条件概率，乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的解释（概率论）

落日映苍穹つ 2022-09-01 08:42 243阅读 0赞

# 条件概率 #

**公式**：

设A, B为任意两个事件，若P(A)>0，我们称在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率为条件概率，记为  P ( B ∣ A ) P(B|A) P(B∣A)，并定义：  
 P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A )            ( P ( A ) > 0 ) P(B|A) = \\frac\{P(AB)\}\{P(A)\} ~~~~~~~~~~(P(A)>0) P(B∣A)=P(A)P(AB)          (P(A)>0)

**解释：**

以**投骰子**游戏为例，设事件  A = \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 \} A=\\\{1,2,3,4,5\\\} A=\{ 1,2,3,4,5\}，事件  B = \{ 1 , 2 , 3 , 6 \} B=\\\{1,2,3,6\\\} B=\{ 1,2,3,6\}

则“当事件  A A A 发生的前提下，事件B发生的概率”意思为：现在知道投出的点数为A中的其中一个，那么有多少概率该点数也是B中的一个呢？

所以，要先求出AB的交集， A B = \{ 1 , 2 , 3 \} AB=\\\{ 1,2,3 \\\} AB=\{ 1,2,3\} 。如果投掷的点数在  A B AB AB 中，那么 B B B事件就也发生了

所以  P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) = 3 5 P(B|A) = \\frac\{P(AB)\}\{P(A)\} = \\frac\{3\}\{5\} P(B∣A)=P(A)P(AB)=53

# 乘法公式 #

**公式**：

如果  P ( A ) > 0 P(A)>0 P(A)>0 ，则  
 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) P(AB) = P(A)P(B|A) P(AB)=P(A)P(B∣A)  
一般地，如果  P ( A 1 ⋯ A n − 1 ) > 0 P(A\_1\\cdots A\_\{n-1\})>0 P(A1⋯An−1)>0 ，则  
 P ( A 1 A 2 ⋯ A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) ⋯ P ( A n ∣ A 1 ⋯ A n − 1 ) P(A\_1A\_2\\cdots A\_n) = P(A\_1)P(A\_2|A\_1)P(A\_3|A\_1A\_2)\\cdots P(A\_n|A\_1\\cdots A\_\{n-1\}) P(A1A2⋯An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)⋯P(An∣A1⋯An−1)

> 注：  A i A\_i Ai 先于  A i + 1 A\_\{i+1\} Ai\+1 发生时用此公式

**解释：**

将**条件概率公式**的分母  P ( A ) P(A) P(A) 挪过去，就得到了该公式

# 全概率公式 #

**公式**：

如果  ⋃ i = 1 n A i = Ω \\bigcup\_\{i=1\}^n A\_i = \\Omega ⋃i=1nAi=Ω ，  A i A j = ∅   ( i ≠ j ) A\_i A\_j = \\varnothing~(i\\neq j) AiAj=∅ (i=j) ，  P ( A i ) > 0 P(A\_i)>0 P(Ai)>0 ， 则对任一事件  B B B ,有  
 B = ⋃ i = 1 n A i B P ( B ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) B = \\bigcup\_\{i=1\}^\{n\} A\_i B \\\\\\\\ P(B) = \\sum\_\{i=1\}^\{n\} P(A\_i) P(B|A\_i) B=i=1⋃nAiBP(B)=i=1∑nP(Ai)P(B∣Ai)

**解释：**

已知有很多事件  A i A\_i Ai，每个事件的发生都会影响B事件的发生（影响可能是0），那么 B 事件的发生概率就是  P ( B ) P(B) P(B)。

假设，现在我们想派 `张三、李四、王五` 三个中的其中一个去偷东西，他们被委派的概率分别是： 1 10 、 3 10 、 6 10 \\frac\{1\}\{10\}、\\frac\{3\}\{10\}、\\frac\{6\}\{10\} 101、103、106。而他们偷窃成功的概率分别是  0 、 1 3 , 1 2 0、\\frac\{1\}\{3\}, \\frac\{1\}\{2\} 0、31,21 。 那么，现在问，东西被偷成功的概率是多少？

在该样例中，事件 B B B 为“东西被偷成功”，事件 A 1 A\_1 A1为“派张三去偷”，依次类推；则  P ( B ∣ A 1 ) P(B|A\_1) P(B∣A1) 为“派张三去偷的前提下，偷成功的概率”，依次类推。我们将其总结成以下表格

