线性代数——基本导数公式

淩亂°似流年 2022-10-31 15:55 624阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  基本导数公式
 *  基本导数运算法则
 *   *  加法运算
     *  减法运算
     *  乘法运算
     *  除法运算
     *  带有常数C的导数
 *  微分的四则运算
 *   *  加减法计算
     *  带有常数的微分
     *  乘法计算
     *  除法计算

# 基本导数公式 #

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>原函数 f ( x ) f(x) f(x)</th> 
 <th>导数 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>C (C为常数)</td> 
 <td>0</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> x n x^n xn</td> 
 <td> n x n − 1 nx^{n-1} nxn−1</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> C x C^x Cx</td> 
 <td> C x l n C C^xlnC CxlnC (C为常数，且大于0)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> e x e^x ex (e为自然常数)</td> 
 <td> e x ( l n e ) = e x ⋅ 1 = e x e^x(lne) = e^x \cdot 1 = e^x ex(lne)=ex⋅1=ex</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> l o g c x log_cx logcx</td> 
 <td> l o g a e x \frac{log_ae}{x} xlogae</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> l n x ln x lnx</td> 
 <td> 1 x \frac{1}{x} x1</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> s i n x sin x sinx</td> 
 <td> c o s x cos x cosx</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> c o s x cos x cosx</td> 
 <td> − s i n x -sin x −sinx</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> t a n x tan x tanx</td> 
 <td> s e c 2 x = 1 c o s 2 x sec^2x = \frac{1}{cos^2 x} sec2x=cos2x1</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> c o t x cot x cotx</td> 
 <td> − c s c 2 x = − 1 s i n 2 x -csc^2 x = -\frac{1}{sin^2 x} −csc2x=−sin2x1</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

# 基本导数运算法则 #

## 加法运算 ##

F ′ ( x ) = ( f ( x ) + g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) F'(x)=(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) F′(x)=(f(x)\+g(x))′=f′(x)\+g′(x)

## 减法运算 ##

F ′ ( x ) = ( f ( x ) − g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) F'(x)=(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x) F′(x)=(f(x)−g(x))′=f′(x)−g′(x)

## 乘法运算 ##

F ′ ( x ) = ( f ( x ) × g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) F'(x)=(f(x) \\times g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) F′(x)=(f(x)×g(x))′=f′(x)g(x)\+f(x)g′(x)

## 除法运算 ##

F ′ ( x ) = \{ f ( x ) g ( x ) \} ′ = \{ f ( x ) ′ g ( x ) − f ( x ) g ( x ) ′ g 2 ( x ) \} F'(x) = \\left \\\{ \\frac\{f(x)\}\{g(x)\} \\right \\\}' = \\left \\\{ \\frac\{f(x)'g(x) - f(x)g(x)'\}\{g^2(x)\} \\right \\\} F′(x)=\{ g(x)f(x)\}′=\{ g2(x)f(x)′g(x)−f(x)g(x)′\}

## 带有常数C的导数 ##

F ′ ( x ) = ( C ⋅ f ( x ) ) ′ = C ⋅ f ( x ) ′ F'(x) = (C \\cdot f(x))' = C \\cdot f(x)' F′(x)=(C⋅f(x))′=C⋅f(x)′

# 微分的四则运算 #

微分常见的表示符号有三种，在偏微分方程中，以 ∂ \\partial ∂表示，在通常则是以 d d d表示，某些教科书上也有以 d i f f ( x ) diff(x) diff(x)进行表示，代表一种计算方法， d x dx dx表达的含义与通常 f ( x ) f(x) f(x)是一样的，因为数学家比较懒的原因， d ( x ) d(x) d(x)就约定俗成的用 d x dx dx进行表达了。

## 加减法计算 ##

d ( f ( x ) ± g ( x ) ) = d ( f ( x ) ) ± d ( g ( x ) ) d(f(x) \\pm g(x)) = d(f(x)) \\pm d(g(x)) d(f(x)±g(x))=d(f(x))±d(g(x))

## 带有常数的微分 ##

d ( C f ( x ) ) = C ⋅ d ( f ( x ) ) d(Cf(x)) = C \\cdot d(f(x)) d(Cf(x))=C⋅d(f(x))

## 乘法计算 ##

d ( f ( x ) g ( x ) ) = d ( f ( x ) ) g ( x ) + f ( x ) d ( g ( x ) ) d(f(x)g(x)) = d(f(x))g(x) + f(x)d(g(x)) d(f(x)g(x))=d(f(x))g(x)\+f(x)d(g(x))

## 除法计算 ##

d \{ f ( x ) g ( x ) \} = \{ d f ( x ) g ( x ) − f ( x ) d g ( x ) g 2 ( x ) \} d \\left \\\{ \\frac\{f(x)\}\{g(x)\} \\right \\\} = \\left \\\{ \\frac\{df(x)g(x) - f(x)dg(x)\}\{g^2(x)\} \\right \\\} d\{ g(x)f(x)\}=\{ g2(x)df(x)g(x)−f(x)dg(x)\}