《数论概论》读书笔记(第一章) 什么是数论？

布满荆棘的人生 2022-09-30 03:56 320阅读 0赞

数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。

整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用**有理数来逼近实数（丢番图逼近）。**

按研究方法来看，**数论大致可分为初等数论和高等数论**。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括**整除理论、同余理论、连分数理论**。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括**代数数论、解析数论、计算数论**等等。

初等数论  
初等数论主要就是研究整数环的整除理论及同余理论。此外它也包括了连分数理论和少许不定方程的问题。本质上说，初等数论的研究手段局限在整除性质上。  
初等数论中经典的结论包括**算术基本定理、欧几里得的质数无限证明、中国剩余定理、欧拉定理（其特例是费马小定理）、高斯的二次互反律， 勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解法**等等。

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### 还有，解析数论，代数数论，几何数论，计算数论，超越数论，组合数论，算术代数几何。不作一一解释了。 ###

猜想：  
●哥德巴赫猜想：是否每个大于2的偶数都可写成两个质数之和？  
●孪生素数猜想：孪生素数就是差为2的素数对，例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数？  
●斐波那契数列内是否存在无穷多的素数？  
●是否存在无穷多的梅森素数？（指形如2^p－1的正整数，其中指数p是素数，常记为M\_p 。若M\_p是素数，则称为梅森素数）  
●1995年怀尔斯和理查·泰勒证明了历时350年的费马猜想（费马大定理）。  
●黎曼猜想

习题：

1.1，三角平方数：0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025,......

三角平方数通项：![405a80a6435d912fc7da1d11147c33e9dafd4d73][]

肯定有无穷多个啊。具体看Wiki：[点击打开链接][Link 1]

1.2 1+3+5+....+（2n+1）=n^2.

用几何图形来证明？

这样？

![Center][]

1.3.

关于形如（p,p+2,p+4）素数三元组的问题。  
显然只存在一个(3,5,7)。

证明如下：

假设 p mod 3=1。

则(p+2) mod 3=0 不满足素数条件。

假设p mod 3=2。

则(p+4) mod 3=0不满足素数条件。

除非本身p+2或p+4或p就是3。

那么就是(3,5,7)这个情况。

所以显然只有一种情况。（3,5,7）。

1.4

显然，对于N^2-A。当A为平方数时，N^2-A=(N-a)\*(N-a)，其中a\*a=A.

所以当A是平方数时，N^2-A肯定不是素数。

1.5

1+2+3+4+5+....+n=(1+n)+(2+(n-1))+(3+(n-2))+.....=(1+n)+(1+n)+(1+n)+....+(1+n)=n/2\*(1+n).

如果是偶数，可以完全匹配完，那么项数就是n/2。  
如果是奇数，会留一个，这个数是(n+1)/2。剩下的n+1有(n-1)/2个，那么再加上这半个，那么就是n/2个。  
所以不管是奇数还是偶数，结果都是n/2个。

[405a80a6435d912fc7da1d11147c33e9dafd4d73]: https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/405a80a6435d912fc7da1d11147c33e9dafd4d73
[Link 1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Square_triangular_number
[Center]: /images/20220708/34ed61b4de6243319be0e0a6820143e2.png