《数论概论》读书笔记 (第四章) 高次幂之和与费马大定理

灰太狼 2022-06-15 12:52 303阅读 0赞

这章讲的东西就是费马大定理。很少的内容。

在18和19世纪高斯和欧拉证明了指数为3的方程没有解，狄利克雷与勒让德证明了5次方程没有解。  
n>=3时方程：an\+bn=cn没有整数解的这个一般性结论被称为“费马大定理”。这个就是高次幂之和。

至今，证明了存在无穷多个素数p使得ap\+bp=cp没有解且p不整除abc。

习题解析：  
1. 为一些数学家写一两页传记…额….下一题…

2. (1)关于方程a3\+b3=c2有解(a,b,c)=(2,2,4)  
这样的解显然是无穷的。  
比如有：

1 2 3
    2 2 4
    2 46 312
    4 8 24
    7 21 98
    8 8 32
    8 184 2496
    9 18 81
    10 65 525
    11 37 228
    14 70 588
    16 32 192
    18 18 108
    18 414 8424
    22 26 168
    25 50 375
    28 84 784
    32 32 256
    33 88 847
    34 450 9548
    36 72 648
    37 407 8214
    40 260 4200
    44 148 1824
    49 98 1029
    50 50 500
    56 65 671
    56 280 4704
    57 112 1261
    57 456 9747
    63 189 2646
    64 128 1536
    65 91 1014
    65 104 1183
    65 260 4225
    70 105 1225
    72 72 864
    78 273 4563
    78 354 6696
    81 162 2187
    84 105 1323
    88 104 1344
    98 98 1372
    99 333 6156
    100 200 3000

但是，这个解的通项公式是什么呢？根据题目提示，显然，(xz,yz,z2)既不是(a,b,c)满足a3\+b3=c2的充分条件也不是必要条件。  
对于一个数c，我们可以得到公式，x=(1\+c3),y=c(1\+c3)，z=(1\+c3)2就是一组解。  
验证：x3\+y3=(1\+c3)3\+(c(1\+c3))3=(1\+c3)3(1\+c3)=(1\+c3)4=((1\+c3)2)2.。

证明：  
假设我们在找关于xn\+yn=zm的解，当且仅当gcd(n,m)=1。

因为gcd(n,m)=1，所以am−bn=1或者am=bn\+1。

假设x=ub,y=vb,z=wa,那么ubn\+vbn=wam=wbn\+1。

让v=cu . 那么ubn\+vbn=ubn\+(cu)bn=ubn\+cbnubn=ubn(1\+cbn)。

假设w=1\+cbn, 我们得到，wbn\+1=wwbn=wubn或者u=w。

所以，x=(1\+cbn)b,y=cu=c(1\+cbn)b,z=(1\+cbn)a.。

令n=3,m=2，我们得到2a−3b=1。所以可以得到a=2,b=1。

所以，x=(1\+c3),y=c(1\+c3)，z=(1\+c3)2就是一组解。但不是所有解。但根据这个公式可以找到无穷解。

(2).证明：如果有(a,b,c)满足a3\+b3=c2，那么a′=a∗n2,b′=b∗n2,代入则有a3∗n6\+b3∗n6=(a3\+b3)∗n6=n6∗z2=(z∗n3)2。也就是说如果(a,b,c)满足a3\+b3=c2,(a′,b′,c′)满足(a∗n2,b∗n2,c∗n3)，那么(a′,b′,c′)也一定满足a′3\+b′3=c′2。所以，根据这个推论可以得到满足条件的该三元组也是无穷多的。

(3). ……对这一问感觉很无语…..  
1.对于A=4r4−4p3r,B=8pr3\+p4,C=20p3r3−p6\+8r6，满足  
A3\+B3=C2  
2.对于x=(1\+c3),y=c(1\+c3)，z=(1\+c3)2，满足x3\+y3=z2.  
3….  
4….

(4).如果a=b，那么方程可以变形为2a3=c2，也就是说显然a必须是偶数，否则开方后就不能是整数了，所以假设a=b=2k，有c2=2(2k)3=16k3。  
所以，c=4kk√.  
要满足c为整数，那么要保证k为平方数。  
所以，设a=b=2k2,那么c=2∗(2k2)3−−−−−−−−√=4k3，所以，(a,b,c)=(a,a,c)=(2k2,2k2,4k3)。

(5).  
[A050801][]

比如，  
2793003\+22344003=33432210002。  
比如，  
427942710075952892=143858644023\+1222798474173=551721612783\+1184857732893=641176429533\+1161697222143=967049773693\+975041920583  
再比如，  
471555724459350126960002=944057593615503\+13050702636016503=3742244085442803\+12948991765357203=7279592827780003\+12249153117656003=8570108578122003\+11681924254182003=10092375165600003\+10613814549156003

[A050801]: http://oeis.org/A050801