拉格朗日Lagrange插值多项式

电玩女神 2022-04-16 01:14 287阅读 0赞

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设函数f(x)在区间\[a，b\]上连续，在给定n+1个不同节点![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever -]上的值分别为![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 1],要求构造一个不超过n次的多项式: ![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 2], 去近似函数y=f(x)，使之满足插值条件：![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 3]

它的几何意义是，用过n+1个不同点![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 4]的n次代数曲线Ln(x)近似地代替曲线 y=f(x)

![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 5]

现在来构造一般插值多项式Ln(x),设在给定n+1个不同节点![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 6]上的n次插值基函数分别为![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 7]，则所求不超过n次的插值多项式表示为：![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 8]

下面求插值基函数![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 7]由条件：![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 9]

可得插值基函数![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 7]在各节点上函数值表为：

![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 10]

作为任一![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 11]点的n次插值基函数分别为![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 12]，由于在除![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 13]外所有节点取值皆为0，因此，![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 14]

含有因子![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 15],又因为![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 16]为n次多项式，故![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 17]

可表示为：![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 18]

再由条件![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 19]得

![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 20]

![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 21]

![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 22]

其中

![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 23]

将Ln称为函数f(x)的拉格朗日插值多项式。下面是算法的Matlab实现：

function \[p\]=Lag\_Polyfit(X,Y)  
%Matlab函数文件Lag\_Polyfit.m  
%拉格朗日插值法多项式拟合  
%\[p\]=Lag\_polyfit(X,Y)  
% X 拟合自变量  
% Y 拟合函数值  
% p 所得的拟合多项式系数  
if size(X)~=size(Y)  
   error('变量不匹配');  
end                    %如果要拟合的函数值与自变量维数不一样,则退出报错  
tic                        %开始记时  
format long g              %设置最合适的数字格式                   
r=size(Y); n=r(2);         %n为要拟合的数据长度  
p=zeros(1,n);              %保存所得多项式系数  
p0=p;  b=0;                %工作变量  
W=poly(X);                 %W为以X为根的多项式  
dW=polyder(W);             %dW为对多项式W求导后的多项式系数  
z=polyval(dW,X);           %z为以dW为系数的多项式对X的值  
A=\[1 1\]; r=A;              %A,r为长度为2的(1,2)向量  
for i=1:n                  %计算循环开始  
     A=\[1,-X(i)\];            %A为一次多项式x-x(i)系数  
    \[p0,r\]=deconv(W,A);     %进行多项式除法W/A,p0为商  
     b=Y(i)/z(i);  
     p0=b.\*p0;               %p0为累加项  
     p=p+p0;  
end                         %循环结束                                                                                   
disp(toc)                   %

例如  
%Matlab命令文件LagSin.m  
%用拉格朗日插值法拟合\[0,2\*pi\]上的sin函数  
x0=linspace(0,2\*pi,10);  
y0=sin(x0);               %拟合数据采样  
p=Lag\_Polyfit(x0,y0);     %调用Lag\_polyfit计算拟合多项式  
x=0:0.02:2\*pi;               
y1=sin(x);                %sin函数值  
y2=polyval(p,x);          %拟合多项式值  
plot(x0,y0,'+',x,y2,'r')       %sin函数(蓝色)与多项式(红色)效果图  
命令窗口中输入lagsin观察图形输出窗口  
>>logsin        %函数(文件)名不区分大小写

[![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 24]][Lagrange_ - hubingforever - 24]

Ruger现象：

[![拉格朗日Lagrange插值多项式 - hubingforever - 民主与科学][Lagrange_ - hubingforever - 25]][Lagrange_ - hubingforever - 25]

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![这里写图片描述][SouthEast]

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[Lagrange_ - hubingforever - 6]: http://202.152.177.210/media_file/rm/dongshi2005/jisuanfangfa/text/chapter2.1.1/clip_image092.gif
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