拉格朗日插值--等距节点Python实现并计算误差

小灰灰 2022-05-24 12:35 195阅读 0赞

## 目标函数 ##

y=11\+x2  y = 1 1 + x 2

## 条件 ##

通过拉格朗日进行插值但是通过所给的节点的不同，会导致插值的效果也不同。

下面方法采用的是用等距节点来实现插值效果。

**插值节点分别是**

-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5

## 插值效果图 ##

![这里写图片描述][70]

龙格显现很严重，不过大致吻合。

## 代码 ##

import numpy as np
    from sympy import *
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    
    def f(x):
        return 1 / (1 + x ** 2)
    
    
    def draw(L):
        plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
        plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
        x = np.linspace(-5, 5, 100)
        y = f(x)
        Ly = []
        for xx in x:
            Ly.append(L.subs(n, xx))
        plt.plot(x, y, label='原函数')
        plt.plot(x, Ly, label='Lagrange插值函数')
        plt.xlabel('x')
        plt.ylabel('y')
        plt.legend()
    
        plt.savefig('1.png')
        plt.show()
    
    
    def lossCal(L):
        x = np.linspace(-5, 5, 101)
        y = f(x)
        Ly = []
        for xx in x:
            Ly.append(L.subs(n, xx))
        Ly = np.array(Ly)
        temp = Ly - y
        temp = abs(temp)
        print(temp.mean())
    
    
    if __name__ == '__main__':
        x = np.array(range(11)) - 5
        y = f(x)
    
        n, m = symbols('n m')
        init_printing(use_unicode=True)
        L = 0
        for k in range(11):
            temp = y[k]
            for i in range(11):
                if i != k:
                    temp *= (n - x[i]) / (x[k] - x[i])
            L += temp
        lossCal(L)
        draw(L)

[70]: /images/20220524/9247ef1e56fd446ab7f79da20a86c751.png