

这里我们从离散型的概念中引入，也就是说对于连续型的来说，它对于X轴和Y轴上的边缘概率密度，分别等于：

f x ( X ) = ∫ f ( x , y ) d y f\_x(X) = \\int f(x, y) dy fx(X)=∫f(x,y)dy

以及

f y ( Y ) = ∫ f ( x , y ) d x f\_y(Y) = \\int f(x, y) dx fy(Y)=∫f(x,y)dx

## 条件概率密度 ##

从条件概率的一般公式，可以推导出条件概率密度为：

f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f y ( y ) f\_\{X | Y\} (x | y) = \\frac\{f(x, y)\}\{f\_y\{(y)\}\} fX∣Y(x∣y)=fy(y)f(x,y)

以及：

f Y ∣ X ( y ∣ x ) = f ( x , y ) f x ( x ) f\_\{Y | X\} (y | x) = \\frac\{f(x, y)\}\{f\_x\{(x)\}\} fY∣X(y∣x)=fx(x)f(x,y)

## 独立性 ##

从离散型的独立型条件，我们也可以得出连续型的独立性条件：

f ( x , y ) ⇋ f x ( x ) f y ( y ) f(x, y) \\leftrightharpoons f\_x(x) f\_y(y) f(x,y)⇋fx(x)fy(y)

# 来做点练习题吧！ #

> 设二维随机变量（X, Y）的概率密度为  
>  f ( x , y ) = \{ k ( 6 − x − y ) 0 < x < 2 , 2 < y < 4 0 e l s e f(x, y) = \\left\\\{\\begin\{matrix\} k(6 - x -y) & 0 < x < 2, 2 < y < 4 \\\\ 0 & else \\end\{matrix\}\\right. f(x,y)=\{ k(6−x−y)00<x<2,2<y<4else  
> （1） 确定常数k  
> （2） P \{ X < 1 , Y < 3 \} P\\\{ X < 1, Y < 3 \\\} P\{ X<1,Y<3\}  
> （3）求 (X, Y) 的边缘概率密度  
> （4）判断X和Y是否相互独立

**解（1）**

从题干可以得知：

f ( x , y ) = ∬ k ( 6 − x − y ) d x d y = 1 f(x, y) = \\iint k(6 - x - y) dx dy = 1 f(x,y)=∬k(6−x−y)dxdy=1

所以，我们对上式求它的二重定积分（Double Integral Calculation），可以有：

k ∫ 2 4 d y ∫ 0 2 ( 6 − x − y ) d x k \\int\_\{2\}^\{4\} dy \\int\_\{0\}^\{2\} (6-x-y) dx k∫24dy∫02(6−x−y)dx

先对X方向求积分，于是有：

( 6 − y ) x − 1 2 x 2 ∣ 0 2 = 10 − 2 y (6-y)x - \\frac\{1\}\{2\}x^2 \\bigg|\_\{0\}^\{2\} = 10 - 2y (6−y)x−21x2∣∣∣∣02=10−2y

得到关于X的定积分后，带入上面的二重积分，于是可以变成这样：

k ∫ 2 4 ( 10 − 2 y ) d y = k ( 10 y − y 2 ) ∣ 2 4 = 8 k = 1 k \\int\_\{2\}^\{4\} (10 -2 y) dy = k (10y - y^2) \\bigg|\_2^4 = 8k = 1 k∫24(10−2y)dy=k(10y−y2)∣∣∣∣24=8k=1

于是  k = 1 / 8 k = 1/8 k=1/8

**解（2）**  
把问题给出的关于X和Y的范围代入到原题干中，于是我们得到一个新的二重积分：

P \{ X < 1 , Y < 3 \} = 1 8 ∫ 3 2 ∫ 0 1 ( 6 − x − y ) d x d y P\\\{ X < 1, Y < 3 \\\} = \\frac\{1\}\{8\} \\int\_3^2 \\int\_0^1 (6-x-y) dx dy P\{ X<1,Y<3\}=81∫32∫01(6−x−y)dxdy

求解一下于是得到  3 / 8 3/8 3/8

**解（3）**

求二维连续型随机变量的边缘密度，我们直接带入公式：

由于，X轴的边缘密度公式为：

f x ( X ) = ∫ f ( x , y ) d y f\_x(X) = \\int f(x, y) dy fx(X)=∫f(x,y)dy

以及Y轴方向的边缘密度公式为：

f y ( Y ) = ∫ f ( x , y ) d x f\_y(Y) = \\int f(x, y) dx fy(Y)=∫f(x,y)dx

再代入本题中给出的已知参数，于是我们得到：

f x ( X ) = ∫ 2 4 f ( x , y ) d y = 1 8 ∫ 2 4 ( 6 − x − y ) d y f\_x(X) = \\int\_2^4 f(x,y) dy = \\frac\{1\}\{8\} \\int\_2^4 (6 - x - y) dy fx(X)=∫24f(x,y)dy=81∫24(6−x−y)dy  
 f y ( Y ) = ∫ 0 2 f ( x , y ) d x = 1 8 ∫ 0 2 ( 6 − x − y ) d x f\_y(Y) = \\int\_0^2 f(x,y) dx = \\frac\{1\}\{8\} \\int\_0^2 (6 - x - y) dx fy(Y)=∫02f(x,y)dx=81∫02(6−x−y)dx

分别求解一下，于是：

f x ( X ) = 3 − x 4 f\_x(X) = \\frac\{3-x\}\{4\} fx(X)=43−x

f y ( Y ) = 5 − y 4 f\_y(Y) = \\frac\{5-y\}\{4\} fy(Y)=45−y

**解（4）**  
我们直接把刚才求解出来的边缘函数相乘，化简后看看是不是和原来的函数相同。发现不同，所以X和Y并不互相独立。

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