数学笔记（二）之平面表示

阳光穿透心脏的1/2处 2022-08-14 04:56 134阅读 0赞

关于平面的表示方法，之前也有些模糊的地方，在此顺便一记吧~

假设我们知道垂直于平面的法向量**n**，以及平面上的一点p0，如何使用这两个元素来表示该平面呢？

取平面上的任意一点p，并设**d**为从点p0到点p的向量，以坐标表示如下：

**n** = (xn, yn, zn)

p0 = (x0, y0, z0)

p = (x, y, z)

**d** = p - p0 = (x - x0, y - y0, z - z0)

由于**n**是垂直于平面的向量，所以**n**也垂直于平面上的任一向量（这里为**d**），即**n**和**d**的点乘为0:

**n** \* **d **= 0

依然以坐标表示：

(xn, yn, zn) \* (x - x0, y - y0, z - z0) = 0    =>

xn \* (x - x0) + yn \* (y - y0) + zn \* (z - z0) = 0  =>

xn \* x + yn \* y + zn \* z + (- xn \* x0 - yn \* y0 - zn \* z0) = 0

如果设定

A = xn

B = yn

C = zn

D = - xn \* x0 - yn \* y0 - zn \* z0

那么就有

A \* x + B \* y + C \* z + D = 0

而以上便是平面的表示方法了~

(注：相关的一些向量知识可以参考[这里][Link 1])

而关于上面等式中的D，但就数值来看似乎是向量**n**和点p0做点乘，貌似没啥意义，但是如果我们设置**k**为从坐标原点到p0点的向量，则有：

**k **= (x0, y0, z0) - (0, 0, 0) = (x0, y0, z0)

那么

D = - xn \* x0 - yn \* y0 - zn \* z0 = - (xn \* x0 + yn \* y0 + zn \* z0) = - **n** \* **k**

如果**n**是标准化向量（即模为1），那么D其实可以理解为坐标原点到平面的带符号距离，据此，我们也可以判断空间内任一点与平面的相对关系了~

拿cocos2d-x中的Plane类型举例，其使用的正是这种方法：

class CC_DLL Plane
    {
    public:
        
    // ...
    protected:
        Vec3 _normal; // the normal line of the plane
        float _dist; // original displacement of the normal
    };
    PointSide Plane::getSide(const Vec3& point) const
    {
        float dist = dist2Plane(point);
        if (dist > 0)
            return PointSide::FRONT_PLANE;
        else if (dist < 0)
            return PointSide::BEHIND_PLANE;
        else
            return PointSide::IN_PLANE;
    }

就这样了~

[Link 1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_vector

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