数学笔记（三）之镜面矩阵

谁借莪１个温暖的怀抱￠ 2022-08-18 08:18 179阅读 0赞

镜面变换在游戏中并不少见，相关资料网上也俯拾即是，不过自己总是感觉略显生疏，在此简单一记，算作是加深印象吧~

问题很简单，假设存在点P(x, y, z)以及平面(**n**, D)（不太清楚为何平面如此表示的朋友可以参考[这里][Link 1]），求解P相对与平面的镜像变换矩阵~

为了方便推导，画张图先：

![20151210204734248][]

简单解释一下图中内容：设点P(x, y, z)为平面正方向上的一点，点O是P(x, y, z)在平面上的投影，点A(xa, ya, za)是平面上任取的一点，而P’(x’, y’, z’)则是点P(x, y, z)相对与平面的镜像点，另外的，我们还假设由点A到点P的向量为**a**(x - xa, y - ya, z - za)，由点O到点P的向量为**b**，平面法向量为**n**(xn, yn, zn)，平面到原点的带符号距离为D

准备就绪，开始~

由图易知：

P’ = P - 2 \* **b**

接着往下，如何求解**b**呢？其实很简单，只要求解**a**在平面法向量**n**上的投影即可：

**b** = **a** \* **n** \* **n**

OK，此处我们稍停，由于**a** \* **n**是一个标量，我们先简单求解一下：

**a** \*** n** = (x - xa, y - ya, z - za) \* (xn, yn, zn) = (x - xa) \* xn + (y - ya) \* yn + (z - za) \* zn

= x \* xn + y \* yn + z \* zn - xa \* xn - ya \* yn - za \* zn

因为点A(xa, ya, za)为处于平面上的点，自然满足（再次提醒，不清楚的朋友可以参考[这里][Link 1]）：

xa \* xn + ya \* yn + za \* zn + D = 0 即

D = - xa \* xn - ya \* yn - za \* zn

基于此，上面的**a** \* **n**可以简化为：

**a** \* **n** = x \* xn + y \* yn + z \* zn + D

好了，我们计算出了 **a** \* **n**，接着就可以用它来表示**b**了：

**b** = **a** \* **n** \* **n** = (x \* xn + y \* yn + z \* zn + D) \* **n**

考虑最之前P’点的表达式，我们将上式代入，得到：

P’ = P - 2 \* **b** = P - 2 \* (x \* xn + y \* yn + z \* zn + D) \* **n**

OK，到此，我们使用点P和平面**n**和D表示出了点P’，接着就可以推导变换矩阵了：

首先尝试计算点P’的x分量，我们有：

P’x = x - 2 \* (x \* xn + y \* yn + z \* zn + D) \* xn

= (1 - 2 \* xn \* xn) \* x - 2 \* xn \* yn \* y - 2 \* xn \* zn \* z - 2 \* xn \* D

根据这个表达式，并根据矩阵乘法规则，我们便可以得到变换矩阵的第一行元素：

m11 = 1 - 2 \* xn \* xn

m12 = -2 \* xn \* yn

m13 = -2 \* xn \* zn

m14 = -2 \* xn \* D

同样的方法，点P’的y,z分量分别为：

P’y = y - 2 \* (x \* xn + y \* yn + z \* zn + D) \* yn

= - 2 \* xn \* yn \* x + (1 - 2 \* yn \* yn) \* y - 2 \* yn \* zn \* z - 2 \* yn \* D

P’z = z - 2 \* (x \* xn + y \* yn + z \* zn + D) \* zn

= - 2 \* xn \* zn \* x - 2 \* yn \* zn \* y + (1 - 2 \* zn \* zn) \* z - 2 \* zn \* D

