几种分布概述（正态分布/卡方分布/F分布/T分布）

浅浅的花香味﹌ 2022-05-30 08:28 1099阅读 0赞

搞清楚了下面的几种分布，在置信区间估计、显著性检验等问题中就会收到事半功倍的效果。come on~！

正态分布：正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussiandistribution），若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。

当μ=0，σ=1时，正态分布就成为标准正态分布N（0，1)。概率密度函数为：

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正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。

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卡方分布：若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布N（0,1）（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和 ![2.png][]

构成一新的随机变量，其分布规律称为   ![3.png][]   分布（chi-squaredistribution）。其中参数n称为自由度（通俗讲，样本中独立或能自由变化的自变量的个数，称为自由度），正如正态分布中均值或方差不同就是另一个正态分布一样，自由度不同就是另一个 分布。记为   ![4.png][]   分布的均值为自由度 n，记为 E( ) = n； 分布的方差为2倍的自由度(2n)，记为 D( ) = 2n。

![7.png][]

从分布图可以看出：分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数 n 的增大；分布趋近于正态分布；随着自由度n的增大，分布向正无穷方向延伸（因为均值n越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差2n越来越大）。

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t分布：首先要提一句u分布，正态分布（normal distribution）是许多统计方法的理论基础。正态分布的两个参数μ和σ决定了正态分布的位置和形态。为了应用方便，常将一般的正态变量X通过u变换\[(X-μ)/σ\]转化成标准正态变量u，以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0，σ=1的标准正态分布（standard normaldistribution）,亦称u分布。根据中心极限定理，通过抽样模拟试验表明，在正态分布总体中以固定 n 抽取若干个样本时，样本均数的分布仍服从正态分布，即N（μ，σ）。所以，对样本均数的分布进行u变换，也可变换为标准正态分布N (0,1)

由于在实际工作中，往往σ(总体方差)是未知的，常用s（样本方差）作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为t变换，统计量t 值的分布称为t分布。假设X服从标准正态分布N（0,1），Y服从（n）分布，那么Z=X/sqrt(Y/n)的分布称为自由度为n的t分布,记为 Z～t(n)。

![5.png][]

可以看出，t分布以0为中心，左右对称的单峰分布；t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确切地说与自由度ν）大小有关。自由度ν越小，t分布曲线越低平；自由度ν越大，t分布曲线越接近标准正态分布（u分布）曲线。

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F分布：设X、Y为两个独立的随机变量，X服从自由度为n的分布，Y服从自由度为m的分布，这两个独立的卡方分布除以各自的自由度以后的比率服从F分布。即：

![6.png][]

2017-9-20 18:54:37 上传

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F分布是一种非对称分布；它有两个自由度，即n-1和m-1，相应的分布记为F（ n–1，m-1）， n-1通常称为分子自由度， m-1通常称为分母自由度；F分布是一个以自由度（n-1）和（m-1）为参数的分布族，不同的自由度决定了F 分布的形状。

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