《数论概论》读书笔记第三章勾股数组与单位圆

我不是女神ヾ 2022-06-16 05:09 252阅读 0赞

#### 本章讲的是勾股数组与单位圆的关系，讲关于勾股数的公式可以通过几何形式来推出。 ####

定理3.1:

*  圆x2\+y2=1上的坐标是有理数的点都可以由公式： (x,y)=(1−m21\+m2,2m1\+m2)得到，其中m取有理数值.（点(−1,0)例外，这个当m→∞时的极限值 ）。

习题解析：  
1.  
(a)如果u和v有公因数，假设d|u且d|v，那么显然会有d|a,d|b,d|c，所以(a,b,c)不是本原勾股数组。  
(b)是否存在u和v没有公因数(u>0,v>0)，但是该三元组(u2−v2,2uv,u2\+v2)不是本原的。如果要让d|a,d|b,d|c，又要让d不被u或v整除，那么只有让d=2，v和u是奇数，那么显然a和c是偶数，2uv也是偶数，例如(6,8,10),此时u=3,v=1.  
(c)自己打表。  
(d)打表可以发现，当u和v互质且u和v一奇一偶时，(a,b,c)是本原的。  
(e)证明：u=2k\+1,v=2t  
u2\+v2=4k2\+4k\+1\+4t2  
2uv=2∗2t(2k\+1)  
u2−v2=4k2\+4k\+1−4t2  
反证：  
设(u2−v2,2uv,u2−v2)不是本原的，即存在d  
d!=1且d不能整除u或v  
d|(4k2\+4k\+1\+4t2)..................1  
d|2∗2t(2k\+1).........................2  
d|(4k2\+4k\+1−4t2)...................3  
如果d来自2，那么显然与1式和3式矛盾。  
如果d来自2t，那么d不整除u，与1式和3式矛盾。  
同理如果d来自(2k\+1)，与1式和3式矛盾  
所以当u和v一奇一偶且互质时，(u2−v2,2uv,u2−v2)才是本原的。

2.  
(a)(v2−2uv−u2u2\+v2,u2−2uv\+v2u2\+v2)  
(b)如果用相同的方法求圆x2\+y2=3上所有坐标为有理数的点，那么会发现没有一个坐标为有理数值点能够作为基准点，也就是不能找到能起到像x2\+y2=2中的点(1,1)，x2\+y2=1中的点(−1,0)这种作用的点。

3.答案：(u2\+v2u2−v2,2uvu2−v2)。  
用双曲线的方法也能推出勾股数组的通项公式，这是因为把公式变形为(ca)2−(ba)2=1，就可以用双曲线求解了。得到这个答案后将分母约去，就可以求出a了。

4.对于y2=x3\+8  
上有2个点为：(1,−3),(−74,138)。  
第三个解为：(433121,97651331)，这个是有理数吗？….翻译有错吧….