对应的，矩阵的第二行元素和第三行元素分别为：

m21 = -2 \* xn \* yn

m22 = 1 - 2 \* yn \* yn

m23 = -2 \* yn \* zn

m24 = -2 \* yn \* D

m31 = -2 \* xn \* zn

m32 = -2 \* yn \* zn

m33 = 1 - 2 \* zn \* zn

m34 = -2 \* zn \* D

至于矩阵的最后一行，在此我们暂不关心，简单设置：

m41 = 0

m42 = 0

m43 = 0

m44 = 1

至此，我们推导出了镜面变换的矩阵，为了演示简单搞了个Demo，有兴趣[自取][Link 2]~

就这样了~

[Link 1]: http://blog.csdn.net/tkokof1/article/details/49978199
[20151210204734248]: /images/20220731/350b3e5cde9c42f18839089e8877dc9c.png
[Link 2]: https://github.com/tkokof/ReflectMatrix

发表评论取消回复

表情：

评论列表（有 0 条评论，179人围观）

还没有评论，来说两句吧...

相关阅读

相关高等数学：矩阵

文章目录一、矩阵概念二、矩阵的运算三、矩阵乘积的行列式与秩四、矩阵的逆（inv）五、初等矩阵六、有关矩阵的解题技巧一

男娘i/ 2023年10月15日 09:46/ 0 赞/ 181 阅读

相关《数学之美》读书笔记

雅格布森通信模型：通信六要素发送者（信息源）信道接收者信息上下文编码 ![938105-20

爱被打了一巴掌/ 2023年08月17日 16:15/ 0 赞/ 167 阅读

相关数学_矩阵伪逆计算

直接上公式：A是（m,n）矩阵，(简单理解：m是行，代表方程个数；n代表列，表示未知数个数)。当A满秩时： ![20140502211056046][] 摘自： http:

水深无声/ 2022年10月22日 05:22/ 0 赞/ 187 阅读

相关【数学】Hessian矩阵，Jacobi矩阵

Hessian 矩阵是一个多元实函数的二阶导数: 设![0_1294802270CDdn.gif][]，二阶导数![0_1294802278tCT6.gif][]构成Hess

缺乏、安全感/ 2022年09月28日 11:53/ 0 赞/ 203 阅读

相关数学笔记（三）之镜面矩阵

镜面变换在游戏中并不少见，相关资料网上也俯拾即是，不过自己总是感觉略显生疏，在此简单一记，算作是加深印象吧~ 问题很简单，假设存在点P(x, y, z)以及平面

谁借莪１个温暖的怀抱￠/ 2022年08月18日 08:18/ 0 赞/ 180 阅读

相关数学笔记（一）之列主序矩阵

\ 引子数学相关的东西，随便记记：）~ 对于矩阵，OpenGL采用列主序（column-major order）存储，之前对于这个概念有些模糊，后来又了解了一些相关知识，

客官°小女子只卖身不卖艺/ 2022年08月10日 03:34/ 0 赞/ 143 阅读

相关矩阵论、组合数学基础

http://[blog.csdn.net/pipisorry/article/details/49180221][blog.csdn.net_pipisorry_articl

青旅半醒/ 2022年08月09日 09:15/ 0 赞/ 234 阅读

相关数学基础（一）之矩阵的基本概念

1. 矩阵和向量 1.1 矩阵 ⎡⎣⎢⎢⎢⎢1402137194914719182114371448⎤⎦⎥⎥⎥⎥ 这个是4x2的矩阵，即4行2列。矩阵的维度即行数

「爱情、让人受尽委屈。」/ 2022年06月02日 02:50/ 0 赞/ 248 阅读

相关《数学之美》读书笔记（一）

蛮遗憾以前不知道读书的好，把时间花再很浮躁很虚的东西上面以至于自己也很躁。优秀的书籍真的能给自己视野冲击，积累也不过就是在一行行字之间。这一系列博客就用来摘抄让自己“AHA”的

心已赠人/ 2022年02月04日 12:06/ 0 赞/ 385 阅读

相关高等数学笔记之：前奏

目录引入问题引入先来几道题，感受一下高等数学的魅力。问题问题 ①： lim ⁡ n → ∞ ( 1 n 2 + n + 1

妖狐艹你老母/ 2021年09月25日 10:42/ 0 赞/ 362 阅读