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>人物</th> 
 <th>张三</th> 
 <th>李四</th> 
 <th>王五</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>被委派事件</td> 
 <td> A 1 A_1 A1</td> 
 <td> A 2 A_2 A2</td> 
 <td> A 3 A_3 A3</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>被委派的概率</td> 
 <td> P ( A 1 ) = 1 10 P(A_1)=\frac{1}{10} P(A1)=101</td> 
 <td> P ( A 2 ) = 3 10 P(A_2)=\frac{3}{10} P(A2)=103</td> 
 <td> P ( A 3 ) = 6 10 P(A_3)=\frac{6}{10} P(A3)=106</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>被指派且偷窃成功的事件</td> 
 <td> A 1 B A_1B A1B</td> 
 <td> A 2 B A_2B A2B</td> 
 <td> A 3 B A_3B A3B</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>偷窃成功的概率</td> 
 <td> P ( B ∣ A 1 ) = 0 P(B∣A_1)=0 P(B∣A1)=0</td> 
 <td> P ( B ∣ A 2 ) = 1 3 P(B∣A_2)=\frac{1}{3} P(B∣A2)=31</td> 
 <td> P ( B ∣ A 3 ) = 1 2 P(B∣A_3)=\frac{1}{2} P(B∣A3)=21</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

那么，偷成功的概率则为：  
 P ( B ) = ∑ i = 1 3 P ( A i ) P ( B ∣ A i ) = 1 10 × 0 + 3 10 × 1 3 + 6 10 × 1 2 = 2 5 P(B) = \\sum\_\{i=1\}^\{3\} P(A\_i) P(B|A\_i) = \\frac\{1\}\{10\} \\times 0+ \\frac\{3\}\{10\} \\times \\frac\{1\}\{3\} + \\frac\{6\}\{10\} \\times \\frac\{1\}\{2\} = \\frac\{2\}\{5\} P(B)=i=1∑3P(Ai)P(B∣Ai)=101×0\+103×31\+106×21=52

# 贝叶斯公式（逆概公式） #

**公式**：

如果  ⋃ i = 1 n A i = Ω \\bigcup\_\{i=1\}^n A\_i = \\Omega ⋃i=1nAi=Ω ，  A i A j = ∅   ( i ≠ j ) A\_i A\_j = \\varnothing~(i\\neq j) AiAj=∅ (i=j) ，  P ( A i ) > 0 P(A\_i)>0 P(Ai)>0 ， 则对任一事件  B B B , 只要  P ( B ) > 0 P(B)>0 P(B)>0 ，就有：  
 P ( A j ∣ B ) = P ( A j ) P ( B ∣ A j ) ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i )          ( j = 1 , 2 , ⋯   , n ) P(A\_j | B) = \\frac\{P(A\_j)P(B|A\_j)\}\{\\sum\_\{i=1\}^\{n\}P(A\_i) P(B|A\_i)\} ~~~~~~~~(j=1,2,\\cdots,n) P(Aj∣B)=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai)P(Aj)P(B∣Aj)        (j=1,2,⋯,n)

**解释**：

贝叶斯公式是全概率公式的逆公式，意思为：现在已知B事件已经发生了，找出是由哪个  A j A\_j Aj 引起的。

还是用上面的例子。现在东西已经被偷了，我想知道“是张三干、是李四干的、是王五干的”这三个事件的概率。

将  P ( A j B ) P(A\_jB) P(AjB) 求得，分别是：  
 P ( A 1 ∣ B ) = P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) = 1 10 × 0 2 / 5 = 0 P ( A 2 ∣ B ) = P ( A 2 ) P ( B ∣ A 2 ) ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) = 3 10 × 1 3 2 / 5 = 1 4 P ( A 2 ∣ B ) = P ( A 3 ) P ( B ∣ A 3 ) ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) = 6 10 × 1 2 2 / 5 = 3 4 \\begin\{aligned\} P(A\_1 | B) &= \\frac\{P(A\_1)P(B|A\_1)\}\{\\sum\_\{i=1\}^\{n\}P(A\_i) P(B|A\_i)\} = \\frac\{\\frac\{1\}\{10\}\\times 0\}\{2/5\} = 0 \\\\\\\\ P(A\_2 | B) &= \\frac\{P(A\_2)P(B|A\_2)\}\{\\sum\_\{i=1\}^\{n\}P(A\_i) P(B|A\_i)\} = \\frac\{\\frac\{3\}\{10\}\\times \\frac\{1\}\{3\}\}\{2/5\} = \\frac\{1\}\{4\} \\\\\\\\ P(A\_2 | B) &= \\frac\{P(A\_3)P(B|A\_3)\}\{\\sum\_\{i=1\}^\{n\}P(A\_i) P(B|A\_i)\} = \\frac\{\\frac\{6\}\{10\}\\times \\frac\{1\}\{2\}\}\{2/5\} = \\frac\{3\}\{4\} \\\\\\\\ \\end\{aligned\} P(A1∣B)P(A2∣B)P(A2∣B)=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai)P(A1)P(B∣A1)=2/5101×0=0=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai)P(A2)P(B∣A2)=2/5103×31=41=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai)P(A3)P(B∣A3)=2/5106×21=43

从上面的计算不难看出，贝叶斯公式的分母就是全概率公式的结果，即东西被偷成功的概率；而分子则是此人所占的比重，即此人被派去偷且偷成功的概率

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# 参考资料 #

*  张宇概率论9讲
 *  张宇概率论基础班