概率论基本公式

分手后的思念是犯贱 2022-08-30 00:57 534阅读 0赞

# 条件概率 #

在事件B发生的前提条件，事件A发生的概率：

P ( A / B ) = P ( A B ) / P ( B ) P(A/B) = P(AB)/P(B) P(A/B)=P(AB)/P(B)

# 独立事件 #

P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB) = P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)

# 概率基础公式 #

加法： P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB) P(A\+B)=P(A)\+P(B)−P(AB)  
减法： P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A-B) = P(A) - P(AB) P(A−B)=P(A)−P(AB)  
乘法： P ( A B ) = P ( A ) P ( B / A ) = P ( B ) P ( A / B ) P(AB) = P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)

# 全概率公式： #

一个试验可以分成两个阶段：

*  事件 A A A可分成完备事件组： A 1 A\_1 A1、 A 2 A\_2 A2、 A 3 A\_3 A3…
 *  每种情况( A i A\_i Ai)下，完成的概率。

假设 A 1 A\_1 A1、 A 2 A\_2 A2、 A 3 A\_3 A3是 A A A的完备事件组，那么事件 B B B发生的概率：

P ( B ) = P ( B ( A 1 ⋃ A 2 ⋃ A 3 ) ) = P ( B A 1 ⋃ B A 2 ⋃ B A 3 ) = P ( B A 1 ) + P ( B A 2 ) + P ( B A 3 ) = P ( A 1 ) P ( B / A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B / A 2 ) + P ( A 3 ) P ( B / A 3 ) P(B)=P(B(A\_1\\bigcup A\_2\\bigcup A\_3))=P(BA\_1\\bigcup BA\_2\\bigcup BA\_3)=P(BA\_1)+P(BA\_2)+P(BA\_3)=P(A\_1)P(B/A\_1)+P(A\_2)P(B/A\_2)+P(A\_3)P(B/A\_3) P(B)=P(B(A1⋃A2⋃A3))=P(BA1⋃BA2⋃BA3)=P(BA1)\+P(BA2)\+P(BA3)=P(A1)P(B/A1)\+P(A2)P(B/A2)\+P(A3)P(B/A3)

实际上，全概率公式可以简记为： P ( B ) = ∑ P ( A i ) P ( B / A i ) P(B)=\\sum P(A\_i)P(B/A\_i) P(B)=∑P(Ai)P(B/Ai)

# 贝叶斯定理 #

若已知事件B发生了，执果索因：

P ( A j / B ) = P ( A j B ) P ( B ) = P ( A j ) P ( B / A j ) ∑ P ( A i ) P ( B / A i ) P(A\_j/B) = \\frac\{P(A\_jB)\}\{P(B)\}=\\frac\{P(A\_j)P(B/A\_j)\}\{\\sum P(A\_i)P(B/A\_i)\} P(Aj/B)=P(B)P(AjB)=∑P(Ai)P(B/Ai)P(Aj)P(B/Aj)

例子：如下图所示，小明上学有三种不同的方式： A 1 A\_1 A1、 A 2 A\_2 A2、 A 3 A\_3 A3，选择每种出行方式的概率分别为：0.5、0.3、0.2，B事件表示小明上学迟到了。现已知小明今天迟到了，问小明是按照 A 1 A\_1 A1出行方式迟到的概率？  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dqaW5qaWU_size_16_color_FFFFFF_t_70]

# 切比雪夫不等式 #

p ( ∣ x − u ∣ > k ∂ ) < = 1 / ( k 2 ) p(|x-u|>k∂)<=1/(k^2) p(∣x−u∣>k∂)<=1/(k2), 满足k>0,u为期望,∂为标准差

绝大多数数据都应该在均值附近

# 抽球 #

*  有放回的抽取，抽取 m 个排成一列，求不同排列总数：  
    ![1c43de7acf96dec52c3a5ced2f36e6ff.png][]
 *  无放回的抽取，抽取 m 个排成一列，求不同排列总数:  
    ![d7282bd5c4af2e1fa29845d000bed7ea.png][]

# 纸牌问题 #

问题：54 张牌，分成 6 份， 每份 9 张牌， 大小王在一起的概率？

54张牌分成6等份，共有M=(C54取9)*(C45取9)*…种分法。  
其中大小王在同一份的分法有N=(C6取1)*(C52取7)*(C45取9)\*…种。  
因此所求概率为P=N / M

# 棍子/绳子问题 #

问题：一根棍子折三段能组成三角形的概率？

假设：棍子长度为1，第一段长度为x， 第二段长度为y， 第三段长度1-x-y

分母：总的样本空间是：x+y<1，面积是0.5

分子：两边之和大于第三边，可列得如下不等式组：x+y>1-x-y; 1-x-y+y>x; 1-x-y+x>y。面积是0.125

故概率是：0.125/0.5 = 0.25

# 选择时间问题 #

问题：一个活动,n个女生手里拿着长短不一的玫瑰花,无序的排成一排,一个男生从头走到尾,试图拿更长的玫瑰花,一旦拿了一朵就不能再拿其他的,错过了就不能回头,问最好的策略及其概率?

1/e

# 0~1均匀分布的随机器如何变化成均值为0，方差为1的随机器 #

均匀分布：  
E(x) = (a+b)/2  
标准差：D(x) = (b-a)^2/12

所以只需要对x做变换：sqrt(12(x-1/2))即可

# 抽红蓝球球 #

问题：抽蓝球红球，蓝结束红放回继续，平均结束游戏抽取次数

假设设抽到 蓝球 的概率为 p ， 设抽到红球的概率为 q， 那么抽取到的次数为：

E = 1 ⋅ p + 2 p ⋅ q + . . . + n p ⋅ q n − 1 E=1·p+2p·q+...+np·q^\{n-1\} E=1⋅p\+2p⋅q\+...\+np⋅qn−1

可得,

E = p ( 1 + 2 q + . . . + n q n − 1 ) E = p(1+2q+...+nq^\{n-1\}) E=p(1\+2q\+...\+nqn−1),

令,

1 + 2 q + . . . + n q n − 1 = s 1+2q+...+nq^\{n-1\}=s 1\+2q\+...\+nqn−1=s

再由s为等比公式和s-sq得,

E = s p = s ( 1 − q ) = s − s q = 1 / p E=sp=s(1-q)=s-sq=1/p E=sp=s(1−q)=s−sq=1/p

s − s q = ( 1 + 2 q + . . . + n q n − 1 ) − ( q + 2 q 2 + . . . + n q n ) = 1 + q + q 2 + . . . + q n − 1 − n q n s-sq =(1+2q+...+nq^\{n-1\})-(q+2q^2+...+nq^\{n\})=1+q+q^2+...+q^\{n-1\}-nq^n s−sq=(1\+2q\+...\+nqn−1)−(q\+2q2\+...\+nqn)=1\+q\+q2\+...\+qn−1−nqn

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