HDU 1116(并查集，欧拉路径)

￡神魔★判官ぃ 2022-09-20 11:17 190阅读 0赞

题意：给你一些英文单词，判断所有单词能不能连成一串，类似成语接龙的意思。但是如果有多个重复的单词时，也必须满足这样的条件才能算YES。否则都是不可能的情况。

解题思路：

欧拉路的基本题。只要知道就可以做出来了。

[关于欧拉回路和欧拉路径][Link 1]

定义：  
欧拉回路：每条边恰好只走一次，并能回到出发点的路径  
欧拉路径：经过每一条边一次，但是不要求回到起始点

①首先看欧拉回路存在性的判定：

一、无向图  
每个顶点的度数都是偶数，则存在欧拉回路。

二、有向图（所有边都是单向的）  
每个节顶点的入度都等于出度，则存在欧拉回路。

三.混合图欧拉回路  
　　混合图欧拉回路用的是网络流。  
　　把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。  
　　好了，现在每个点入度和出度之差均为偶数。那么将这个偶数除以2，得x。也就是说，对于每一个点，只要将x条边改变方向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。  
　　现在的问题就变成了：我该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。首先，有向边是不能改变方向的，要之无用，删。一开始不是把无向边定向了吗？定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u，连接边(u, t)、容量为x，对于出 > 入的点v，连接边(s, v)，容量为x（注意对不同的点x不同）。之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。欧拉回路是哪个？查看流值分配，将所有流量非 0（上限是1，流值不是0就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。  
　　由于是满流，所以每个入 > 出的点，都有x条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么，没和s、t连接的点怎么办？和s连接的条件是出 > 入，和t连接的条件是入 > 出，那么这个既没和s也没和t连接的点，自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。  
　　所以，就这样，混合图欧拉回路问题，解了。

②.欧拉路径存在性的判定

一。无向图  
一个无向图存在欧拉路径，当且仅当   该图所有顶点的度数为偶数   或者  除了两个度数为奇数外其余的全是偶数。

二。有向图  
一个有向图存在欧拉路径，当且仅当 该图所有顶点的度数为零     或者 一个顶点的度数为1，另一个度数为-1，其他顶点的度数为0。

三。混合图欧拉路径  
其实整篇文章只有这部分是我写的哈，灰常不好意思，只是网上的同志们写的太好了，实在没有必要重复劳动，不知道大家有没有发现，求欧拉路径的第一步一定是求欧拉回路，在混合图上也不例外，如何判断混合图欧拉回路问题的存在性呢？首先，我们用上文所说的方法判断该图是否存在欧拉回路，如果存在，欧拉路径一定存在。如果欧拉回路不存在，那么我们枚举欧拉路径的起点和终点，连接一条无向边，然后再用最大流判断是否存在欧拉回路即可。

**所以这道题的大题思路就是：**

1.并查集判断连通

2.将每个单词取出首字母和尾字母，转换为一条边，然后加入对应的连通分量中。如果这个字母出现过，visit数组标记为true。同时起点出度加1，终点入度加1.

3.判断一下：

1）这个图必须是连通的，即根结点只有一个。如果不是，直接结束本次算法。

2）如果这个图是连通的，判断每个结点的入度和出度情况。

如果这个图是欧拉路，则每个顶点的出度等于入度。即out\[i\] = in\[i\]

如果这个图是半欧拉图，则起点的出度比入度大1，终点的入度比出度大1.其余顶点的出度等于入度。

如果满足上述条件，就可以将所有单词链接起来，否则不能。

当然，在判断出度入度的时候还有一点需要注意，那就是除了起点终点以外的顶点，出度必须等于入度（出度入度可以同时为2，即环），但是起点和终点必须保证出度和入度之差为1。

#include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    #include <cstdlib>
    #include <cmath>
    using namespace std;
    
    #define N 30
    
    int  father[N], vis[N];
    
    int findx(int x)
    {
        return father[x] == x ? x : father[x] = findx(father[x]);
    }
    
    void merge(int a, int b)
    {
        a = findx(a), b = findx(b);
        if (a != b) father[a] = b;
    }
    
    int main()
    {
        int text, cnt, i, j, n, out[N], in[N], p[30], a, b;
        char str[1001];
        scanf("%d", &text);
        while (text--)
        {
            scanf("%d", &n);
            memset(out, 0, sizeof out);
            memset(in, 0, sizeof in);
            memset(vis, 0, sizeof vis);
            for (i = 0; i < 26; ++i)
                father[i] = i;
            while (n--)
            {
                scanf("%s", str);
                a = str[0] - 'a';
                b = str[strlen(str) - 1] - 'a';
                merge(a, b);
                ++out[a];
                ++in[b];
                vis[a] = 1;
                vis[b] = 1;
            }
            //for (i = 0; i < 26; ++i)
            //    findx(i);
            for (cnt = 0, i = 0; i < 26; ++i)
                if (vis[i] && father[i] == i)
                    ++cnt;
            if (cnt > 1)
            {
                printf("The door cannot be opened.\n");
                continue;
            }
            for (j = 0, i = 0; i < 26; ++i)
                if (vis[i] && out[i] != in[i])
                    p[j++] = i;
            if (j == 0)
            {
                printf("Ordering is possible.\n");
                continue;
            }
            if (j == 2 && abs(out[p[0]] - in[p[0]]) == 1 && abs(out[p[1]] - in[p[1]]) == 1 && out[p[0]] - in[p[0]] == in[p[1]] - out[p[1]])
            {
                printf("Ordering is possible.\n");
                continue;            
            }
            printf("The door cannot be opened.\n");
        }
    }

[Link 1]: http://www.cppblog.com/abilitytao/archive/2010/07/26/121319.html